géométrie non commutative

[ChiLenO]

euhhh C'est quoi la géométrie non commutative ?
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[Quinto]

Bonjour,
une recherche google rapide nous donne:
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9...on_commutative

[hedron]

Salut.

Quel est ton niveau en maths ?

[ChiLenO]

chui en spé psi* ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[hedron]

Je ne connais pas la géométrie non commutative, mais je connais un peu de "géométrie commutative" (terme non officiel)

1.Courbes algébriques
2.Anneaux
3.Géométrie algébrique
4.Généralisation
5.Géométrie non commutative.

1. Une courbe algébrique, c'est l'ensemble des solutions d'une équation algébrique (du genre X^3=Y^2+1) dans K^2 où K est un corps.
Exemple : le cercle X^2+Y^2=1 dans R^2, les coniques, les cubiques, etc... On a aussi des surfaces (comme X^2+Y^2+Z^2=1), des courbes dans K^3 ("X=Z^2 et Y=Z^3") et plus généralement n'importe quel système d'équations polynomiales dans K^n. Ce sont les variétés algébriques.
Il se trouve que la théorie est plus facile et mieux comprise quand le corps est algébriquement clos (comme C par exemple).

2. On s'intéresse à l'anneau des fonctions polynomiales de K^n resteintes à la variété. C'est un anneau commutatif.

3. La géométrie algébrique s'évertue à traduire tout un tas de propriétés des variétés en termes purement algébriques sur l'anneau. Par exemple, les sous-variétés sont les idéaux. On peut calculer la dimension à partir de l'anneau, sans connaitre la variété. On peut définir l'espace tangent en un point de façon algébrique, ETC... (Et ça devient vite très technique et élaboré).

4. En un certain sens, deux variétés sont équivalentes si leurs anneaux sont isomorphes. Maintenant, on peut prendre n'importe quel anneau, et faire exactement les mêmes manips que dans le 3., mais sans jamais associer une variété à cet anneau. On a alors quelquechose de purement algébrique, une espèce de généralisation. C'est encore plus dur. On définit l'analogue des points mais ça n'a pas d'interprétation claire.

5. Enfin, si j'ai bien compris, la géométrie non commutative consiste à prendre un anneau non commutatif. Mais là, on ne peut même pas définir un analogue des points... Il va sans dire que c'est encore plus difficile.

Tout cela est censé provenir de la mécanique quantique, mais je n'y comprends rien (avec des opérateurs sur des espaces de Hilbert). Cela semble être un passage obligé pour développer de nouvelles théories physiques...

Un article trouvé avec G--gle : http://www2.cnrs.fr/sites/communique...ommutative.pdf

[isozv]

Bonsoir

En se donnant la peine de chercher un peu avec Google tu trouveras :

http://sciences.ows.ch/mathematiques...ommutative.pdf

Cordialement