Tenseur et Carractère intrinsèque.

[invite39876]

Bonjour,
Au cours de mes perigrinations a mi chemin entre maths et physique, notemment dans le cadre de la relativité generale (que je maitrise peu). Je me suis apercu (enfin il me semble) de la chose suivante, souvent les physiciens parlent de quantités qui sont des tenseurs, là ou les mathématiciens parlent de quantités qui sont intrinsèques (en geometrie differentielle).
Du coup, je comprends les deux comme signifiant, que l'on s'interesse a des quantités "qui ne dependent pas des coordonnées".
Est ce bien là, la signification de l'expression est un tenseur (enfin du moins le noeud du probleme).
Cordialement.
J.
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[mariposa]

Bonjour,
Au cours de mes perigrinations a mi chemin entre maths et physique, notemment dans le cadre de la relativité generale (que je maitrise peu). Je me suis apercu (enfin il me semble) de la chose suivante, souvent les physiciens parlent de quantités qui sont des tenseurs, là ou les mathématiciens parlent de quantités qui sont intrinsèques (en geometrie differentielle).
Du coup, je comprends les deux comme signifiant, que l'on s'interesse a des quantités "qui ne dependent pas des coordonnées".
Est ce bien là, la signification de l'expression est un tenseur (enfin du moins le noeud du probleme).
Cordialement.
J.

Bonjour,


Il n y a pas (aucune) de différences fondamentales entre les tenseurs des physiciens et celle des mathématiciens.

La différence se fait sur le mode d'introduction et sur la manière de penser ces objets mathématiques.

Dans les 2 cas il s'agit d'un objet intrinsèque. Ce qui signifie qu'en représentation de coordonnées (quelconque)

il y a une infinités de représentations qui se correspondent par un changement de base.


Les mathématiciens présentent et manipulent dès le départ des objets intrinsèques par exemple

définir un tenseur de rang 2 comme une application bilinéaire E.E sur le corps R de l'espace vectoriel et donc une forme.

Si on prend référence aux mathématiciens les physiciens vont plutôt partir d'un produit tensoriel de 2 espaces vectoriels

et voir la forme bilinéaire des mathématiciens comme un vecteur de l'espace des produits directs du produit tensoriel d'espace.

Bien sur tout cela c'est la même chose.

Pourquoi?

parce qu 'en physique la gymnastique intellectuelle des tenseurs n'est qu'un cas très particulier de la gymnastique intellectuelle

de la représentation linéaire des groupes.

en effet La rhétorique est toujours la même:

Faire des produits tensoriels d'espaces vectoriels (presque toujours des espaces de Hilbert) et décomposer cet espace en sous-espace irréductible.

Ce qui en compte en physique ce sera justement comment se comporte un vecteur d'un espace de Hilbert vis a vis d'une action de groupe G.


donc les physiciens ont toujours a l'oeil comment les objets mathématiques se transforment sous l'action d'un groupe.

Par exemple pour les physiciens la décomposition d'un tenseur d'un rang 2 en ces composantes irréductibles sont les vecteurs propres de l'opérateur permutation de 2 éléments.

en fait on travaille souvent dans des espaces de Hilbert et donc avec des tenseurs cartésiens. Dans ce cas le sous-espace symétrique se décompose entre un espace monodimensionnel

(un sous-espace-invariant) car la trace de la "matrice" est un invariant sous les transformations orthogonales.


La géométrie différentielle ne change rien à l'affaire. On a des champs de tenseurs. La seule chose fondamentale qu'appelle La géométrie différentielle

est de construire un opérateur qui sonde le voisinage et qui soit indépendant de tous systèmes de base locaux. Il s'agit bien sur de la dérivée covariante qui est un tenseur

mixte de rang 2 lorsqu'il doit agir dans un espace tensoriel de rang 1 et de rang supérieur s'il agit lui-même dans des espaces tensoriels de rang plus élevé.


En bref il n' y qu'une seule mathématique. La différence se fait sur les préoccupations. Les mathématiciens cherche la généralité, l'abstraction, l'économie de langage

alors que les physiciens se préoccupent du dialogue entre les objets mathématiques (ici les tenseurs) et l'expérimentation. Inévitablement ce sont 2 manière de pensée des choses

qui sont différentes sans s'opposer (il n'y qu'une seule et unique mathématique des tenseurs).

Ps: Rappel: Je suis physicien et non mathématicien

[mariposa]

@Bloupou


Pour comprendre comment les physiciens pensent je vais te donner une citation de l'un d'entre eux les plus célébres: PAM Dirac




The important things in the world appear as invariants.....The things we are immediately aware of are

the relations of the invariants to the certain frame of reference.....

The growth of the use of transformation theory, as applied first to relativity and later

to the quantum theory, is the essence of the new method in theoritical physics.

Extrait de:

---------------------------------------------------------------------------------

PAM Dirac

The principles of quantum Mechanics

Clarendon Press, Oxford, 1930

----------------------------------------------------------------------------------



C'est moi qui est souligné dans le texte pour bien mettre le doigt sur la "subtile" différence entre mathématiciens et physiciens.

C'est exactement ce que je t'ai illustré dans mon post précédent dans le cas des tenseurs.


Si tu veux connaitre l'origine de cette façon de voir la physique il faut partir des travaux de Klein (mathématicien)

connu sur l 'appellation programme d'Erlangen.

[invite39876]

Alors, plusieurs choses.
1) Je connais assez bien la géométrie differentielle du moins la partie mathématique de celle ci, et je m'intresse actuellement a la RG, que je ne maitrise pas vraiment en profondeur.
2) L'algèbre multilinéaire, je connais pas mal aussi.

Mes questions ne portent aucunement sur les mathématiques liées a ces deux objets.

Bon deja pour etre sur qu'on parle le meme langage (ce qui ne parait pas clair au vu des vos interventions).

Les mathématiciens definissent le produit tensoriel de 2 espaces vectoriels (et pas vraiment les "tenseurs", d'ailleurs dans mon cours de Geo Diff, le mot tenseur n'apparait pas une seule fois). Pour moi, le produit tensoriel de deux espaces E et F, est le représentant du foncteur qui a un espace T associe l'ensemble des applications bilinéaires de ExF dans T. Etes vous d'accord avec cette definition (notement parce que vous parlez de produit direct et de produit tensoriel, qui sont deux choses moralement antinomiques, donc je veux etre sur qu'on parle de la meme chose)?

Ensuite sur la notion de carractere intrinsèque, la aussi j'ai pas l'impression que ce que vous dites soit correcte. Une "chose" definie sur une variété est intrinsèque, si cette "chose" ne depend pas des cartes que l'on utilise pour la definir.

La dérivée covariante (que je prefere voire comme une connexion) en est un bon exemple.
Vous avez une variété et un fibré dessus, et on definit localement ce que doit etre la derivée covariante, et ensuite, on s'assure que, lue dans une autre carte, cela donne bien la meme chose, cela se "recolle" comme on dit.

Apres, si j'ai bien compris, les constructions classiques en relativité, se font sur les fibrés tangeants et cotangeants, et pour verifier que les objets, definis localement dans des cartes se recollent, on verifie qu'ils sont compatibles au changement de cartes, et c'est ce que les physiciens appelent "verfier que c'est un tenseur" (dans le sens ou on verifie qu'on definit bien une section d'un tel fibré qui s'avère etre le produit tensoriel de tels et tels fibrés, a savoir tangent et cotangent).

Reprenons l'exemple de la connexion, pour moi le connexion c'est un operateur qui a une fonction sur la variété lui associe une 1-forme, et verifiant l'identité de Liebniz. Il n'y a rien de plus a dire.
ensuite pour verifier que tel operateur defini localement dans des cartes est bien une connexion, il faut la aussi verifier qu'il est bien defini, c'est a dire compatible au changement de cartes, et donc que "c'est un tenseur".

Voila comment je fais le lien. Et je voulais savoir si je ne loupais pas qqch, car pour moi les considerations de tensorialité, sont avant tout des considerations de carractère intrinsèque.

Pour la representation des groupes et l'aglèbre multilinéaire (tensorielle donc) j'ai quand meme l'impression que ce que vous dites n'est pas tres clair.
Ce sont deux theories bien differentes.
Le produit tensoriel c'est une construction purement formelle, on a deux espaces, on en construit un 3 eme, leur produit tensoriel, point.
C'est une construction aussi fondamentale que la somme directe, ou le produit (et qui intervient dans tout un tas de domaines, la TRG en est un, mais ca intervient a peu pres dans toutes les theories).

Et ce que vous dites dessus me semble bien confus (notemment parler de representations irreductibles a priori pour un produit tensoriel sans faire reference a une representation sous jascente. On peut prendre le produit tensoriel de deux representations certes, tout comme on peut en prendre la somme directe... C'est juste une construction particulière, ca a pas grand chose a voir).

Ou alors j'ai mal compris ce que vous avez dit.

Cordialement.
J.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Alors, plusieurs choses.
1) Je connais assez bien la géométrie differentielle du moins la partie mathématique de celle ci, et je m'intresse actuellement a la RG, que je ne maitrise pas vraiment en profondeur.
2) L'algèbre multilinéaire, je connais pas mal aussi.

Mes questions ne portent aucunement sur les mathématiques liées a ces deux objets.

Bon deja pour etre sur qu'on parle le meme langage (ce qui ne parait pas clair au vu des vos interventions).

A propos de langage je t'ai justement expliqué qu'il y a 1 problème de langage entre physiciens et mathématiciens.

Tu t'es définie comme à mi-chemin entre physique théorique et mathématiques et moi je suis à mi-chemin entre physique théorique et expérimentation.

Donc il faut s'attendre a ce que l'on ai des difficultés de langage mais aussi de méthodologie.

En plus je pensais que tu, étais mathématicienne donc beaucoup proche des mathématiques que de la physique. J'ai cru comprendre que tu voulais articuler physique et mathématiques.

On va donc essayer.

Les mathématiciens definissent le produit tensoriel de 2 espaces vectoriels (et pas vraiment les "tenseurs", d'ailleurs dans mon cours de Geo Diff, le mot tenseur n'apparait pas une seule fois). Pour moi, le produit tensoriel de deux espaces E et F, est le représentant du foncteur qui a un espace T associe l'ensemble des applications bilinéaires de ExF dans T. Etes vous d'accord avec cette definition (notement parce que vous parlez de produit direct et de produit tensoriel, qui sont deux choses moralement antinomiques, donc je veux etre sur qu'on parle de la meme chose)?

Je ne parle pas le langage des catégories, mais à la lecture de ce que tu as écrit, je souscris.

Ensuite sur la notion de carractere intrinsèque, la aussi j'ai pas l'impression que ce que vous dites soit correcte. Une "chose" definie sur une variété est intrinsèque, si cette "chose" ne depend pas des cartes que l'on utilise pour la definir.

Je suis entièrement d'accord avec cela sauf qu'il ny a aucune raison de définir des objets intrinséques dans le cadre de la seule la géométrie différentielle.

La dérivée covariante (que je prefere voire comme une connexion) en est un bon exemple.

Pour la dérivée covariante, pour les physiciens, Il y a la dérivée ordinaire + un deuxième terme. La connexion c'est le deuxième terme. Par exemple pour un espace métrique ce sont les symboles de christofel.

Vous avez une variété et un fibré dessus, et on definit localement ce que doit etre la derivée covariante, et ensuite, on s'assure que, lue dans une autre carte, cela donne bien la meme chose, cela se "recolle" comme on dit.

C'est un pur langage de mathématicien et là j'ai parfaitement compris.

Apres, si j'ai bien compris, les constructions classiques en relativité, se font sur les fibrés tangeants et cotangeants, et pour verifier que les objets, definis localement dans des cartes se recollent, on verifie qu'ils sont compatibles au changement de cartes, et c'est ce que les physiciens appelent "verfier que c'est un tenseur" (dans le sens ou on verifie qu'on definit bien une section d'un tel fibré qui s'avère etre le produit tensoriel de tels et tels fibrés, a savoir tangent et cotangent).

Oui

Reprenons l'exemple de la connexion, pour moi le connexion c'est un operateur qui a une fonction sur la variété lui associe une 1-forme, et verifiant l'identité de Liebniz. Il n'y a rien de plus a dire.

Là c'est une vision de mathématicien, il faudrait que je prenne le temps de réfléchir.

ensuite pour verifier que tel operateur defini localement dans des cartes est bien une connexion, il faut la aussi verifier qu'il est bien defini, c'est a dire compatible au changement de cartes, et donc que "c'est un tenseur".

OUi mais les physiciens prennent les choses dans l'autre sens. Ils construisent la connexion pour transformer une dérivée ordinaire en d&érivée covariante.

Voila comment je fais le lien. Et je voulais savoir si je ne loupais pas qqch, car pour moi les considerations de tensorialité, sont avant tout des considerations de carractère intrinsèque

.


Absolument. C'est évident pour les mathématicien, mais mal ou pas compris par les physiciens.

Pour la representation des groupes et l'aglèbre multilinéaire (tensorielle donc) j'ai quand meme l'impression que ce que vous dites n'est pas tres clair.
Ce sont deux theories bien differentes.

Je sais que les mathématiciens ne regardent les choses comme çà. C'est une vrazi différence avecc les mathématiciens.

Le produit tensoriel c'est une construction purement formelle, on a deux espaces, on en construit un 3 eme, leur produit tensoriel, point.

Là aussi il y a un monde, pour ne pas dire, un goufre entre physicens et mathématiciens. Le produit tensoriel c'est une exigence qui s'impose par rapport à l'expérience.


J'ai un projet pédagogique pour construire la mathématique des tenseurs comme exigence de la reprsentation de la réalité expérimentale.

C'est une construction aussi fondamentale que la somme directe, ou le produit (et qui intervient dans tout un tas de domaines, la TRG en est un, mais ca intervient a peu pres dans toutes les theories).

Totalement d'accord. En physique il ressort que la structure somme directe et produit tensoriel sont permanents dans tous les coins.

Et ce que vous dites dessus me semble bien confus (notemment parler de representations irreductibles a priori pour un produit tensoriel sans faire reference a une representation sous jascente. On peut prendre le produit tensoriel de deux representations certes, tout comme on peut en prendre la somme directe... C'est juste une construction particulière, ca a pas grand chose a voir).

En physique le problème se pose toujours comme cela.


Dans une démarche on récupère à un moment une représentation qui est réductible. Donc on l'a réduit.

Dans une autre démarche on fait un produit de representations irréductibles qui est réductible. Donc on réduit.

Dans une autre démarche on part d'une représentation irréductible et on décompose celle-ci en reprsentations irréductible d'un sous-groupe.

Dans une autre démarche on cherche à former des invariants extraits de produits de representations irréductibles (ce vqui revient à extraire la représentation triviale).

Derrire tout çà il faut combiner la mathématique avec la physique et c'est là que c'est moins évident que l'on pourrait le croire.

Ou alors j'ai mal compris ce que vous avez dit

Tu as parfaitement compris ce que j'ai dit.

[invite39876]

Merci de votre réponse.
Je ne suis pas du tout mathémticienne, (meme si j'ai fait beaucoup de maths recemment et que j'aimerai bien faire de la physique mathématique).
Je vois que nous sommes globalement a peu pres d'accord.

Mon probleme venait essentiellement que je suis un cours de RG, et que je n'aime pas du tout la façon de faire de la prof (au point qu'elle arrive a embrouiller ce que je comprenais :s) et sa "methode" est de tout faire en coordonnées, jamais elle ne donne une expression qui serait definit au niveau des objets geométriques, et je trouve ca tres laid, et je trouve que ca limite enormement la comprehension.

[Amanuensis]

Bonjour,
Au cours de mes perigrinations a mi chemin entre maths et physique, notemment dans le cadre de la relativité generale (que je maitrise peu). Je me suis apercu (enfin il me semble) de la chose suivante, souvent les physiciens parlent de quantités qui sont des tenseurs, là ou les mathématiciens parlent de quantités qui sont intrinsèques (en geometrie differentielle).
Du coup, je comprends les deux comme signifiant, que l'on s'interesse a des quantités "qui ne dependent pas des coordonnées".
Est ce bien là, la signification de l'expression est un tenseur (enfin du moins le noeud du probleme).

Je ne comprends pas bien la question, pour tout dire.

Quand il est question de tenseurs dans un modèle physique, il s'agit bien d'objets définissables dans un cadre mathématique rigoureux, et ayant un rapport étroit avec les éléments de l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel.

Là où le langage de la physique diffère, c'est qu'on y parle souvent de "tenseur" en relation avec un espace précis implicite dans le contexte.

Ainsi en RG, le mot tenseur apparaît principalement en relation avec le fibré vectoriel tangent de l'espace-temps modélisé comme une variété différentielle.

L'aspect "intrinsèque" au sens d'objets définis indépendamment de tout système de coordonnées est certes important, mais n'est qu'un aspect parmi d'autre. La multi-linéarité est un aspect au moins aussi important.

Il y a en physique des tas de quantités intrinsèques qui ne sont pas tensorielles, comme les densités tensorielles ou ce qu'on obtient par intégration comme la "longueur" d'un segment de ligne.

Faudrait préciser la question pour guider un peu mieux les réponses !

[Amanuensis]

Mon probleme venait essentiellement que je suis un cours de RG, et que je n'aime pas du tout la façon de faire de la prof (au point qu'elle arrive a embrouiller ce que je comprenais :s) et sa "methode" est de tout faire en coordonnées, jamais elle ne donne une expression qui serait definit au niveau des objets geométriques, et je trouve ca tres laid, et je trouve que ca limite enormement la comprehension.

Mes pérégrinations personnelles m'ont amené à penser que dans l'enseignement de la physique la présentation via les coordonnées est considérée comme "plus simple" et est utilisée dans les présentations initiales. La présentation "géométrique" est présentée plus tard dans le cursus (ou jamais pour ceux qui ne poursuivent pas).

Cela se défend quand on réalise que tout ce qui est mesures et observations, et donc aussi prédictions de résultats, et par là même tout ce qui est "exercice", se fait en coordonnées. Travailler avec les "objets" éloigne de la réalité du terrain, ne permet que des démonstrations abstraites (mathématiques). Certes cela a l'immense avantage pour certains de permettre de mieux comprendre, mais nombre de personnes considèrent comprendre suffisamment avec les coordonnées, les vecteurs vus comme listes de nombres, les matrices, etc.

Si on fait un cours à base de coordonnées, on peut penser que ceux et celles qui sont intéressés par une compréhension plus profonde y arriveront par eux-mêmes ou plus tard dans le cursus. Alors que commencer par la vision abstraite risque de perdre la majorité sans lui permettre de traduire les idées en termes de coordonnées. C'est un peu similaire à l'abandon des "maths modernes" dans l'enseignement secondaire il y a quelques décennies...

[Amanuensis]

(...)

Juste quelques petits points :

En physique, le mot "tenseur" est en général une référence à l'algèbre tensorielle d'un espace vectoriel, bien plus qu'à la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels quelconques en général.

En physique, "vérifier que c'est un tenseur" me semble être plutôt utilisé pour distinguer des "symboles", comme les symboles de Christoffel ou le symbole de Dirac. Ce qui est bien la distinction entre intrinsèque et non intrinsèque, mais "localement", le recouvrement de cartes n'intervient pas (ou du moins ce n'est pas vu comme tel, c'est juste vu comme l'effet d'un changement de base de l'espace vectoriel tangent loca

Autre point, la géométrie différentielle a des applications en physique bien plus vastes que la RG. La physique quantique, évidemment. Mais aussi la thermodynamique, qui est basée en grande partie (sans que ce soit explicité en général) sur la la notion de dérivation extérieure. (Et au fond, cela vient de l'importance pratique de l'approximation par linéarisation...)

[mariposa]

Merci de votre réponse.
Je ne suis pas du tout mathémticienne, (meme si j'ai fait beaucoup de maths recemment et que j'aimerai bien faire de la physique mathématique).
Je vois que nous sommes globalement a peu pres d'accord.

Bonjour,

Comme j 'ai pu le constater à travers tes interventions sur un axe physique théorique-mathématiques, tu es plus prêt du pôle mathématiques que du pôle physique théorique.

D'ailleurs tu viens te définir vouloir faire de la physique mathématiques, ce qui est un métier fort différent du métier de physiciens théoriciens (qui est le mien).

Mon probleme venait essentiellement que je suis un cours de RG, et que je n'aime pas du tout la façon de faire de la prof (au point qu'elle arrive a embrouiller ce que je comprenais :s) et sa "methode" est de tout faire en coordonnées, jamais elle ne donne une expression qui serait definit au niveau des objets geométriques, et je trouve ca tres laid, et je trouve que ca limite enormement la comprehension.

N'ayant pas assister au cours je ne peux évidemment pas me prononcer.


Néanmoins quelque soit la forme du cours ( la méthode en coordonnées ou la méthode de manipulation d'êtres géométriques) le problème est de comprendre

la RG, c'est à dire le cheminement de la pensée qui amène la construction de la RG. Cette démarche est pour le prof la plus difficile car il faut progresser par des heuristiques

et il est impossible de se réfugier derrière les mathématiques.


Normalement si le cours est bien fait, tu as le privilège, avec ta formation mathématique, de prendre du recul, au moins en principe.

Il me semble que tu as suivi le cours de RG comme de l'expression mathématique et non comme de la physique.

Imaginons qu'un prof présente la RG non pas en coordonnées, non pas par être géométriques, mais dans l'algébre de Clifford.

En effet on peut présenter la RG on peut la faire ressortir à partir de l'algébre de Clifford du produit tensoriel H*H où H est le corps des quaternions.

Voici donc une troisième forme de présentation possible. Comment réagirais-tu si ton regard est "être géométriques".


Quelque soit la présentation il faut comprendre la physique de la RG indépendamment des 3 présentations mathématiques (coordonnées, êtres géométriques, Clifford et d'autres peut-être).

C'est pourquoi tous les profs de RG présentent la RG en coordonnées, car c'est ainsi que l'on se raccroche à la problématique initiale et c'est ainsi que Einstein lui-même à procéder.

par contre circuler dans les différents langages est typiquement un exercice de physique mathématiques et à ce titre tu ne peux pas "bouder" les coordonnées,

car au moment où on veut décrire un phénomène particulier les coordonnées sont incontournables.



Je te rappel la citation de Dirac (un des plus grands physiciens du XX ième siécle.

------------------------------------------------------------------------------------------


The important things in the world appear as invariants.....The things we are immediately aware of are

the relations of the invariants to the certain frame of reference.....

The growth of the use of transformation theory, as applied first to relativity and later

to the quantum theory, is the essence of the new method in theoritical physics.


--------------------------------------------------------------------------------------

Ici Invariants renvoie à être géométriques.

Frame of reference renvoie à coordonnées.


Et pour finir:


Tout le monde connait la loi de Newton

m.dV/dt = F

elle est familière à tout le monde et le lien théorie expérience est aisé (simplicité aidant)


les physiciens théoriciens disent:

1- Cette équation est covariante.

2- F et V sont des tenseurs cartésiens de rang1

Que signifient ces expressions.

[invite39876]

Bonjour,
Je vais essayer de mieux m'expliquer. Je sais bien qu'a priori les considerations de tensorialité ne sont pas des considerations de carractère intrinsèque, mais dans mon cours j'ai souvent la justification "car ceci est un tenseur" alors que ce que moi je mettrais spontanement c'est "c'est intrinsèque" ou plutot "c'est bien defini".
De meme souvent j'ai "vérifions que c'est une tenseur", alors que moi j'aurai plutot tendance a ecrire "verifions que c'est bien defini".
Il me semble meme me rappeler d'un echange que nous avons eu où vous aviez justifié le fait que g(u,u) pour u un vecteur tangeant ne dependait pas de la carte choisie car "c'etait un tenseur" (là ou moi je voulais verifier que c'etait independant de la carte ou on le lisait :S ).

Bref c'est me semble-t-il un point de vocabulaire, mais je voudrais pas passer a coté (parce que bien sur d'un point de vue calculatoire ca change rien).

Prenons un exemple ca permettra de mieux voir les choses.

Essayons de definir une tenseur (1,1) sur R² et sur S2 (pour le fibre tangent)

Alors sur R² je pretend que n'importe quelle liste de 4 fonctions lisses definira bien un tel tenseur. Et il n'y a rien a verifier.

Sur S², la c'est bien different, on doit definir la dérivée covariante sur au moins 2 cartes, S2 privé du pole nord, et S2 privé du pole Sud.
La je me donnes 4 fonctions definies sur S2-nord et 4 autres fonctions définies sur S2-sud. Et c'est la qu'il y a verifier qqch.
Dans ma façon de voir les choses, je dois verifier que ces deux données sont compatibles. C'est a dire que si j'appelle f le changement de cartes alors (ou le t designe la transposé) envoie le premier set de fonctions sur le second (du point x au point f(x)).
Dans l'autre façon de voir les choes (celle de la prof par exemple) on verifie que "c'est un tenseur" (ce qui revient au meme calcul).

[invite39876]

Y a une petite coquille dans mon message precedent j'ai ecrit "Sur S², la c'est bien different, on doit definir la dérivée covariante sur au moins 2 cartes, S2 privé du pole nord, et S2 privé du pole Sud.", alors que je voulais ecrire "Sur S², la c'est bien different, on doit definir le tenseur (1,1) sur au moins 2 cartes, S2 privé du pole nord, et S2 privé du pole Sud."
Au debut je voulais definir la derivée covariante mais je me suis dit que la verification de la regle de Liebniz obscurcirait mon propos, alors je me suis contenté de definir uniquement un tenseur (1,1), d'ou la coquille.

[invite39876]

@mariposa:
Je ne sais pas tres bien dans quel domaine je dois me definir, apres les chercheurs (ou les doctorants que je cotoie) en physique mathématiques se definissent comme physicien, pas matheux. Apres je ne suis pas en france, donc ca doit etre different en france, je ne sais pas.

Apres pour le reste. Je n'ai pas d'a priori, sur le modèle que doit choisir le cours, mon attente en tant qu'eleve c'est qu'il soit coherent, efficace, et si possible elegant.

En coodornées ou en intrinsèque, la géométrie reste la géométrie. On parle de la meme chose. Les coordonnées ne sont qu'un artifice de calcul, ils ne servent veritablement "a rien" (mis a part faire des calculs concrets ou a faire certaines verifications). Enfin je veux dire qu'il ont une utilisation calculatoire et pas conceptuelle. Si je voulais "choquer" je dirait "on ne comprends rien avec des calculs".

Pour le cas de la RG je trouve ca flagrant (apres je ne sais pas, c'est peut etre pas l'opninion la plus partagée), il me semble qu'il est plus simple, et que l'on comprends beaucoup mieux les choses en disant, voila un tenseur c'est une section de telle fibré. Apres bien sur quand on en rencontre un en exercice ou dans un cas pratique, ben on comprends bien qu'il faut verifier que la definition est bien intrinsèque et ne depend pas des changement de cartes, et qu'il y a donc qqch a faire.
PLutot que de dire, voila un tenseur de type (n,m) c'est la donnée pour chaque ouvert de nxm fonctions, qui verifient telles formules penibles. Il me semble que dans ce deuxieme cas, on comprend pas "ce qui se passe".
Pourtant on parle de la meme chose, rigoureusement.

Pour lmagèbre de Clifford je ne sais ce que c'est mais si c'est joli, je n'aurai pas de souci a adopter cette presentation. En fait ce que j'attend c'est qu'elle soit comme on dit en anglais "comprehensive" (ca ne veut pas dire comprehensible, mais "qui fait comprendre", je suppose qu'une bonne traduction serait "profonde").
Mais on s'eloigne du sujet.

[Amanuensis]

Alors sur R² je pretend que n'importe quelle liste de 4 fonctions lisses definira bien un tel tenseur. Et il n'y a rien a verifier.

Oui et non.

Vous vous accrochez à la notion de carte, alors que dans mon expérience "c'est un tenseur" s'oppose aux symboles.

Par exemple la liste de 4 fonctions (tout ce qu'il y a de plus liste) ((1, 0), (0, 0)) (la matrice de projection sur le premier axe), n'est pas un tenseur (2,0).

Dans l'apprentissage initial, la difficulté est plutôt là. Pourquoi les symboles de Christoffel "ne sont pas un tenseur" ? Certainement pas une question de cartes !

La vérification "que c'est un tenseur" passe par l'effet d'un changement de coordonnées locales quelconque, indépendamment des cartes. (Ce qu'il se passe au recouvrement des cartes est alors une conséquence...)

[invite39876]

Bonjour,
Mais c'est parce que vous organisez la liste comme une matrice!
Je maintiens que n'importe quelle liste de 4 fonctions (ou de 4 scalaires en un point) donnera un tenseur (sur R^n)
UNe base de l'espace des tenseurs de type (2,0) est donné par (enfin je ne sais jamais si on mets les cotangent en premier ou les tangents en premier suivant la convention ce sera )
Alors votre liste donne le tenseur .
Bien sur votre matrice correpond au tenseur , donc dans ces conditions oui ce ne sera pas un tenseur (2,0), puisque vous prenez une base qui n'est pas dans l'espace.
Mais n'importe quel tenseur de type (2,0) est donné par une liste quelconque (a,b,c,d) et le tenseur correspondant est (bon bien sur y a un convention d'ordre a avoir).

Sur S2, ca ne marche plus.

[Amanuensis]

Apres pour le reste. Je n'ai pas d'a priori, sur le modèle que doit choisir le cours, mon attente en tant qu'eleve c'est qu'il soit coherent, efficace, et si possible elegant.

Un cours ne peut pas répondre à toutes les attentes. Juste aux attentes les plus partagées.

En coodornées ou en intrinsèque, la géométrie reste la géométrie. On parle de la meme chose. Les coordonnées ne sont qu'un artifice de calcul, ils ne servent veritablement "a rien" (mis a part faire des calculs concrets ou a faire certaines verifications). Enfin je veux dire qu'il ont une utilisation calculatoire et pas conceptuelle. Si je voulais "choquer" je dirait "on ne comprends rien avec des calculs".

C'est un point de vue. Il y en a d'autres. Et il se trouve que ce point de vue est minoritaire. (Il n'y a là aucun jugement de valeur sur ces différents points de vue, juste un constat, constat que ne peut pas ignorer une enseignant.)

Au passage le "mis à part faire des calculs concrets" est un peu osé ! Le propos principal de la physique est bien de faire des calculs concrets ! La compréhension profonde est un plus, utile pour mieux faire les calculs, ainsi que pour qui a l'ambition de faire évoluer la physique fondamentale ; mais on peut correctement utiliser un marteau sans être expert es fondements de la métallurgie--et même certains diront, pas à tort, que certains experts en métallurgie utilisent mal leurs marteaux...

[Amanuensis]

Mais c'est parce que vous organisez la liste comme une matrice!

Bien sûr. Parce que c'est comme cela que c'est présenté dans un cours centré sur les composantes.

Vous cherchez à démontrer le bien-fondé de votre point de vue. Mais vous enfoncez une porte ouverte en ce qui me concerne : je ne le discute pas.

Mon propos est de vous amenez à percevoir les deux points de vue, de considérer les avantages et inconvénients des deux approches, et de passer au-delà de l'idée simpliste et non constructive qu'il y en a une bonne et l'autre mauvaise.

[invite39876]

Oui, je ne pretends pas que le cours doit etre centré sur mes attentes, je n'irai jamais m'en plaindre aupres de la prof, je trouve ca deplacé, c'est pour ca que je viens ici.

Pour le reste, faire des calculs concrets ne m'intresse qu'episodiquement. Ce que je veux c'est comprendre. En general quand j'ai compris, je suis ensuite capable de faire tous les calculs concrets que je veux. C'est pour ca que je me centre sur cette comprehension. Je n'aime pas du tout, faire l'inverse (mais apres tout le monde est libre de faire ce qu'il veut).

Pour le reste je pense enfin avoir compris ou est le point nevraligique, meme sur R^n, grace a votre exemple de matrice.
En fait ce qu'on veut c'est qu'on se donne un objet qui a priori n'appartient pas a et on veut montrer qu'il y appartient en fait (ou plutot qu'il s'identifie a un tel element via un isomorphisme canonique, compatible avec l'action sur R^n). Est ce bien ca? (c'est pour ca que ca me paraissait un peu tordu, je n'aurai pas idée de definir un element d'un espace, en donnant ces coordonnées dans... un autre espace! Enfin bien sur sauf... pour un changement de carte. )

PS: et je ne pense pas qu'il y ait une approche mauvais et une bonne, disons juste une jolie (pour moi) et une moche (ou du moins ou je comprends et une autre ou je patauge!)

[Amanuensis]

En fait ce qu'on veut c'est qu'on se donne un objet qui a priori n'appartient pas a et on veut montrer qu'il y appartient en fait (ou plutot qu'il s'identifie a un tel element via un isomorphisme canonique, compatible avec l'action sur R^n). Est ce bien ca?

Oui

(c'est pour ca que ca me paraissait un peu tordu, je n'aurai pas idée de definir un element d'un espace, en donnant ces coordonnées dans... un autre espace!)

C'est le récurrent problème de la distinction entre un objet et une représentation de l'objet. Qu'une bonne partie de l'œuvre de Magritte illustre en le montrant. Et que la majeure partie de l'enseignement initial des maths et de la physique illustre en le cachant.

Par ailleurs, je pense que vous vous trompez. Il y a très certainement des tas de cas où vous faites exactement cela, comme par exemple définir un complexe comme un couple de réels! Ou encore plus simple un élément de l'ensemble des entiers par un élément de l'ensemble des chaînes de caractères sur un certain alphabet

(Sur ce dernier point, à titre d'anecdote : vu dans une discussion sur FS, "le système en base 10 est appelé ainsi parce qu'il utilise 10 chiffres".)

[Burakumin]

Salut Bloublou

La discussion sur les tenseurs, leur nature et leur présentation pédagogique est une rengaine du forum. Ce qui me semble bien montrer que tu es loin d'être la seule non satisfaite par l'approche "classique".

Il y a en physique des tas de quantités intrinsèques qui ne sont pas tensorielles, comme les densités tensorielles ou ce qu'on obtient par intégration comme la "longueur" d'un segment de ligne.

Mouais, pour le coup des densités j'ai jamais été trés convaincu. Juste une question à ce propos : utilise-t-on dans certaines branches de la physique des densités tensorielles de "poids" non entier ? (et si oui où par exemple)

Autre point, la géométrie différentielle a des applications en physique bien plus vastes que la RG. La physique quantique, évidemment. Mais aussi la thermodynamique, qui est basée en grande partie (sans que ce soit explicité en général) sur la la notion de dérivation extérieure. (Et au fond, cela vient de l'importance pratique de l'approximation par linéarisation...)

Ou également en mécanique du solide. La mécanique analytique s'exprime trés naturellement avec de la géométrie symplectique.

Mes pérégrinations personnelles m'ont amené à penser que dans l'enseignement de la physique la présentation via les coordonnées est considérée comme "plus simple" et est utilisée dans les présentations initiales. [...] Si on fait un cours à base de coordonnées, on peut penser que ceux et celles qui sont intéressés par une compréhension plus profonde y arriveront par eux-mêmes ou plus tard dans le cursus.

Permet moi de présenter un point de vue divergent. Ton propos semble dire : les gens qui préfèrent une approche avec des objets intrinsèques comprendront de toute façon bien comment ça marche avec des coordonnées puis pourront approfondir d'eux-même ... Tu ne sembles pas conscient que l'approche en coordonnée peut perdre ces gens-là ou rendre ardu leur compréhension.

L'idée même que les coordonnées soient forcément plus simples n'est pour moi pas pertinente :
- Cette approche est naturellement liée une vision en points de vue. On adopte à chaque fois un point de vue particulier sans essayer de voir si une approche distanciée est possible. Et bien pire, les points de vue sont souvent implicites (voir parfois même les changement de points de vue), beaucoup de livres/cours ne prenant même pas la peine de les expliciter réellement.
- Dans une approche en coordonnées, TOUT EST PRESENTE COMME ! Outre le fait que par conséquent, TOUT RESSEMBLE A TOUT, on ne sait plus vraiment quelles sont les propriétés interessantes de dans le contexte. Car est beaucoup, beaucoup de choses possibles : un ensemble, un ensemble ordonné, un groupe additif, un espace vectoriel, normé, de banach, euclidien, un espace topologique, une variété, pseudo-riemmanienne, riemmanien, symplectique, un groupe de lie, une algèbre parfois, un espace convexe, ... Lorsque je dis que l'espace temps de la relativité générale est une variété pseudo-riemmanienne, je dis entre autre que pour deux évenements A et B, leur somme A+B ne veut a priori rien dire. Si je manipule deux quadruplets, j'ai perdu cette information.

Enfin dernier point, l'histoire des mesures. Désolé mais quand j'observe le monde dans la vie courante, j'ai pas mon multimètre ou mon décamètre en poche. Par contre je perçois des états, des transformations. Je suis capable d'imaginer des configurations différentes, d'imaginer la continuité d'un mouvement, etc etc. Ces choses là ne sont pas à priori des choses numériques (même si on peut y souvent associer des nombres). Beaucoup de notions mathématiques dont des objects "qualitatifs" qui reproduisent ces caractéristiques finalement pas si aérienne que ce que certains disent parfois.

Alors non, on va pas commencer un cours de physique de 1er année universitaire en parlant de connexion de Kozsul et j'en demande pas tant ! Par contre avoir conscience des défauts des approches en coordonnées, savoir que seules, elles obscurciront la compréhension pour certains et savoir DOSER les approches ne me semble pas un luxe.

Je maintiens que n'importe quelle liste de 4 fonctions (ou de 4 scalaires en un point) donnera un tenseur (sur R^n)

Je pense voir tout à fait ce que vous voulez dire. Et là je tiens clairement à exprimer mon avis sur le pourquoi de ce point qui suscite toujours plein de débats et d'incompréhensions. L'eternel histoire de "mes coordonnées définissent elle un tenseur ou pas" vient d'aprés moi du fait que l'approche en coordonnées ne peut pas se résumer (contrairement à ce qu'on trouve implicitement dans 90% des cas) à des tableaux de nombres. Pour que la notion de tenseurs y fasse sens, il faut voir un tenseur comme une ASSOCIATION (une application donc) entre DES bases et DES tableaux de nombres. Effectivement si je ne définis qu'un tableau dans une base sous entendu, il est TOUJOURS possible de le voir comme un tenseur (puisque ceci DEFINIT les coordonnées dans une autre base). Si par contre je CONNAIS a priori les coordonnées dans PLUSIEURS bases, je vais pouvoir vérifier que le comportement est celui attendu.

La vérification "que c'est un tenseur" passe par l'effet d'un changement de coordonnées locales quelconque, indépendamment des cartes. (Ce qu'il se passe au recouvrement des cartes est alors une conséquence...)

Et oui mais encore faut-il donc qu'on puisse donner un sens a priori au concept même de changement de coordonnées.

Dans l'approche en coordonnées, c'est toujours le super flou artistique, parce que les gens qui parlent en coordonnées n'explicite presque jamais qu'ils veulent retrouver une même forme d'équation dans plusieurs bases à la fois. L'exemple des symboles de christophel est assez catastrophique en la manière.

[mariposa]

La discussion sur les tenseurs, leur nature et leur présentation pédagogique est une rengaine du forum. Ce qui me semble bien montrer que tu es loin d'être la seule non satisfaite par l'approche "classique".

Bonjour Burakim,


Je suis tout à fait d'accord avec toi, car la pédagogie des tenseurs est un échec et j'ai constaté cela toute ma vie.

J'ai posé une question simple et j'aimerais bien que l'on ose réponde. Je fais un copié collé:




Tout le monde connait la loi de Newton

m.dV/dt = F (V et F vecteurs de notre espace familier)



elle est familière à tout le monde et le lien théorie expérience est aisé (simplicité aidant)


les physiciens théoriciens disent:


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1- Cette équation est covariante.

2- F et V sont des tenseurs cartésiens de rang1

3- Pourquoi cartésien?

4- Si ce n'est pas cartésien (donc tenseur tout court) est-ce compatible avec la notion de covariance?

5- A travers cet exemple quelles leçons tirées sur le concept de tenseur?

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J'attends des réponses à ces questions simples.

[Amanuensis]

La discussion sur les tenseurs, leur nature et leur présentation pédagogique est une rengaine du forum. Ce qui me semble bien montrer que tu es loin d'être la seule non satisfaite par l'approche "classique".

Mouais, pour le coup des densités j'ai jamais été trés convaincu.

Je ne faisais que mentionner qu'une densité tensorielle ("tenseur relatif") n'est pas un tenseur (les composantes ne se transforment pas comme celles d'un tenseur de même rang. En quoi cela pose-t-il problème ?

Permet moi de présenter un point de vue divergent. Ton propos semble dire : les gens qui préfèrent une approche avec des objets intrinsèques comprendront de toute façon bien comment ça marche avec des coordonnées puis pourront approfondir d'eux-même ... Tu ne sembles pas conscient que l'approche en coordonnée peut perdre ces gens-là ou rendre ardu leur compréhension.

Je pense que c'est plus subtil que cela. Déjà, je pense que l'approche en coordonnées doit être connue de toutes manières, parce que les observations ne peuvent s'exprimer qu'en composantes. Du coup, s'il y a une lacune dans l'enseignement c'est peut-être juste de ne pas mentionner l'existence d'une approche "géométrique" (avec des objets intrinsèques), et des pistes de lecture.

Je pense qu'entre deux approches, l'une par les objets avec des indications limitées portant sur les composantes, l'autre par les composantes avec des indications limitées portant sur l'approche intrinsèque, on perd moins d'étudiants en route avec la seconde. (Au fond de moi, je ne suis pas si sûr qu'on en perde avec la seconde, mais, d'accord, je peux me tromper, là.)

L'idée même que les coordonnées soient forcément plus simples n'est pour moi pas pertinente ...)

Si ce n'est pas clair, j'ai la même opinion que vous ou bloupou ! Je trouve l'approche par les objets bien plus satisfaisante ! Je suis d'accord sur les défauts cités. Mais je pense que nous représentons un "point de vue" minoritaire, et je comprends que l'enseignement ne nous cible pas.

Enfin dernier point, l'histoire des mesures. Désolé mais quand j'observe le monde dans la vie courante, j'ai pas mon multimètre ou mon décamètre en poche. Par contre je perçois des états, des transformations. Je suis capable d'imaginer des configurations différentes, d'imaginer la continuité d'un mouvement, etc etc. Ces choses là ne sont pas à priori des choses numériques (même si on peut y souvent associer des nombres). Beaucoup de notions mathématiques dont des objects "qualitatifs" qui reproduisent ces caractéristiques finalement pas si aérienne que ce que certains disent parfois.

Hmm... Oui, la "physique informelle" se passe de formule (par définition ou presque). Mais la physique "savante" consiste en des formules, et j'aimerais bien voir celles qui peuvent se vérifier expérimentalement sans mise en nombres ("mesures") et donc en composantes. Il y en a peut-être, mais aucune ne me vient à l'esprit dans la multitude que je connais !

Et là, on parle de tenseur, pas de continuité ou autre ! Pas quelque chose de bien "visible" ou mesurable hors composantes.

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Bref, encore une fois mon propos est de décourager une discussion en noir et blanc, disant cette approche est bien, celle-là est mauvaise. On peut voir la question d'un peu plus haut que du bas de ses préférences personnelles.

[gatsu]

Si ce n'est pas clair, j'ai la même opinion que vous ou bloupou ! Je trouve l'approche par les objets bien plus satisfaisante ! Je suis d'accord sur les défauts cités. Mais je pense que nous représentons un "point de vue" minoritaire, et je comprends que l'enseignement ne nous cible pas.

Salut,

En y réflechissant bien. On voit quand même que l'approche "objet" est celle largement utilisée dans l'apprentissage de la MQ avec la notion de ket et bra. Même si les maths de la MQ telles qu'elle est enseignée ferait tomber dans le coma le moindre matheu un peu rigoureux, on peut au moins reconnaitre que l'aspect objet, indépendament d'une représentation semble plaire au public occidental.

Il doit y avoir sans doute moyen de continuer dans cette direction en faisant des maths un petit plus rigoureuse (sans se creper sur l'espace L2 pendant 12 pages pour autant) pour la MQ et en introduisant d'autres théories comme la RG d'abord avec les coordonnées (de la même façon que la plupart des intro à la MQ correspondent à la représentation x) puis écrire les équations conceptuelles importantes sous leur forme intrinsèque...après peut être que c'est trop dur pédagogiquement parlant j'en sais rien.

[gatsu]

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1- Cette équation est covariante.

2- F et V sont des tenseurs cartésiens de rang1

3- Pourquoi cartésien?

4- Si ce n'est pas cartésien (donc tenseur tout court) est-ce compatible avec la notion de covariance?

5- A travers cet exemple quelles leçons tirées sur le concept de tenseur?

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J'attends des réponses à ces questions simples.

En dehors de tout cadre, j'ai l'impression que ces questions n'ont aucun sens. J'ai bon ?

[mariposa]

En dehors de tout cadre, j'ai l'impression que ces questions n'ont aucun sens. J'ai bon ?

Pourquoi?

Le cadre est très bien défini et tout le monde a résolu des problèmes avec la la loi de Newton, donc c'est concret, la physique na rien de mystérieux..

dans le même de style de questions j'ajouterai:


On dit que Le champ électrique et le champ magnétique sont des vecteurs.

on dit que le champ électrique est un tenseur (cartésien) de rang 1

On dit que le champ magnétique est un tenseur antisymétrique de rang 2.


Il n y a aucun piège là-dedans, tout le monde sait que sont les champs électriques et magnétiques.

Pourquoi dit-on pour un même être mathématique qu'il est à la fois un vecteur et un certain tenseur?

[invite39876]

Personellement je pense que la vision en coordonées n'est pas une "vision", et je pense que oui quand on a compris la géométrie, la théorie derrière, alors passer en coordonnées n'est qu'une simple formalité, ca n'est pas ca qui est compliqué. Les coordonnées servent a calculer, mais conceptuellement on en a pas besoin.
Apres bien sur si on voulait calculer des formes sur la sphere ou le tore, alors là oui, il faut voir ce que tout ca donne sur des coordonées. Mais ca n'est pas l'essence de la théorie. Tout comme quand on apprends l'algèbre linéaire, de temps en temps pour un probleme donné, on choisit une base et on travaille dans celle ci.
En fait, j'ai l'impression qu'on se pose souvent des faux problemes (comme l'exemple de la matrice comme liste de nombres). Quand on definit un tenseur, c'est un certain element d'un produit tensoriel. Et souvent les question sont mal formulées.

Par exemple, mariposa, je suis désolé, mais pour moi, sous cette forme votre question ne veux rien dire.

Je pourrais vous faire une reponse laconique du style un vecteur peut toujours se voir comme un certain tenseur (ce que j'ai dit quelques messages plus haut avec R^n). Abstraitement le produit tensoriel de Rn par Rm, c'est juste un espace de dimension n.m, donc n'importe quel (n.m)-uplet de nombres definit un tel tenseur.

Maintenant votre question, je crois la comprendre (mais elle est mal formulée). Mais j'insiste que tel qu'elle, mathématiquement elle n'a aucune signification.
PLacons nous dans U un ouvert de R^3, le fibré tangent et cotangent de U sont tous triviaux et valent UxR^3.
Si vous voulez voir E comme un tenseur, alors c'est une section de UxR3 tangeant. Et B est une section du fibré cotangeant. C'est a dire une forme.
Bien sur ces deux fibrés sont duaux l'un de l'autre (et dans ce cas meme isomorphe), et on s'empresse d'identifier B au vecteur C de telle sorte a ce que le pairing canonique tangeant, cotangeant envoie verifie (B,x)=g(C.x)

Mais encore une fois vous ne definissez pas B et E, la moindre des choses pour poser des questions sur qqch, c'est de definir de quoi on parle.
Et vous verez que si vous definissez proprement vos objets, la question ne se posera pas (forcement puisque pour definir un objet, il faut dire a minima dans quel espace il vit).
C'est pour ca que de mon point de vue la question "est ce un tenseur" est un faux probleme, parce qu'il est mal posé.
Je comprend bien ce que veulent dire les gens, en disant par exemple que la matrice de projection n'est pas un tenseur de type (1,1), mais je ne peux m'empecher de tiquer.
La bonne façon (c'est a dire la façon rigoureuse) de le dire serait etant donné un espace E, est ce que l'espace des endomorphismes de E est canoniquement isomorphe a un certaint produit tensoriel E^(n) tenseur E(-m). Je sais que je vais me faire tirer dessus a boulet rouge en disant ca.

Parce qu'apres tout vecteur peut se voir comme un element de et donc etre "un tenseur".

[Amanuensis]

En y réflechissant bien. On voit quand même que l'approche "objet" est celle largement utilisée dans l'apprentissage de la MQ avec la notion de ket et bra.

Oui, mais peut-être trop ? Je me demande si on ne tombe pas dans l'excès inverse : un "objet" fourre-tout, appelée diversement fonction d'onde, d'état, etc. qui contient "tout" ce qu'on peut dire sur un système Puis évidemment, en dimension infinie, ce qui a de quoi décourager une présentation en composantes (Ou plutôt la présentation en composantes n'est pas perçue comme telle...)

Dans le cadre de la physique "classique" (y incluse la RG !), les "objets intrinséques" sont plus précis que ça, trajectoire, vitesse et 4-vitesse, énergie-quantité de mouvement, torseurs de tout poil, cône de lumière, etc. sont des exemples selon moi de "machins" (plus élémentaires que les connexions, ou le tenseur densité d'énergie-impulsion) qui sont "intrinsèques" et traités en composantes au minimum pour les mesures.

Il doit y avoir sans doute moyen de continuer dans cette direction en faisant des maths un petit plus rigoureuse (sans se creper sur l'espace L2 pendant 12 pages pour autant) pour la MQ et en introduisant d'autres théories comme la RG d'abord avec les coordonnées (de la même façon que la plupart des intro à la MQ correspondent à la représentation x) puis écrire les équations conceptuelles importantes sous leur forme intrinsèque...après peut être que c'est trop dur pédagogiquement parlant j'en sais rien.

Cela existe ! Comme je me suis montré intéressé par le sujet, Rincevent m'a indiqué dans le temps divers textes dans cet esprit. En RG (je n'ai plus la référence en tête) un auteur a même écrit tout un cours (ou un livre) entièrement dirigé par la géométrie, en termes d'objets intrinsèques.

Ensuite, pour la pédagogie, ce qui est "dur" pour l'un ne l'est pas nécessairement pour un autre. Les enseignants doivent faire des choix, non ?

[invite39876]

Je viens de trouver une analogie, pour illustrer pourquoi de mon point de vue, la question "est ce un tenseur" de mariposa, formulée comme cela, ne veux rien dire (ou plutot peut appeler plein de reponses toutes correctes).
Pour moi c'est la meme question que de demander est ce que tel truc est un "vecteur?"
Je pense que tout le monde sera d'accord pour dire que par exemple "est ce que la matrice ((1,0)(0,1)) est un vecteur?" est tres mal formulée.
Il y a plusieurs manière de la rendre bien formulée, par exemple en disant "est ce qu'il existe un espace vectoriel telle que cette matrice en soit un element", la reponse sera oui.
Mais elle peut vouloir dire si l'on est sur R², est ce que cette matrice est un element de R², la la reponse est non (encore qu'on pourrait dire qu'il existe un sous espace de M2, isomorphe a R2, dans lequel la matrice est)
Bref la question est mal formulée, et en l'etat plein de reponses sont possibles.
C'est la meme chose pour les tenseurs.
Soit vous vous posez la question, de etant donné un espace E, et un espace V, est ce qu'il existe un isomorphisme canonique entre V et et la la question a un sens.
Soit si vous parlez d'un element, alors vous l'avez defini en tant qu'element d'un espace et la question de savoir a quel espace il appartient est triviale.

[Amanuensis]

PLacons nous dans U un ouvert de R^3

Une remarque mesquine : parler de R^3, c'est déjà parler en composantes ! Et en plus (au vu de la suite du message) c'est implicitement euclidien, avec donc une métrique privilégiée et plate. Sans compter la confusion entre espace vectoriel et variété (dans l'enseignement, R^3 est le plus souvent l'espace vectoriel euclidien, non?).

Une vision géométrique parlerait d'un ouvert simplement connexe d'une variété différentielle de dimension 3, en précisant ou non une métrique, selon le besoin, non ?

(Par exemple dans la vision géo diff de la thermo classique, il n'y a pas de métrique...)

Vous qui disiez ne pas référer à un élément d'un espace en prenant un élément d'un autre espace, n'est-ce pas ce qui est fait implicitement en parlant de R^3 en lieu et place d'espaces de structure éventuellement moins riche ou différente ?

[invite39876]

Une remarque mesquine : parler de R^3, c'est déjà parler en composantes ! Et en plus (au vu de la suite du message) c'est implicitement euclidien, avec donc une métrique privilégiée et plate. Sans compter la confusion entre espace vectoriel et variété (dans l'enseignement, R^3 est le plus souvent l'espace vectoriel euclidien, non?).

Une vision géométrique parlerait d'un ouvert simplement connexe d'une variété différentielle de dimension 3, en précisant ou non une métrique, selon le besoin, non ?

(Par exemple dans la vision géo diff de la thermo classique, il n'y a pas de métrique...)

Vous qui disiez ne pas référer à un élément d'un espace en prenant un élément d'un autre espace, n'est-ce pas ce qui est fait implicitement en parlant de R^3 en lieu et place d'espaces de structure éventuellement moins riche ou différente ?

Non, parler de R^3 ca n'est pas deja parler en composante, pourquoi?. R^3 est une variété au meme titre qu'une autre. A aucun moment je 'nutilise des coordonées" pour definir quoique ce soit.
Et la je repondais (enfin j'essayais de repondre) a la question de mariposa sur l'electromagnetisme classique, et effectivement le contexte est R3, avec une métrique canonique.