atome d'hydrogène soumis à un champ magnétique fort

[sailx]

Bonjour à tous,
j'ai un petit problèmr avec l'exercice suivant en MQ :
soit H l'hamitlonnien d'un atom d'hydrogène plongé dans un champ magnétique fort :

on suppose que le terme d'interaction spin orbite est négligeable devant le terme de couplage avec le champs magnétique.
Les états propres de H sont de la forme |n,l,m,S,ms> où S=1/2.
je dois étudier les clivages des premiers niveau, mais j'ai un petit problème :
est-ce que je doit introduire le moment cinétique totale L+S ? et ensuite trouver ses termes pour le diagonaliser ? ou est ce que je peux traiter directement en pertubation (ça me semble bizare vu que B est censé être fort ...).
Dans le cas où il faut considérere le moment cinétique, comment dois-je m'y prendre, par exemple pour le cas n=1 ?

merci d'avance
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[mariposa]

Bonjour à tous,
j'ai un petit problèmr avec l'exercice suivant en MQ :
soit H l'hamitlonnien d'un atom d'hydrogène plongé dans un champ magnétique fort :

on suppose que le terme d'interaction spin orbite est négligeable devant le terme de couplage avec le champs magnétique.
Les états propres de H sont de la forme |n,l,m,S,ms> où S=1/2.
je dois étudier les clivages des premiers niveau, mais j'ai un petit problème :
est-ce que je doit introduire le moment cinétique totale L+S ? et ensuite trouver ses termes pour le diagonaliser ? ou est ce que je peux traiter directement en pertubation (ça me semble bizare vu que B est censé être fort ...).
Dans le cas où il faut considérere le moment cinétique, comment dois-je m'y prendre, par exemple pour le cas n=1 ?

merci d'avance

Bonjour,

un premier conseil:

Les états propres non perturbés sont: |n,l,m,S,ms>

Comme il n'y a pas de couplage spin-orbite commence à déterminer la matrice de Lz dans cet base.

Pourquoi cette matrice n'est pas diagonale?


A quelle condition peux-tu négliger les éléments non diagonaux?

[sailx]

et bien pour moi, Lz est diagonale dans la base de H0 car il me semble que les vecteur |n,l,m > sont une base propre de Lz, L² et H (qui sont tout trois codiagonalisable)
Donc pour moi, Lz est juste une diagonale avec des termes en "m hbar" dans sa diagonale

[mariposa]

et bien pour moi, Lz est diagonale dans la base de H0 car il me semble que les vecteur |n,l,m > sont une base propre de Lz, L² et H (qui sont tout trois codiagonalisable)
Donc pour moi, Lz est juste une diagonale avec des termes en "m hbar" dans sa diagonale

Bonjour,


Je t'ai posé cette question car il y avait un piège.

En effet il y a des éléments de matrices non nuls tel que:

<n,l,m |Lz|n',l,m>

ceci est vrai quelques soient les couples n, n'

Par contre l'opérateur Sz n'agira que dans des sous-espaces de dimension 2.


Donc la seule difficulté de ce petit problème sont les mélanges effectués par Lz entre valeurs de n différentes.

Finalement, cette exercice est très utile sur le plan pédagogique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[sailx]

Je t'ai posé cette question car il y avait un piège.

En effet il y a des éléments de matrices non nuls tel que:

<n,l,m |Lz|n',l,m>

ceci est vrai quelques soient les couples n, n'

.

merci pour cette réponse, mais je ne vois pas pourquoi de tels éléments existent ? si les vecteurs sont des vecteurs propres de Lz, ces termes ne devrait pas apparaitre... c'est donc que j'ai fait une erreur de raisonnement quelque part ....
A vrai dire je ne vois pas comment Lz "mélange" les valeurs de n ... ?

[mariposa]

merci pour cette réponse, mais je ne vois pas pourquoi de tels éléments existent ? si les vecteurs sont des vecteurs propres de Lz, ces termes ne devrait pas apparaitre... c'est donc que j'ai fait une erreur de raisonnement quelque part ....
A vrai dire je ne vois pas comment Lz "mélange" les valeurs de n ... ?

parceque une fonction peut s'écrire:

F(r,angle) = f(r).Ylm (angle)

donc: l'intégrale sur les angles et sur les rayons de:

f1(r)Ylm (angle).Lz.f2(r).Ylm (angle)

n'est pas nul.

car l'intégrale sur le rayon de:

f1(r).f2(r) n'est pas nul


Dans ton cas les f1(r) et f2(r) sont indicés par les valeurs n et n'

[sailx]

d'accord, j'ai compris. Toute le problème ici est de dire quand est-ce que ces termes sont négligeables pour n'avoir affaire qu'à des termes diagonaux.

MAis je trouve ç étrange car je croyais que la base |n,l,m> était justement construite pour codiagonaliser ?

[mariposa]

d'accord, j'ai compris. Toute le problème ici est de dire quand est-ce que ces termes sont négligeables pour n'avoir affaire qu'à des termes diagonaux.

MAis je trouve ç étrange car je croyais que la base |n,l,m> était justement construite pour codiagonaliser ?

Ce qu'il faut retenir:




Donc |L,M> sont fonctions propres des 2 opérateurs.

Ceci est lié à tous les potentiels sphériques et permet mettre une étiquette sur le niveaux.


Néanmoins on peut avoir plusieurs fois la même étiquette relative à la partie sphérique.

Il faut donc un symbole pour les distinguer donc:

|a,L,M>

Pour l'atome d'hydrogène l'usage est de prendre n

mais ce n'est plus valable pour les atomes à plusieurs électrons.

[gatsu]

Salut à tous,

mariposa je ne comprends pas... par définition non ?

Si tel est le cas alors si la base des est orthonormée, alors tout élement de matrice de même avec des differents vaut zero non ?

[sailx]

en fait, ce que je ne comprend pas c'est la chose suivante : (je me place dans le cas de l'atome d'hydrogène)
lorsqu'on à affaire à un moment, on regarde les opérateurs
on trouve les vecteurs propres |l,m> liées aux harmoniques sphériques.
Mais ces vecteurs ne donnent aucunes informations sur la partie radiale, et dans ces sous espaces propres, on introduit un autre indice pour distinguer les différents vecteurs d'un sous espace propre associé à l et m.
donc normalement, par contstruction, L² et Lz sont diagonales dans la bases des |n,l,m>

et là je suis perdu, car .... car ça me semble être en contradiction avec ce que vous venez de dire ... et je suis tout à fait d'accord pour dire que (par le calcul des intégrales) on peut avoir l'intégrale sur r des fn(r)*fn'(r) qui ne soit pas nul ..

[gatsu]

et je suis tout à fait d'accord pour dire que (par le calcul des intégrales) on peut avoir l'intégrale sur r des fn(r)*fn'(r) qui ne soit pas nul ..

Comment est ce possible ? Indépendamment du calcul d'intégrales, cela voudrait dire que la probabilité d'être dans un état 1s sachant qu'on est en 2s est non nulle...

[mariposa]

Salut à tous,

mariposa je ne comprends pas... par définition non ?

Si tel est le cas alors si la base des est orthonormée, alors tout élement de matrice de même avec des differents vaut zero non ?

Bonsoir,


Je réponds a tous les deux.


J'ai résonné en général sur un atome quelconque (et non sur Hydrogène) et j'ai dit des "grosses" bétises.


Les fonctions radiales sont automatiquement orthogonales. En effet:

Un élément de matrice:

<n l m | Lz|n' l' m> = m. <n, l|l',n'> = 0

car lorsque l'on a le même m l'orthogonalité des fonctions propres est assurée

par les fonctions radiales.

[sailx]

d'accord, maintenant ça va, je comprend mieux.
Une petite question cependant :
lorsqu'on dit que "l'interaction spin-orbitate est négligeable", est-ce que cela signifique que les opérateurs associées (ici S et L) agissent sur des espaces différents et donc commutent ?

[mariposa]

d'accord, maintenant ça va, je comprend mieux.
Une petite question cependant :
lorsqu'on dit que "l'interaction spin-orbitate est négligeable", est-ce que cela signifique que les opérateurs associées (ici S et L) agissent sur des espaces différents et donc commutent ?

les opérateurs L et S agissent dans des espaces différents et donc ils commutent inévitablement

on peut écrire:

|L,M, S, Ms> = | L,M>.|S,Ms> qui est un produit directe .

On peut écrire un opérateur L qui agit dans l'espace -produit tensoriel:

L | L,M>.|S,Ms> = |S,Ms>. L | L,M>

même chose pour l'opérateur S


Remarque on peut écrire la somme d'opérateurs L + S sous la forme:

L.I + I.S où I est l'opérateur identité agissant dans l 'espace "complémentaire"


Donc après action de ton hamiltonien les espaces orbitaux et de spin restent séparés (ils s'ignorent).


Par contre l'opérateur L.S (le couplage spin -orbite) va agir dans l 'espace produit tensoriel et donc mélanger les états orbitaux et de spins.

[sailx]

ok, d'accord, j'ai compris. Les problèmes surviennent lorsque des termes "couplés" apparaissent (par ex L.S ou SL etc...)
Merci beaucoup pour cette explication !