Rapport entre la notion de droite en géométrie et d'inertie en physique

[invite6754323456711]

Bonjour,

Afin de ne pas faire dévier un autre fil par un thread qui c'est créé l'entrée qui donne matière à ce fil se rapporte à ces interventions :

Si on dit que l'espace-temps est modélisé comme affine de dimension 3, les droites spatiales sont bien sûr intrinsèques (parce qu'elles forment une classe invariante par les transformations de Galilée : si une trajectoire 4D (une notion intrinsèque contrairement à une trajectoire 3D) est inertielle (= uniforme dans un référentiel galiléen), sa projection spatiale est une droite dans tout référentiel galiléen).

(Au passage, la structure affine essentielle est celle de l'espace-temps, pas de "l'espace" parce qu'il n'y a pas un "espace" unique ; l'espace-temps classique (de Leibniz) n'est pas un produit cartésien espace 3D x temps 1D.)

Maintenant, comment détermine-t-on LA structure affine parmi toutes les structures affines possibles ? Comment on "reconnaît" en pratique une "droite" répondant au modèle affine ?

C'est la même question que reconnaître les référentiels galiléens.

En se limitant à l'espace (dans un référentiel choisi) la question, physique, est simplement "comment vérifie-t-on qu'une règle est droite" ? Question bien plus ardue qu'il n'y paraît, beaucoup de réponses qui viennent à l'esprit sont circulaires.

Une des réponses correcte et intéressante est qu'on utilise des étalons de "rectitude", ce qui se compare bien avec les unités.

Un exemple d'étalon est un faisceau lumineux (un laser en version moderne). La RG montre alors que la notion de "droite" n'est pas si simple...

Pour moi, la notion telle que l'objet de base est "le point" est simplement un ensemble. Un plan (par exemple) affine est un ensemble muni d'une structure consistant en un sous-ensemble des parties appelées "droites" et respectant un certain nombre d'axiomes. (Par exemple il existe un plan affine de 4 points et 6 droites--le plan de Fano moins une ligne.)

Pour moi "structure affine" réfère explicitement aux droites, espace affine = ensemble muni d'une structure affine, c'est-à-dire un couple (E, D) où D est un sous-ensemble de P(E) respectant certains axiomes.

Je ne me place pas dans le cas où le modèle affine est donné a priori ; dans ce cas les droites sont intrinsèques (par définition, si on applique l'approche axiomatique). Je ma place "un cran plus bas" : n'acceptant que la structure de variété différentielle 4D, comment je rajoute par observation une structure affine.

Rien d'autre que la RG implique l'impossibilité de déterminer un ensemble de droites qui permettrait de voir par l'observation l'espace-temps comme ayant une structure affine. Parce qu'une définition de la rectitude comme donnée par les trajectoires des rayons lumineux ne donne pas une structure affine.

la discussion sur la synchronisation des référentiels en relativité générale m'a conduit à envisager une définition "physique" des référentiels galiléens comme : ce sont des référentiels définies par des horloges dont le temps propre peut être synchronisé, tout en restant à distance mutuelle constante. Et un espace sans gravitation est un espace où de tels référentiels existent.

(Temps propre synchronisés signifie : toute horloge est munie d'un temps propre , tel que pour deux horloges voisines, les instants simultanés (déterminés par l'échange de rayons lumineux) correspondent à la même valeur de )

Intéressant. Cela donne à réfléchir, du fait que la notion d'inertie n'apparaît pas explicitement (alors que l'approche usuelle est galiléen=inertiel=structure affine). Cela fait un moment que l'idée que le temps propre et l'inertie soient étroitement liés me trotte dans la tête. (On peut voir une "correspondance" : temps coordonnée <-> énergie, espace <-> quantité de mouvement, temps propre <-> masse (1)).

(1) Pour la partie continue... Et un auteur propose signe du temps coordonnée <-> T, orientation de l'espace <-> P, signe du temps propre <-> C ; pas grand chose à voir, mais cela regroupe joliment des trios.

Pour faciliter la compréhension des échanges qui pourraient en découler il importe de bien préciser le cadre théorique de l'espace et des éléments qui le constituent : Espace variété différentielle, Espace affine/Espace vectoriel, structure/groupe affine, .... ; point, courbe, droite, vecteur, ...

Patrick
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[invite7ce6aa19]

Bonjour,


Pour faciliter la compréhension des échanges qui pourraient en découler il importe de bien préciser le cadre théorique de l'espace et des éléments qui le constituent : Espace variété différentielle, Espace affine/Espace vectoriel, structure/groupe affine, .... ; point, courbe, droite, vecteur, ...

Patrick

Bonjour,


Tout dépend de quel raffinement mathématiques tu désires et pour quoi faire?


1- Variété Euclidienne.


Soit un plan (pour fixer les idées) qui est une variété, cad un ensemble de points (dans la perspective d'effectuer des opérations de dérivée je la déclare différentiable par anticipation).


Sur cette variété je peut faire passer un ensemble de courbes par 2 points A et B.


Pour comparer ces courbes je doit définir un champ de métriques (voir rubrique espace euclidien), c'est à dire la distance entre 2 points proches.


Dans le cadre de la géométrie euclidienne je choisis la métrique standard qui est la même en tous points.


Ainsi par intégration je peux attribuer une longueur à 1 courbe qui est invariant de cette courbe.


Je peux donc chercher quelle est la courbe qui a la longueur optimale. Cette courbe particulière qui passe entre 2 points s'appelle ligne droite.

Par un DL au voisinage de la ligne droite on peut montrer que la longueur est minimale.


2-Espace euclidien


L'espace Euclidien c'est un espace vectoriel sur lequel on définit un produit scalaire standard . Cad un espace de Hilbert.

En attachant a un point A de la variété Euclidienne on peut construire la métrique à partir du produit scalaire (le produit scalaire est une forme bilinéaire).

Plus généralement je peux attacher le prototype d'espace euclidien à tous les points de l'espace et engendrer une métrique uniforme.


3- L'inertie; les mouvements galiléens..


Je définie une fonction appelée Lagrangien L(v,x)


L (v,x) = 1/2.m.[dv/dt] + U(x)


où on reconnait les classiques.

On cherche à minimiser cette fonction selon la trajectoire dans un espace (v, x) appelé espace des phases.


On trouve:

m.dv/dt = - dU/dx

Parmi ces mouvements ils des mouvements particuliers qui régissent l'équation:

m.dV/dx = 0


que l'on appelera mouvement inertiels ou mouvements galiléens


Par intégration on trouve:

x = V°.t + x°

Ainsi les mouvements inertiels sont des lignes droites de l'espace euclidien.


4- groupe galiléen.

Il est facile de vérifier que l'on peut passer d'un mouvement galiléen par une transformation linéaire enchainer les transformations ce qui définit le groupe galiléen.

[invite6754323456711]

Bonjour,

Tout dépend de quel raffinement mathématiques tu désires et pour quoi faire?

Suffisant pour comprendre le rapport d'une notion physique l'inertie aux différents discours mathématiques ayant évolués pour le formaliser. C'est à dire se focaliser sur les classes d’objets géométriques, les droites du genre temps et lumière permettant de décrirent les mouvements possibles de particules libres en renforçant la liaison entre l’espace et le temps.

L'objet n'est pas de se restreinte à un discours mathématique, mais plutôt expliciter ce qui conduit à un tel discours. L'objet physique d'étude est l’inertie et comme tout objet il se défini d'abord par ses propriétés, caractéristiques pour en suite pouvoir en faire une représentation, description la moins ambigu possible.

Autrement dit poser les a-priori/hypothèses/permises qui permettent de construire le concept physique d'inertie pour en suite construire un discours mathématique permettant d'en parler.

Patrick

[invite6754323456711]

Autrement dit poser les a-priori/hypothèses/permises qui permettent de construire le concept physique d'inertie pour en suite construire un discours mathématique permettant d'en parler.

Exemple d'hypothèse :

Loin de constater une banalité ou même une pétition de principe, le principe d’inertie nous permet de donner un sens physique à des mouvements privilégiés, les mouvements “libres” ou mouvements inertiels. Ces mouvements correspondent alors à toutes les trajectoires rectilignes possibles dans ...

Un faisceau lumineux donne l’intuition de cette notion de rectitude. Amanuensis propose de l'utiliser comme étalon de "rectitude". Quel sont les caractéristiques nécessaire et suffisante pour décrire toutes les propriétés de l'inertie ?

Patrick

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Je vois déjà un souci avec la diffraction de ce brave faisceau lumineux si on le contraint trop par rapport à sa longueur d'onde.
On va avoir des droites très sphérique...

[invite6754323456711]

Je vois déjà un souci avec la diffraction de ce brave faisceau lumineux si on le contraint trop par rapport à sa longueur d'onde.
On va avoir des droites très sphérique...

L'inertie semble poser à-priori comme équivalent à un état de repos (notion d'immobilité). Dans une représentation géométrique en 4D (En mécanique des milieux continus, l’outil mathématique qui semble apparaître le plus adéquat pour décrire l’univers est celui de variété différentielle) cela semble se traduire par une notion de rectitude d'une trajectoire idéalisé par des trajectoires suivant des géodésiques.

Comment se définirait cette rectitude de manière intrinsèque ?

Le principe d'inertie ne peut acquérir tout son sens que dans un contexte dynamique qui va au delà d'une présentation cinématique ?

Comment "par la pratique" mesurer les propriétés définissant l'inertie ?


Patrick