Statique des fluides

[math123]

Bonjour,

Voila je suis en train de plancher sur un exercice portant sur la statique des fluides. Il s'agit d'un tube à essais à fond hémisphérique de centre O et de rayon R, contenant un fluide incompréssible de masse volumique p à hauteur H de O On note P0 la pression atmosphérique. Le point O est pris pour origine de l'axe (Oz).

Dans un premier temps , on demande de déterminer P en fonction de z. En utilisant la statique des fluide et en intégrant de 0 à z, je trouve : P(z)=P0+pg(H-z).

Ensuite on me demande de calculer la résultante des forces de pressions exercée sur le fond du tube.

Donc dans un premier temps on décompose cette résultante en 2 forces celle de l'air exercée sur le tube et celle du fluide exercée sur le tube. Voila donc après avoir utilisé la statique des fluides on obtient pour cette force: d²F=pg(H-z)dS.
Puis ensuite par symétrie de révolution on en déduit que cette force est dirigée selon Uz, or après avoir terminé cela j'ai jeté un coup d'oeil dans la correction que je ne comprends pas. En effet pour eux l'angle theta entre le vecteur er et le vecteur Uz est theta alors que en corrdonnées sphérique j'aurai plutot dit Phi. Ces 2 angles sont définit ici pour que vous compreniez de quoi je parle http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier...oordinates.svg bref du coup mon calcul d'intégrale tombe à l'eau...
C'est pour cela que j'ai besoin de votre aide


Pièce jointe 159838
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[LPFR]

Bonjour.
Premièrement, c'est un tube à essais. Donc, la pression atmosphérique agit sur l'extérieur du tube et aussi à l'intérieur, à travers le fluide. Donc, on oublie la pression atmosphérique.

La somme des forces s'exerçant sur le bas du tube est bien dirigée vers le bas et égale au poids du liquide.

Si on veut calculer ça avec des intégrales il faut découper le fond en petites surfaces, calculer la force, prendre la composante verticale et faire la somme (intégrale).
Le nom des angles est quelconque. Il n'y a pas d'obligation d'utiliser des noms utilisés habituellement pour écrire des formules en coordonnées cylindriques ou sphériques.
Personne n'est marié avec les noms des variables.
Au revoir.

[math123]

Bonjour et merci de votre réponse,

En fait ce que je veux dire c'est que pour moi on ne peut pas écrire z=-Rcos(theta) puis écrire ensuite dS=R²*sin(theta)*d(theta)*d(ph i) pour moi on aurait du écrire z=-Rsin(phi) et dS=R²*sin(theta)*d(theta)*d(ph i) voila et cela est frocément important car quand je fais le calcul la correction et moi trouvons des résultats différents.

[LPFR]

Re.
Je répète: ça dépend de ce que vous appelez Phi et thêta.
Au vu de la formule, thêta est mesuré à partir de la verticale.
Dans ce cas z est bien R.cos(thêta) (avec le signe qui vous convient).
Faites un dessin avec l'angle loin de 0°, 45° et 90° (ça évite des confusions entre sin et cos).
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[math123]

Merci, d'accord mais alors dans ce cas comment définiriez vous dS ?

[LPFR]

Merci, d'accord mais alors dans ce cas comment définiriez vous dS ?

Re.
Pour un différentiel de surface d'ordre 2, et le thêta mesuré à partir de la verticale votre formule est correcte:
dS=R²*sin(theta)*d(theta)*d(ph i)

Mais je préfère, compte tenue de la symétrie, un différentiel de surface de premier ordre: la surface du ruban de largeur R.d(thêta) situé à un angle thêta:
dS = 2 pi R sin(thêta) R d(thêta)
Ce qui mathématiquement est le résultat d'intégrer la première expression sur Phi.
A+