Symétries et Lorentz

[Skippy le Grand Gourou]

Salut,

Je me pose une question au sujet des symétries C, P, T et de leurs combinaisons. C, P et T sont des transformations de Lorentz, et CPT aussi. Qu'en est-il de CP, PT, etc... (j'ai commencé le calcul, mais je tombe de fatigue, ce sera pour demain...) ? Les symétries C, P, T et CPT ont été abordées dans notre cours de MQR, mais pas un mot sur les autres... Ce ne sont pas des transformations de Lorentz ? Et si et , comment s'écrit C ?

Merci.
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[inviteca4b3353]

Les transformations de Lorentz forment un groupe, ce qui signifie entre autres que toute combinaison (produit) de ces transformations appartient aussi au groupe.
C,P,T sont des transformations discretes du groupe de Lorentz, donc leurs produits également.

Tes notations indicielles ne sont pas correctes. Tu n'as pas d'indice contravariant dans le membre de gauche par exemple.

La symetrie C echange les chiralites des parties droite et gauche des representations spinorielles (spineurs) du groupe de Lorentz. Elle est donc representée par une matrice qui a des indices de Dirac et non de Lorentz (mu,nu). Elle s'ecrit en terme des matrices gamma de Dirac :
C=i gamma(2)

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[invité576543]

Les transformations de Lorentz forment un groupe, ce qui signifie entre autres que toute combinaison (produit) de ces transformations appartient aussi au groupe.
C,P,T sont des transformations discretes du groupe de Lorentz, donc leurs produits également.

Bonjour,

Juste pour ma compréhension: Il me semblait que C n'était pas une symétrie discrète du groupe de Lorentz, mais une symétrie de l'espace des phases. Qu'est-ce qui est correct?

Cordialement,

[inviteca4b3353]

Salut mmy,

Tu as raison, C n'est pas une symétrie de l'espace temps (Lorentz donc) car ce n'est pas une transformation qui agit sur le systeme de coordonnées. C est une symetrie des lagrangiens, elle transforme les spineurs qui sont des representations du groupes de Lorentz (de SL(2,C) plus exactement). C'est cela qui m'a fait penser que C était une transformation de Lorentz mais C n'appartient pas a SO(3,1) de toute evidence.

Mea culpa,
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[A voir en vidéo sur Futura]

[Skippy le Grand Gourou]

Ok, merci.

Tes notations indicielles ne sont pas correctes. Tu n'as pas d'indice contravariant dans le membre de gauche par exemple.

Tu es sûr de ça ? On a démontré en cours que pour une transformation on devait avoir :
,
je pense que là tu es d'accord (avec ), et de là on a :
, non ?

Donc C n'est pas une transformation de Lorentz, mais s'applique directement aux spineurs. Dans la notation précédente, il serait donc plus correct de noter C que S(C). Mais alors il n'y a pas de transformation qui lui correspond ?

[inviteca4b3353]

Tu es sûr de ça ?

oui. Sur le membre de gauche tu as un indice co et un indice contra et a droite deux co.

Dans ton dernier post. Je suis d'accord avec ta premiere egalite. Les matrices gamma doivent se tranformer comme cela si on veut conserver une equation de Dirac invariante sous les transformations de Lorentz.

Par contre je ne suis pas d'accord avec ta loi de transformation des spineurs. Les spineurs n'ont pas d'incides de Lorentz ! Tu dois aussi les transformer avec une matrice de SL(2,C) que tu as notée S(Lambda) plus haut. Ta loi de tranformation n'as pas de sens malheureusement, car encore une fois tes indices ne sont pas equilibrés deux cotes de l'égalite...

non ?

si, c'est un cas particulier de la loi de transormation des matrices gamma avec Lambda = Parite.

Mais alors il n'y a pas de transformation qui lui correspond ?

Non. Et par consequent ta premiere egalite que tu as demontré en cours ne s'applique pas. C agit sur les spineurs et donc comme S(Lambda) est representée par une matrice avec des indices de Dirac (ou SL(2,C)) et non de Lorentz.

Je te conseille vraiment de lire ce cours de Bertrand Delamotte. Il te premettra de mettre point certaines subtilités essentielles sur les representations de SO(3,1) et d'autres groupes de Lie en general.

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PS : au passage tu es ou en DEA ?

[Skippy le Grand Gourou]

Par contre je ne suis pas d'accord avec ta loi de transformation des spineurs.

Oui, évidemment, j'aurais dû me relire... J'ai mélangé la loi de transformation des spineurs avec celle des coordonnées.

si, c'est un cas particulier de la loi de transormation des matrices gamma avec Lambda = Parite.

Ce que je voulais dire par là, c'est qu'en identifiant, on retrouve bien les indices qui ne sont pas à la même hauteur...
Je vais regarder ce cours, merci (tu as oublié le lien, mais Google est mon ami ).
PS : Au passage : à Grenoble.

[inviteca4b3353]

avec celle des coordonnées

C'est aussi la loi de tranformations des 4-vecteurs plus generalement.
En fait d'une facon encore plus generale, si tu as un tenseur de Lorentz avec p indices, par definition sa loi de transformation implique une matrice Lambda par indice. Je te laisse ecrire cette loi en faisant attention aux indices.

Ce que je voulais dire par là, c'est qu'en identifiant, on retrouve bien les indices qui ne sont pas à la même hauteur...

Ah oui je n'avais pas vu ca. En fait c'est (comme signalé avant) que ta definition de la matrice P n'est pas correcte. Regarde bien les indices, ils ne sont pas equilibrés.

(tu as oublié le lien, mais Google est mon ami ).

http://www.lpthe.jussieu.fr/DEA/delamotte.html

bonne lecture

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