Equation différentielle

inviteb7558fdc · 06/02/2012, 21h36

Bonjour.
Au cours d'un calcul physique que je réalise, j'aboutis à cette équation différentielle non-homogène :
$\text{[math]}$ , où f=f(r) est une fonction continue de r>0, et $\text{[math]}$ continue également pour r>0, est donnée.
Comment obtenir une expression analytique pour f(r) en fonction de $\text{[math]}$ ?
Votre aide serait incroyablement appréciée! je suis bloqué, mes chipotages ne m'indiquent pas la voie à suivre :-/
Bien à vous.

**maxwellien** · 07/02/2012, 10h23

Bonjour, j'ai peut-être une idée c'est faire passer f(f-1), le 2 et le r de gauche à droite de l'égalité puis il faut chercher la primitive du côté gauche vu que à droite f'/f=(ln(f))' et en passant à l'expo on trouve f.

invite06622527 · 07/02/2012, 11h26

Envoyé par open_minded

Bonjour.
Au cours d'un calcul physique que je réalise, j'aboutis à cette équation différentielle non-homogène :
$\text{[math]}$ , où f=f(r) est une fonction continue de r>0, et $\text{[math]}$ continue également pour r>0, est donnée.
Comment obtenir une expression analytique pour f(r) en fonction de $\text{[math]}$ ?
Votre aide serait incroyablement appréciée! je suis bloqué, mes chipotages ne m'indiquent pas la voie à suivre :-/
Bien à vous.

S'il s'agit d'un problème "scolaire", il serait plus habituel de tomber sur une équation différentielle relativement simple.
L'équation que tu as trouvée n'est pas simple. Elle peut se ramener à une équation d'Abell, ou de Riccati généralisée, qui ne semble pas pouvoir se résoudre avec les fonctions usuelles.
Il faudrait, soit chercher les solutions sous forme de séries infinies, ce qui serait certainemend lourd, soit en venir à une résolution par calcul numérique, ce qui est conseillé s'il s'agit d'un problème de physique.
Mais, d'abord, vérifier la modélisation et la mise en équation
.

invite06622527 · 07/02/2012, 11h34

Remarque : Ma réponse précédente vaut pour le cas rho=constante. Si rho est une fonction de r, on ne peut donner aucune indication à-priori tant que cette fonction n'est pas donnée explicitement.
.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 13h23

Bonjour,
l'équation en question est la différence entre la composante $\text{[math]}$ du tenseur de ricci, et la composante $\text{[math]}$ , en ayant fait une hypothèse sur la symétrie au préalable (symétrie sphérique)
C'est donc une équation non "scolaire", et je l'avoue assez lourde.
J'essaie néanmoins de trouver une solutions exacte, donc je vais essayer le tip de maxwellien..en vous tenant au courant.
Pour vous dire, c'est plutôt sur une équation de type Laguerre que j'aimerais arriver ^^ et non, $\text{[math]}$ n'est pas une constante, mais une simple fonctoin régulière de r.
Merci pour votre aide.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 15h08

Bonjour,
J'ai suivi les conseils de maxwellien, et, en posant $\text{[math]}$ , je transforme l'équation en :
$\text{[math]}$
Cette nouvelle équation (qui a l'air pourtant + simple) ne m'avance pas plus...
toujours aucune aide?
Merci à vous.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 15h53

Bonjour.
l'équation initiale peut-être ré-écrite comme:
$\text{[math]}$
qui est une équation ni de Riccati, ni de Abel, ni WeierstrassP, ...
la fonction DSolve de Mathematica n'arrive pas à trouver de solution algébrique (même lorsque je remplace $\text{[math]}$ par 1)
peut-on pour autant affirmer qu'il n'existe pas de solution analytique exacte?
J'imagine que la seule solution restante est l'essai-erreur : poser une forme pour f(r) en fonction de $\text{[math]}$ et tester si cette forme vérifie l'équation...Chouette :-/ [Ca va être guai de tester si un polynôme de Laguerre*g(rho(r)) (où il faut trouver g) vérifie l'équation

) lol
Merci pour toute aide,
bien à vous.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 16h00

edit : surtout s'il s'averait a posteriori que $\text{[math]}$ est en fait le carré de, par exemple, un polyôme...^^

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 18h44

En fait, logiquement, si on $\text{[math]}$ est remplacé par une constante, on devrait obtenir les équations de Friedmann-Lemaitre exprimés dans un repère non co-mouvant. On aboutirais à une solution statique, comme celle de l'univers de Robertson-Walker sans constante cosmologique (univers d'Einstein si je me souviens bien).
Le fait est qu'ici, ce n'est pas $\text{[math]}$ qui est constant, mais $\text{[math]}$

invite06622527 · 07/02/2012, 18h50

Envoyé par open_minded

Bonjour.
l'équation initiale peut-être ré-écrite comme:
$\text{[math]}$
qui est une équation ni de Riccati, ni de Abel, ni WeierstrassP, ...
la fonction DSolve de Mathematica n'arrive pas à trouver de solution algébrique (même lorsque je remplace $\text{[math]}$ par 1)
peut-on pour autant affirmer qu'il n'existe pas de solution analytique exacte?
J'imagine que la seule solution restante est l'essai-erreur : poser une forme pour f(r) en fonction de $\text{[math]}$ et tester si cette forme vérifie l'équation...Chouette :-/ [Ca va être guai de tester si un polynôme de Laguerre*g(rho(r)) (où il faut trouver g) vérifie l'équation

) lol
Merci pour toute aide,
bien à vous.

Cher ami,
serais-tu un doux rêveur pour espérer trouver une solution littérale, quelque soit la forme de la fonction rho(r) ?
Il n'est pas râre de tomber sur des équations de ce genre en physique. Et on a beaucoup de chance si l'on peut s'en tirer autrement que par du calcul numérique.
Tiens, un petit truc : si tu subodores une forme f(r) qui pourrait être intéressante comme solution, prends le problème à l'envers : exprime rho(r) en fonction de f(r) et f'(r) et regarde si la fonction rho(r) ainsi calculée "colle" assez bien avec la fonction rho(r) expérimentale (en ajustant des coefficients judicieusement placés ça et là).
Note en passant : il n'y a pas qu'une seule "équation d'Abell". Celle dont je faisais allusion est l'équation de seconde espèce.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 18h51

edit pour modérateur : pour la dernière phrase de mon dernier post :
Le fait est qu'ici, ce n'est pas $\text{[math]}$ qui est nul, mais $\text{[math]}$
merci.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 19h04

Tiens, un petit truc : si tu subodores une forme f(x) qui pourrait être intéressante comme solution, prends le problème à l'envers : exprime rho(r) en fonction de f(r) et f'(r) et regarde si la fonction rho(r) ainsi calculée "colle" assez bien avec la fonction rho(r) expérimentale (en ajustant des coefficients judicieusement placés ça et là).

Oui, c'est un peu ce que je faisais. Mais le fait est qu'on connait théoriquement cette fonction. Elle vaut $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est une fonction de l'espace ne dépendant pas du temps (dont on a la forme analytique).
Donc : je remplace rho(r) par $\text{[math]}$ , je résouds l'équation différentielle en $\text{[math]}$ , je trouve f(r), je remplace f(r) dans l'équation initiale (l'expression de rho(r)), je trouve rho(r) et je regarde s'il est égal à $\text{[math]}$ , et si oui, c'est ok.
Mais..ne tourne-t-on pas en rond de cette manière? j'obtiendrai de toute façon le bon résultat non?

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 19h15

bonjour,
en fait, c'est un rien différent : la fonction rho(r) a comme valeur celle qui permette que la géodésique de la position moyenne d'une distribution d'énergie calculée avec la métrique engendrée par rho(r) soit une fonction donnée (voire très connue

)
Il faudrait donc coupler les deux problèmes avant d'obtenir rho(r)?
Peut-être qu'un modérateur jugera utile de copier-coller le sujet vers le forum physique?
Merci à vous

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 19h55

@JJaquelin :
Votre image attachée vient d'apparaitre! et elle semble m'intéresser au plus haut point!! je vous donne un feed-back, je m'y attèle de suite!
Merci pour votre aide. Désolé je ne l'avais pas vue plus tôt.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 20h09

@JJaquelin :
Si je vous dit que [TEX]\rho(r)[TEX] est solution d'une équation différentielle (une autre) ne présentant, à part elle, que des fonctoins explicites de r, alors c'est gagné? vous pourrez regarder dans votre répertoire et me dire si la fonction $\text{[math]}$ de l'équation d'Abell de seconde espèce fait partie d'une classe de fonctions intégrables?

Merci beaucoup.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 20h23

Bonjour.
Pour récapitulation :
-l'équation étudiée jusqu'ici est la différence entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ dans les équation d'Einstein. La première est inhomogène, la seconde est homogène.
-cette équation fournit une expression pour $\text{[math]}$ en fonction d'une fonction inconnue de r.

J'ai remplacé cette expression pour $\text{[math]}$ dans la première équation, de manière à ne faire intervenir qu'une seule fonction.
Voici cette équation (en sccop

):
$\text{[math]}$
Disons que c'est un peu l'analogue de la 2ème équation de Friedmann-Lemaitre sous sa forme brute ^^

Je l'ai travaillée pour la mettre sous une forme +/- canonique :
$\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ sont des fonctions connues de r et $\text{[math]}$
Merci pour votre aide.

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 20h32

Je préviens déjà que je récompenserai toute personne ayant prit part à cette discussion, lors de la remise des prix Nobels (si le calcul s'avère bon, je ne pourrai malheureusement pas y échapper vu la révolution que cela créerait en physique sur notre conception de la matière). Si remise il y a donc.

(un peu d'humour pour se détendre avant les calculs, chers lecteurs matheux

)

inviteb7558fdc · 07/02/2012, 20h47

enfin..plutôt littéraires que matheux, vu la petitesse du rapport $\text{[math]}$

inviteb7558fdc · 09/02/2012, 19h15

Bonjour.
Laissons de côté cette nouvelle manière d'obtenir les fonctions de Green pour l'instant, et unissons nos efforts pour obtenir une nouvelle solution aux équations d'Einstein

(je m'adresse à MissPacMan en particulier)
J'ai refait les calculs en incluant une constante cosmologique, et corrigé 1 ou 2 erreurs.
Pourriez-vous les confirmer? Pour les équations d'Einstein en présence d'énergie, dans le cas d'une métrique isotrope et statique (mais non-homogène), donc de type Shwarzschild. Mais comme nous ne sommes pas dans le vide, le tenseur de Ricci n'est pas nul et je calcule donc $\text{[math]}$ en partant d'une métrique isotrope $\text{[math]}$ pour le membre de gauche, et un tenseur énergie-impulsion comprenant une constante cosmologique et la contribution d'un gaz non-relativiste de densité isotrope $\text{[math]}$ (uniquement la composante $\text{[math]}$ est non-nulle dans ce cas) ?
(avec des hypothèses asymptotiques sur les fonctions $\text{[math]}$ de manière à retrouver la métrique de Minkowski et si possible vérifier l'hypothèse $\text{[math]}$ fini, en guise de conditions limites)

A partir des 3 équations indépendantes fournies par les équations d'Einstein, j'ai obtenu des expressions pour les 3 fonctions. Pourriez-vous me dire si elles sont correctes si je vous les donnes? (je vous préviens, il y a quelques pages de calcul car cette solution ne fait pas partie des solutions exactes connues donc pour vérifier sans calculer...bonne chance!

)

Je vous donne déjà $\text{[math]}$ : il vaut $\text{[math]}$ où C1 et C2 sont les constantes d'intégration dont la valeur est déterminée par les conditions asymptotiques et en r=0 des 2 autres fonctions, qui dépendent de celle-ci! et nous pouvons déjà faire pas mal de conclusions là-dessus

(le rôle de la constante cosmologique dans la singularité qui est engendrée? :-p)
I love physics

inviteb7558fdc · 09/02/2012, 19h22

Le but étant après d'étendr le raisonnement en incluant un terme source EM dans le membre de droite.
La nouvelle métrique engendrée (qui devrait ressembler à celle-ci) permettra de calculer les équations du mouvement d'une charge ponctuelle de masse M et charge Q dans cette métrique, et pourquoi pas arriver aux solutions de l'équation de Shrodinger? (sauf qu'ici, la constante de Plank n'intervient pas

) (je pose la question, je n'affirme rien...on ne sait rien affirimer puisque la solution n'est pas encore là...)
Mais si c'est le cas... chouette, on aura un lagrangien classique qui décrit les spectre atomiques!

PS : en fait l'équation différentielle que j'ai obtenue pour $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$
PPS : je redemande aux modérateurs si c'est possible de déplacer le sujet vers le forum "physique"? merci

inviteb7558fdc · 10/02/2012, 08h01

Bonjour.
J'attends toujours d'éventuelles corrections de la part des spécialistes du forum?
Voilà où j'en suis :
$\text{[math]}$
où
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
avec
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
et $\text{[math]}$ sont déterminées par les deux conditions:
* $\text{[math]}$ finie pour tout r;
* $\text{[math]}$

Tout est bon jusqu'ici?

j'ai un peu dur pour trouver une expression algébrique pour $\text{[math]}$ , mais je m'efforce d'en obtenir une relativement simple afin de déterminer les deux constantes d'intégration par intégration, justement, de ce $\text{[math]}$

Merci à vous, bonne journée!

Equation différentielle