Trace d'un Tenseur d'ordre N

[Lévesque]

Bonjour (je me suis pas encore couché, mais bon, c'est presque le jour!). J'ai un petit problème avec la trace d'un tenseur d'ordre N. Premièrement, je trouve nul par comment la calculer. Disons, pour compliquer le plus possible les choses, que j'ai un tenseur où les indices vont de 1 à 3 (un tenseur spatial). Ça donne quelque chose du genre:

.

C'est jolie. Mais bons, au début, jme disais que la trace devait être la somme des éléments de T qui ont tous des indices égaux. Sauf que ça marche pas. Si je prends N=4, j'ai un tenseur à 81 paramètres que je peux représenter par une 9X9. La trace, c'est la somme de 9 paramètres, et ça marche pas avec l'idée de sommer les T qui ont les mêmes indices... ça me ferait une somme de seulement 3 paramètres (. J'ai beau chercher... N'comprend pas.
Pire, si je prends N=3, j'obtient un tenseur à 27 paramètres. Je peux même pas faire une matrice carré avec ça, d'où mon questionnement de ce que peux bien signifier la trace (en dehors de la représentation matricielle).



La compréhension du concept de trace m'a faussé compagnie, sans laisser de trace....

Simon
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[GillesH38a]

Ben, il me semble que pour un tenseur a plus de deux composantes, il n'y a pas de trace unique, tu peux choisir de sommer sur différents couples d'indices et tu obtiens un tenseur (N-2). Il n'y a que des tenseurs d'ordres 2 qui donnent un scalaire. En RG il faut sommer sur les composantes mixte covariante-contravariante.

[Lévesque]

Merci Gilles, déjà d'oublier le scalaire, ça m'aide. Mais, disons, tu pourrais me donner un exemple explicite de comment tu calcules la trace d'un tenseur de rang trois? Disons, celui obtenu du produit tensoriel de 3 tenseurs spatiaux?

Merci encore,

Simon

[Lévesque]

tu peux choisir de sommer sur différents couples d'indices et tu obtiens un tenseur (N-2).

Juste ça, par exemple. Je veux voir une preuve. Si je vois cela, toute mes questions auront leur réponse.

Salutations,

Simon

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lévesque]

Je pense que je viens de comprendre. Je choisi une paire d'indice, je somme sur ces indices en considérant qu'ils sont égaux, et j'obtient une trace, qui est d'ordre N-2. Dans un tenseur d'ordre N, il y a M paires possibles, donc M traces possiblement différentes. C'est ça?

Merci,

Simon

[gatsu]

Normallement la trace d'un tenseur ne peut etre calculée que lorsque le tenseur est p fois covariant et p fois contravariant sinon cela ne veux rien dire (d'apres ce que j'ai appris du moins). Par exemple tu ne peux pas obtenir la trace d'un tenseur dont la composante est du type
En revanche si tu considères le tenseur de composante tu peux faire une multiplication contractée qui consiste en fait à égaliser deux indices (l'un covariant et l'autre contravariant). dans notre cas cela donne la composante d'un tenseur mixte d'ordre 2.
Aussi on peut definir le tenseur de composante:
dont on peut montrer qu'elle se transforme comme une composante de tenseur mixte d'ordre 4-2=2.
Si tu définit un nouveau tenseur en contractant à nouveau les indices tu obtient:
qui est une composante de tenseur d'ordre 2-2=0 , c'est un scalaire ,c'est une trace du tenseur de cmposante qui dépend à priori de l'ordre dans lequel on a contracté les indices.
Voilà, en esperant ne pas avoir raconté de betises

[Lévesque]

T'as peut-être raison pour le nombre d'indices contra-cova en RG (je sais pas...).

Mais dans mon livre de TQC, il est écrit: "Un tenseur générique [plus haut, il est dit que c'est un tenseur spatial] est le produit directe de N fois la représentation vectorielle, [le symbole 1 en gras réfère au spin de la représentation. Normalement, en math, on écrit la dimension de la représentation. La dimension est en général donnée par 2j+1 où j est le spin], donc il contient un spin aussi grand que N. Décomposant en représentations irréductibles, on doit enlever la trace et chaque paire d'indices doit être symétrisée ou antisymétrisée. Quand on enlève une trace deux indices sont contractés et on obtient un tenseur avec deux indices en moins, lequel ne peut avoir un spin plus grand que N-2. [...]Des exemples typiques sont le moment quadrupolaire d'une distribution de masse (ou d'une distribution de charge),
,
lequel est un opérateur de spin-2. Un opérateur de spin-3 est le moment octupolaire,
,
où l est sommé et


Personne pour compléter l'explication? Je ne comprends pas pourquoi, dans ce cas, la trace constitue une représentation irréductible. Quand c'est un tenseur de Rang 2, la trace est un scalaire. Donc, sous la rotation, la trace et les tenseurs symétriques/antisymétriques ne se mélangent jamais. Mais dans ce cas, comment savoir si "une" trace correspond à une représentation irréductible? Je sais bien que l'auteur (M. Maggiore) le dit, mais moi les mots ne me disent absolument rien.

[Lévesque]

T'as peut-être raison pour le nombre d'indices contra-cova en RG (je sais pas...).

Aussi, concernant le nombre le nombre d'indices contra-cova, j'ai trouvé, dans Marchildon, Mécanique Quantique:

Tout quadruplet qui se transforme comme est appelé quadrivecteur contravariant [...] Un Tenseur contravariant de rang N est un objet du type qui, dans les transformations de Lorentz, se transforme comme . On définit de même des tenseurs covariants, et des tenseurs mixtes. Tous ces objets constituent des espaces vectoriels sur lesquels le groupe de Lorentz est représenté, en général de manière réductible.

Seulement pour préciser...

[GillesH38a]

Bon déjà il n'y a pas de problèmes pour les composantes covariantes si on a un tenseur purement spatial dans un espace euclidien, ce sont les mêmes que les composantes contravariantes puisque le tenseur métrique est en fait l'identité.

Ce que Maggiore appelle la trace est a mon avis le tenseur d'ordre N construit à partir de toutes les sommes possibles sur des couples d'indices et multiplié par le tenseur approprié. Pour un tenseur d'ordre 2, ca redonne la trace ordinaire (scalaire) fois l'identité. C'est ce qu'il enlève du tenseur initial, afin d'obtenir un tenseur total de trace nulle.

Pourquoi c'est une représentation irréductible....euh je ne sais pas ça doit se démontrer lol. Pour le rang 2 c'est évident puisque l'identité est trivialement irréductible.

[Lévesque]

Bon déjà il n'y a pas de problèmes pour les composantes covariantes si on a un tenseur purement spatial dans un espace euclidien, ce sont les mêmes que les composantes contravariantes puisque le tenseur métrique est en fait l'identité.

Ce que Maggiore appelle la trace est a mon avis le tenseur d'ordre N construit à partir de toutes les sommes possibles sur des couples d'indices et multiplié par le tenseur approprié. Pour un tenseur d'ordre 2, ca redonne la trace ordinaire (scalaire) fois l'identité. C'est ce qu'il enlève du tenseur initial, afin d'obtenir un tenseur total de trace nulle.

Je vois pas comment ça peut donner un tenseur d'ordre N-2 dans ce cas. Je pense que la trace dont il parle est la contraction de seulement 2 indices.

Ce que Maggiore fait, on peut l'expliciter avec une martice 4x4 tout à fait arbitraire. On décompose cette matrice en une somme de trois matrices: la partie symétrique, la partie anti-symétrique, et la trace. Chacune de ces parties, sous le groupe des rotations, retombe dans le même sous groupe. Par exemple, la partie symétrique demeure symétrique suite à la rotation. Vraiment triviale toutes ces idées.


Mais, dans le cas du tenseur spatial d'ordre N, quelle caractéristique peut-on donner à la trace laquelle est conservée sous une rotation? Même question pour la partie symétrique (antisym.). Le tenseur ne peut être symétrique (antisym.) que sur 2 indices.

Pourquoi c'est une représentation irréductible....euh je ne sais pas ça doit se démontrer lol. Pour le rang 2 c'est évident puisque l'identité est trivialement irréductible.

Personne dans tous les physiciens sur ce forum ne connait de livre où un tenseur d'ordre arbitraire est décomposé en sous-groupes irréductibles? Cela me surprendrait...


Salutations,

Simon

[Lévesque]

Ce que Maggiore fait, on peut l'expliciter avec une martice 4x4 tout à fait arbitraire. On décompose cette matrice en une somme de trois matrices: la partie symétrique, la partie anti-symétrique, et la trace. Chacune de ces parties, sous le groupe des rotations, retombe dans le même sous groupe. Par exemple, la partie symétrique demeure symétrique suite à la rotation. Vraiment triviale toutes ces idées.


Mais, dans le cas du tenseur spatial d'ordre N, quelle caractéristique peut-on donner à la trace laquelle est conservée sous une rotation? Même question pour la partie symétrique (antisym.). Le tenseur ne peut être symétrique (antisym.) que sur 2 indices.

Personne ne peut m'aider? Ce ne doit pas être si difficile, ces concepts sont introduits dans le premier chapitre d'un livre d'introduction à la TQC. Personne ne connait le formalisme de la TQC ou seulement des représentations du groupe de Lorentz? Je suis surpris, à moins que ce soit la question qui soit inintéressante...

Devrais-je poser la question dans le forum de math?

Salutations,

Simon

[GillesH38a]

disons que ça fait partie des trucs techniques qu'on se dépeche d'oublier si on travaille pas dessus régulierement ! moi même je fais appel à mes vagues souvenirs, mais un mathématicien spécialiste de l'analyse tensorielle est peut etre plus au courant, essaie de reposer la question en forum maths!

Sinon sur ton avant-dernier post, c'est bien un tenseur d'ordre N si après avoir fait la sommation sur tous les couples d'indices possibles, tu refais le produit direct avec , ça restitue les deux indices manquants.

C'est une représentation si c'est stable par le groupe des rotations, c'est en fait évident pour les tenseurs symétriques, antisymétriques ou les traces (puisqu'en transformant le tenseur tu retrouveras la trace du tenseur transformé). Pour le fait que ce soit irréductible (non décomposable comme somme de sous-espaces invariants), c'est moins évident....

[Karibou Blanc]

Salut a tous,

Simon peux tu preciser tes questions sur les representations. Es-tu a l'aise avec ces objets la ?

Première reponse.
un tenseur d'ordre 2 sous le groupe des rotations SO(2 ou 3 ou plus) est par definition le produit de deux vecteurs. Bien que les vecteurs soit des representations irreductibles de SO(N), leur produit est toujours reductible en la somme directe de 2 representation irreductible : l'une est un tenseur symétrique et l'autre antisymétrique.

Pour des representations plus complexes, il existe des methodes de decomposition, mais c'est assez complexe. Pour les groupes unitaire U(N), il existe une methode graphique assez intuitive, utilisant ce qu'on appelle les tableaux de Young.

n'hesite pas si tu veux d'autres renseignements,

KB

[Lévesque]

Salut a tous,

Simon peux tu preciser tes questions sur les representations. Es-tu a l'aise avec ces objets la ?

Moyen, en fait, certaines choses m'embetent...

un tenseur d'ordre 2 sous le groupe des rotations SO(2 ou 3 ou plus) est par definition le produit de deux vecteurs. Bien que les vecteurs soit des representations irreductibles de SO(N), leur produit est toujours reductible en la somme directe de 2 representation irreductible : l'une est un tenseur symétrique et l'autre antisymétrique.

Ça, ca va. Mais, dès qu'on se rend à un tenseur d'ordre 3, disons, qui se transforme comme le produit tensoriel de trois vecteur, je perds toute compréhension sur la façon de réduire en somme directe de représentations irréductibles.

Disons que j'ai un tenseur où les indices vont de 1 à 3. Comment je décompose ce tenseur en somme directe de réprésentations irréductibles? J'ai (probablement mal) compris qu'il fallait l'exprimer comme la somme d'une partie symétrique, d'une partie antisymétrique et de la trace. Mais, j'ai l'impression que c'est pas assez. Parce que un tenseur n'Est symétrique que sur deux indices, et que la trace concerne seulement 2 indices.

Comme il y a trois indices, est-ce que "la trace" serait en fait "les traces"? Par exemple, la (les) trace(s) serait quelque chose du genre:

?

La partie symétrique sur i et j (), c'est que On écrit ça comment sous forme d'un Tenseur? (on aurait une partie symétrique aussi sur j et k, puis sur i et k, donc trois parties symétriques). Même question, comment on écrit chaque tenseur antisymétrique sur 2 indices (, et )?

Au bout du compte, est-ce que notre tenseur se réduirait à 9 représentations irréductibles?

?

Ce qui m'intéresse, c'est qu'en décomposant de la sorte le tenseur, on trouve dans quelle partie se trouve la représentation de chaque spin j. Si le tenseur est d'ordre N, il faut conclure qu'il représente un moment angulaire j=N dans sa partie totalement symétrique et sans trace seulement. Ensuite, par la décomposition, on peut trouver quelle partie peut représenter quel moment angulaire j. Donc, tout ça serait très clair pour moi si je savais comment au moins décomposer un tenseur d'ordre 3 (je peux extrapoler à un tenseur d'ordre N) en sa partie symétrique, antisymétrique, et sa trace.

Merci infiniment pour votre aide. Gilles, t'as raison, j'avais pas compris ton explication au début.

Salutations,

Simon

[Lévesque]

J'ai posé la question dans le forum de math, si jamais ça intéresse:

http://forums.futura-sciences.com/thread52673.html

Simon

[Karibou Blanc]

SAlut Simon,

Il y a un excellent cours d'introduction a la theorie des groupes d'un point de vue de physicien de Bertrand Delamotte. Tu le trouveras facilement avec google.
Il prend comme exemples les groupes SO(3) (rotations), SO(3,1) (Lorentz) et SU(2).

Tu apprendras surement des tas de choses interessantes dans ce cours.

A bientot

KB

[Lévesque]

Merci, je l'ai déjà sur mon portable mais je n'ai pas eu l'instinct de m'y référer. Bonne idée!

[invite8c8022d8]

slt j'ai besoin de la trace du tenseur d'ordre n