Mecanique Quantique soluble dans la Géométrie non Commutative?

[invite76543456789]

Bonjour,
Je me pose pas mal de questions quant a la parenté de la mecanique quantique et de la geometrie non commutative.
Je suis au courrant bien sur des recherches recentes de Connes pour tenter de donner un traitement quantique de la gravitation dans un contexte non commutatif mais mes questions ne portent pas sur ca.
Je voulais savoir si on pouvait (enfin je suis persuadé que oui, mais je ne trouve nulle part ou c'est fait) formuler la mecanique quantique "classique", c'est a dire sans gravitation, celle qui est bien comprise, en termes de geometrie non commutative, et donc avoir un traitement géométrique de la MQ (un peu comme la RG pour la gravité ou KK pour l'electro, bien que bien different, puisque dans un cadre GNC).
J'ai essayé d'equisser une telle chose moi meme, mais finalement je perds pas mal de temps, et j'aimerai bien disposer d'un tel traitement.

Voila, je precise que je suis pas non plus un virtuose en MQ (je connais bien le bouquin de dalibard) ni en GNC (je connais un peu, mais je suis pas un expert).
Merci!!
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[albanxiii]

Bonjour,

Les travaux de Jean-Marie Souriau peuvent vous intéresser : http://www.jmsouriau.com/

Bonne journée.

[AnotherBrick]

Bonjour,

Une approche dans ce sens est la quantification de Weyl qui repose sur l'espace des phases et la géométrie symplectique. Un autre court article de wikipédia sur ce sujet : quantification géométrique.

[edit] c'est abordé sur le site de Souriau d'ailleurs

[invite76543456789]

Merci pour vos reponses, le probleme, c'est que j'ai pas l'impression que ce soit formulé dans le langage de la GNC, enfin du moins tel que je le connais (c'est a dire essentiellement la theorie des triplets spectraux). Je vais relire les liens que vous m'avez donné et essayer de faire le lien (si lien il y a).

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

Merci pour vos reponses, le probleme, c'est que j'ai pas l'impression que ce soit formulé dans le langage de la GNC, enfin du moins tel que je le connais (c'est a dire essentiellement la theorie des triplets spectraux). Je vais relire les liens que vous m'avez donné et essayer de faire le lien (si lien il y a).

Bonjour,

Effectivement les liens ci-dessus ne me semble pas en rapport avec la GNC, mais plutôt traite du lien entre MC et MQ.

Par ailleurs je ne suis pas sûr que Alain Connes ait abordé le traitement quantique de la RG. As-tu des références sur cette question?

[invite76543456789]

Alors j'ai des references quant au traitement de la gravitation dans un cadre quantique (enfin dans un cadre non commutatif) oui, apres je ne dirai pas que c'est un traitement quantique de la relativité generale, meme si on peut voir ca comme ca.
Apres tout on peut faire de la geometrie non commutative sur les variétés riemanniennes, et donc retrouver toute la geo diff dans ce contexte non commutatif (ce sont d'ailleurs le premiers exemples qu'on apprends).
J'ai pas mal de references la dessus oui. Mais pas au format numerique malheureusement. Je dois quand meme avoir quelques pdf qui trainent (ou meme sur le net) j'essairai de mettre la main dessus.

Ce que je n'ai pas c'est un traitement de la mecanique quantique dans le langage geometrique de la GNC, alors que ca devrait etre son cadre "naturel" pourtant.

Cet article de connes, fait deja un lien entre geometrie riemannienne (et donc RG) comme cas particulier de geometrie non commutative.
http://www.alainconnes.org/docs/foundation96.pdf

Apres y a d'autres articles pas mal, sur les triplets spectraux pas forcement de connes lui meme, ou on montre comment retrouver la geometrie riemannienne d'une variété a partir de la donné d'un certain triplet spectral (son module de Fredholm typiquement)

[AnotherBrick]

Effectivement les liens ci-dessus ne me semble pas en rapport avec la GNC, mais plutôt traite du lien entre MC et MQ.

"eppur si muove"

Par ailleurs je ne suis pas sûr que Alain Connes ait abordé le traitement quantique de la RG.

unification de la gravité et du modèle standard

le probleme, c'est que j'ai pas l'impression que ce soit formulé dans le langage de la GNC

effectivement, ce n'est pas le cas car :
- ce sont des travaux plus anciens
- dans l'approche de Connes tu supposes dès le départ une variété pseudo-riemannienne "pas absolue" (au sens de la relativité générale, ie avec comme groupe de jauge celui des difféomorphismes) et donc tu ne peux pas échapper à la gravitation

[invite76543456789]

effectivement, ce n'est pas le cas car :
- ce sont des travaux plus anciens
- dans l'approche de Connes tu supposes dès le départ une variété pseudo-riemannienne "pas absolue" (au sens de la relativité générale, ie avec comme groupe de jauge celui des difféomorphismes) et donc tu ne peux pas échapper à la gravitation

Mmh donc si je comprends bien, il n'y a pas eu (du moins par Connes) de formulation de la meca Q sans gravitation en terme de triplet spectraux, et ce formalisme est deja fait "pour la gravitation".

[invite6754323456711]

Mmh donc si je comprends bien, il n'y a pas eu (du moins par Connes) de formulation de la meca Q sans gravitation en terme de triplet spectraux, et ce formalisme est deja fait "pour la gravitation".

Dans son HDR Thierry Masson mentionne les travaux d'A. Connes.

La géométrie non commutative appliquée à la physique qu’A.Connes a développée est très différente de celle qui sera expliquée au chapitre 2. En effet, la construction d’A. Connes repose de façon essentielle sur un triplet spectral, constitué d’une algèbre topologique, d’un espace de Hilbert sur lequel cette algèbre se représente, et d’un opérateur de Dirac sur cet espace de Hilbert.Ces trois objets satisfont à des relations de compatibilité, qui ne sont, ni plus, ni moins, que ce qu’il faut pour que l’algèbre des fonctions C∞ sur une variété compacte à spin, muni de l’espace de Hilbert obtenu par complétion des sections L² d’un fibré des spineurs et de l’opérateur de Dirac naturel, soit un tel triplet spectral. C’est le modèle commutatif de cette construction.

Patrick

[invite76543456789]

ù100fil-> Je connais la définition d'un triplet spectral oui, et je sais comment on peut associer a une variété riemanienne un triplet spectral qui la caractérise. Mais je ne vois pas bien le rapport avec ma question en fait (enfin si ce n'est rappeler les defs en jeu).