Formule d'Euler ???

[invite357b8e0a]

Bonjour,

dans notre cours physique portant sur la relativité restreinte , notre professeur nous a montré une démonstration qui dit que lorsque la vitesse v est beaucoup inférieure à la vitesse de la lumière c alors E=(1/2) *m0*v^2.

Ec=E-E0 avec Ec= en. cinétique et E0=en. au repos;

Ec=m0*c^2 {[1-(v/c)]^(-1/2)-1}

comme v<<c : v/c << 1
notons v/c = k

on a donc :

Ec=m0*c^2 {[1-k]^(-1/2)-1}

par la formule d'Euler (1+k)^n=1+n*k

d'où :

Ec=m0*c^2 {[1-(-1/2)*k]-1}
= 1/2*m0*v^2


Donc ma question est :
est-ce que qqn connaît cette formule parce que je ne trouve aucune documentation (demonstration p.ex.)de cela sur l'internet et mon prof nous a pas fourni plus d'info sur cette formule.

Merci en avance
Cordialement
soh cah toa
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[phys4]

Démonstration tout à fait correcte. C'est très connu mais pas très documenté.

[invite357b8e0a]

oui je sais qu'elle est correct (je l'ai démontré au bac )
mais par simple curiosité y a-t-il un démonstration ?

[phys4]

Je pense que tu cherches une démonstration de la formule ?

La démonstration simple se fait par le développement de Taylor, à condition d'être arrivé à ce niveau.
Sinon nous pouvons utiliser la dérivée au voisinage de 1 est dire que la fonction est linéaire sur un petit intervalle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bongo1981]

Effectivement c'est un DL à l'ordre 1 pour k petit, ce qui correspond à v << c

[invite357b8e0a]

Je pense que tu cherches une démonstration de la formule ?

La démonstration simple se fait par le développement de Taylor, à condition d'être arrivé à ce niveau.
Sinon nous pouvons utiliser la dérivée au voisinage de 1 est dire que la fonction est linéaire sur un petit intervalle.

Oui c'est ça.
en fait j'ai trouvé un exo oÙ il faut démontrer que
est-il possible de dériver les deux membres ?

[phys4]

Il faut dériver le membre de gauche, pour trouver que la dérivée est n(1+k)^n-1 est donc en k = 0 la dérivée vaut n, une petite variation k modifie donc la fonction de n*k.
La formule est valable pour toute valeur réelle de n.

La propriété citée n'est pas valable pour toute valeur de n, le terme suivant de l'approximation s'écrit n(n-1) k² /2

[bongo1981]

Vous pouvez également utiliser la formule du binôme de Newton.