symétries - méfiance

[invite0c9e63b6]

Dans le débat « Ptite question d’intrication », à la page 9, B Chaverondier écrivit ceci :


« Le point fondamental que vous évoquez, c'est le passage d'un état intriqué système observé+appareil de mesure+environnement (1) à un état produit (2). Ce changement d'état physique porte un nom : il s'appelle la réduction du paquet d'onde.

A ce jour, personne ne prétend honnêtement avoir compris (ni savoir modéliser) ce phénomène sans conflit avec les principes de la mécanique quantique. Ca fait pourtant 70 ans qu'on s'y efforce. Ce phénomène viole en effet, l'unitarité, la réversibilité et le déterminisme de la dynamique quantique. »

J’ai noté dans ce texte, en particulier, la notion de « réversibilité » de la dynamique quantique.

J’aurais pu répondre à B. Chaverondier, dans ce débat sur l’intrication, mais je préfère le faire dans un nouveau fil, dont le sujet est la question de la réversibilité du temps, et plus généralement, de ce que l’on peut ou non déduire des propriétés de symétrie d’une équation.

Je pense résumer correctement le débat sur l’intrication et les idées de B. Chaverondier dans les propositions suivantes :

- La MQ est fondée sur deux familles de principes :
o La première famille concerne la description d’un système quantique par un vecteur appartenant à un espace de Hilbert, et son évolution temporelle (équation de Schrödinger au autre).
o La seconde famille de principes concerne la question de la mesure
- La question fondamentale est de savoir si la seconde famille ne pourrait être déduite de la première, ce qui la ferait passer du rang de principes au rang de théorèmes.
- Il se pose alors plusieurs problèmes fondamentaux, en particulier celui de la réversibilité du temps :
o Selon la première famille de principes, l’évolution temporelle du vecteur état est décrite par l’équation de Schrödinger :
§ dX/dt = i H X
Où H, l’Hamiltonien, est un opérateur hermitien, et par conséquent l’opérateur d’évolution temporelle U = exp(iH) est unitaire.
Autrement dit, étant unitaire, U représente une rotation dans l’espace d’état, qui conserve la norme de X.
o Selon la seconde famille de principes, la mesure correspond essentiellement à un opérateur de projection sur le sous-espace décrit par le vecteur propre de l’observable correspondant à la quantité mesurée, et à la valeur propre résultant de la mesure. C’est ce que B. Chaverondier évoque sous le nom de « réduction du paquet d’onde ».
- Question de la réversibilité :
o Fondamentalement, l’opération de projection n’est pas inversible, tandis que la rotation l’est. Il semble donc difficile de ramener la projection (mesure) à une suite de rotations (évolution temporelle gouvernée par un Hamiltonien H)
o Une autre façon de voir les choses est que l’opération de mesure correspond à une évolution temporelle irréversible du système quantique, tandis que l’évolution temporelle suivant l’équation de Schrödinger est à priori temporellement réversible.


Qu’en est-il de la réalité de la « réversibilité de la dynamique quantique » ? On peut lire dans certains ouvrages de Physique, qu’effectivement, le temps pour un système quantique est réversible, la preuve donnée étant que dans une transformation :

- t -> -t
- X -> X* (complexe conjugué)

L’équation de Schrödinger est invariante.


Il semble donc que l’on puisse déduire de cette propriété de l’équation de Schrödinger, l’équivalence des deux sens du temps au niveau quantique.

Considérons maintenant un système quantique extrêmement simple, constitué d’une seule particule évoluant selon un axe X.

A l’instant initial, on amène le système dans un état tel qu’il soit le plus proche possible de la limite d’incertitude d’Heisenberg, c’est à dire que les dispersions en X comme en k (quantité de mouvement) soient simultanément aussi faibles que possibles. Appelons cet état initial E1.

Quelle est alors l’évolution temporelle d’un tel vecteur d’état ?

C’est un résultat très classique, et facile à démontrer : au cours du temps, il y a « dispersion » du paquet d’onde, sous l’effet de la disparité des vitesses des composantes sinusoïdales.

Autrement dit, selon son évolution « naturelle », la fonction d’onde a tendance à voir sa variance augmenter au cours du temps, et non l’inverse. Il semble donc à ce niveau que les deux sens du temps ne soient pas équivalents.

Je me suis alors demandé comment ce résultat pouvait se concilier avec la propriété d’invariance de l’équation de Schrödinger.

La réponse que je propose est celle-ci : à n’importe quel instant t, il est tout à fait possible d’inverser toutes les valeurs de k des composantes de la fonction d’onde. On construit ainsi un « état initial » (que l’on appellera E2), qui va évoluer dans le sens inverse du système précédent, c’est-à-dire que la fonction d’onde va avoir tendance à se regrouper sur elle-même, et à voir sa variance diminuer jusqu’à se retrouver dans l’état initial du système précédent, dans lequel elle est aussi regroupée que possible, en X comme en k.

Le seul problème dans tout cela, provient des états initiaux : autant il semble possible physiquement de construire l’état E1, autant il semble douteux de pouvoir construire l’état E2.

Autrement dit, bien que le temps semble réversible au vu des seules propriétés de symétrie de l’équation (de Schrödinger), dans la réalité physique, il ne l’est pas nécessairement.

Il me semble que la question qui se pose alors est : « ne déduit-on pas souvent à tort des propriétés physiques, à partir des propriétés mathématiques des équations, sans avoir la prudence d’aller plus loin, et de vérifier qu’il n’ y ait pas d’autres conditions, comme des conditions aux limites, qui devraient elles aussi vérifier les mêmes propriétés de symétrie, pour que le système physique réel vérifie ces propriétés de symétrie ? ».


Si l’on doit ainsi admettre que la réversibilité selon le temps de l’équation de Schrödinger, ou encore de l’opérateur d’évolution temporelle U (opérateur de rotation) n’entraîne pas systématiquement la réversibilité temporelle de l’évolution du système physique, parce qu’il faut aussi prendre en compte les « conditions aux limites », ne lève-t-on du même coup l’objection citée par B. Chaverondier concernant la « réversibilité de la dynamique quantique » d’une part, et l’irréversibilité du processus de mesure (opérateur de projection) d’autre part ?


Attila
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[Chip]

Le seul problème dans tout cela, provient des états initiaux : autant il semble possible physiquement de construire l’état E1, autant il semble douteux de pouvoir construire l’état E2.

Ça ne pose en principe pas de problème insurmontable. Il y a des expériences dans lesquelles des ondes de matière sont préparées dans des états analogues à ce que tu décris. C'est comme si tu disais "je conçois bien qu'il existe des faisceaux laser divergents, mais je ne pense pas qu'on puisse faire un faisceau laser convergent"... alors qu'il suffit de placer une lentille convergente sur un faisceau laser peu divergent (ok, tu parlais de particules matérielles, mais le raisonnement est analogue)

[chaverondier]

Bonjour,

Tout d'abord, merci pour votre texte. Il souligne pas mal des aspects importants du problème de la mesure quantique (notamment le problème de l'interprétation de son irréversibilité et du conflit qui en découle avec la dynamique quantique). Vous avez manifestement pris le temps de lire et d'analyser ce que j'ai écrit.

Considérons maintenant un système quantique extrêmement simple, constitué d’une seule particule évoluant selon un axe X. Au cours du temps, il y a « dispersion » du paquet d’onde. Selon son évolution « naturelle », la fonction d’onde a tendance à voir sa variance augmenter au cours du temps, et non l’inverse. Il semble donc à ce niveau que les deux sens du temps ne soient pas équivalents.

En fait, si. L'étalement du paquet d'onde est valable dans les deux sens du temps (cf Mécanique Quantique, tome 1, Claude Cohen Tannoudji, complément GI Paquet d'onde Gaussien, § 3 évolution du paquet d'onde, b/ vitesse de déplacement du paquet d'onde). C'est normal puisque l'effet d'étalement du paquet d'onde se modélise avec l'équation de Schrödinger (qui donne lieu à une dynamique d'évolution unitaire, déterministe et réversible).

Si l’on doit ainsi admettre que la réversibilité selon le temps de l’équation de Schrödinger, ou encore de l’opérateur d’évolution temporelle U (opérateur de rotation) n’entraîne pas systématiquement la réversibilité temporelle de l’évolution du système physique...

Théoriquement si, mais pratiquement ce n'est pas ce qu'on constate. Ce conflit n'a pas encore de solution logiquement cohérente.

L’objection citée par B. Chaverondier concernant la « réversibilité de la dynamique quantique » d’une part, et l’irréversibilité du processus de mesure (opérateur de projection) d’autre part ?

C'est ça. La deuxième famille d'axiomes de la MQ (celle qui décrit la mesure quantique) est à la fois conforme aux faits d'observation et logiquement incompatible avec la première famille d'axiomes de la MQ (celle qui modélise la dynamique quantique). C'est le problème dit de la mesure quantique.

La deuxième famille d'axiomes de la MQ présente, à mon avis, un caractère phénoménologique et d'émergence statistique (de nature similaire à la seconde loi de la thermodynamique). En fait, mon sentiment est qu'il n'existe ni irréversibilité, ni indéterminisme fondamental. L'irréversibilité et l'indéterminisme de la mesure quantique sont très vraisemblablement la conséquence des limitations d'accès à l'information et des limitations d'action d'une catégorie d'observateurs.

A titre d'analogie, quand on dit que le théorème H de Boltzmann démontre la croissance de l'entropie d'un gaz parfait "isolé", cette affirmation est, en toute rigueur, fausse. Le théorème H repose en effet sur l'équation de Boltzmann. L'irréversibilité de l'équation de Boltzmann découle de l'hypothèse dite du Chaos moléculaire. L'hypothèse du chaos moléculaire est vraie seulement parce que le gaz "isolé"...n'est pas isolé.

C'est ce qui permet, par interaction du gaz avec un environnement (1), d'évacuer dans l'environnement (donc hors de portée de l'observateur) l'information de corrélation entre particules. Par suite, la distribution de probabilité conjointe d'un couple de particules à l'issue d'un choc se trouve modélisée correctement par le produit des distributions marginales de chaque particule. Il n'y a donc pas perte fondamentale d'information (irréversibilité objective), mais perte d'information relative à un observateur.

Bref à mon avis (et ce même en MQ), l'information ne se crée pas (pas d'indéterminisme fondamental), ne se perd pas (pas d'irréversibilité fondamentale), elle se transforme.

Autant dire que ça donne à la flèche du temps un caractère intersubjectif (et non objectif) qui pose des problèmes très aigus et ce d'autant plus que tout notre langage (avec l'utilisation du présent, du passé, du futur) contient implicitement et très profondément enfouie dans notre mode de raisonnement et dans notre mode d'expression une conception du temps et de sa flèche qui seront à revoir complètement dans le cadre d'une formulation theorético-informationnelle (le terme n'est pas de moi) de la MQ et en fait probablement de toute notre physique. Plus moyen de se débarasser de l'observateur.

Bernard Chaverondier

(1) C'est à cause de cette interaction avec un environnement que l'on ne pourrait pas faire se reconcentrer une goutte d'encre tombée dans un verre d'eau en renversant les vitesses de toutes les particules du fluide (l'irréversibilité de ce phénomène de diffusion est correctement traduite par un modèle de même nature que celui conduisant à l'équation d'évolution de Boltzmann des gaz parfaits).

[invite0c9e63b6]

En fait, si. L'étalement du paquet d'onde est valable dans les deux sens du temps (cf Mécanique Quantique, tome 1, Claude Cohen Tannoudji, complément GI Paquet d'onde Gaussien, § 3 évolution du paquet d'onde, b/ vitesse de déplacement du paquet d'onde). C'est normal puisque l'effet d'étalement du paquet d'onde se modélise avec l'équation de Schrödinger (qui donne lieu à une dynamique d'évolution unitaire, déterministe et réversible).

Eh bien, il me semble que non :

Le Cohen-Tanoudgi - GI-3-b parle de la vitesse de groupe de la fonction d'onde.

C'est le GI-3-c qui parle de l'évolution de la variance du paquet d'onde. Je cite (la traduction en Français est de moi, car j'ai la version Anglaise) :

Nous voyons que l'évolution du paquet d'onde ne se limite pas un simple déplacement avec une vitesse Vo. Le paquet d'onde subit aussi une déformation. Quand t augmente de -l'infini à 0, la largeur du paquet d'onde diminue, atteignant un minimum pour t=0. Ensuite, comme t continue d'augmenter, la variance DX(t) grandit sans limite (dispersion du paquet d'onde)

On voit que CCT parle regroupement du paquet d'onde lorsque t varie de -l'infini à 0, mais cela présuppose de pouvoir le construire dans un état initial de type E2 (cf mon précédent post). C'est là que se pose le problème. Il me semble que tout indique que sur le long terme, il y a toujours dispersion du paquet d'onde, même si localement il possible d'aller dans le sens d'une diminution de sa variance.

L'argument de Chip "qu'il suffit de placer une lentille convergente sur un faisceau laser peu divergent""
me semble aussi aller dans mon sens. En effet, il prend la précaution de dire "peu divergent", car la fonction d'onde s'étend en réalité à tout l'espace. Je ne pense donc pas qu'il soit possible de construire un paquet d'onde dans un état parfaitement symétrique à celui obtenu par l'évolution naturelle, de manière à obtenir un faisceau "parfaitement convergent". Je pense que si l'on répète un certain nombre de fois l'expérience proposée par Chip, à la longue, on obtient un faisceau divergent.

Il me semble que cette considération rejoint celle que vous citez :

"C'est à cause de cette interaction avec un environnement que l'on ne pourrait pas faire se reconcentrer une goutte d'encre tombée dans un verre d'eau en renversant les vitesses de toutes les particules du fluide "

En effet, c'est bien à l'aide de l'environnement que l'on peut créer l'état initial du système.

Mais il faut que j'analyse plus en détail votre texte pour vérifier que l'analogie soit bien correcte.

Attila

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

Le Cohen-Tannoudji - GI-3-b parle de la vitesse de groupe de la fonction d'onde. C'est le GI-3-c qui parle de l'évolution de la variance du paquet d'onde.

Oups ! Exact, il s'agit bien du paragraphe GI-3-c étalement du paquet d'onde (et non du GI-3-b). A part ce problème de numéro, la conclusion reste inchangée bien sûr. La symétrie temporelle est bien respectée par l'étalement du paquet d'onde (heureusement ! ce phénomène se déduit de l'équation de Schrödinger qui est time symmetric). L'étalement du paquet d'onde se produit aussi bien dans le sens d'écoulement du temps passé-futur que dans le sens d'écoulement du temps futur-passé (en partant d'un même état initial).

Bernard Chaverondier

[invite0c9e63b6]

Je coris que nous ne nous comprenons pas bien.

ce que j'en comprends, c'est que l'évolution naturelle d'un système va dans le sens d'une augmentation de la dispersion.

Attila

[chaverondier]

Je crois que nous ne nous comprenons pas bien. Ce que j'en comprends, c'est que l'évolution naturelle d'un système va dans le sens d'une augmentation de la dispersion.

Je complète un peu cette affirmation. En effet, la notion d'évolution naturelle et d'augmentation de dispersion (sans préciser dans le cadre de quel modèle mathématique on se place et quel phénomène de dispersion on évoque) ne détermine pas les détails très importants sans lesquels on passe complètement à côté de la discussion relative au conflit entre déterminisme et symétrie T des lois fondamentales de la physique d'une part (à l'exception notable de la désintégration du Kaon neutre) et observation de phénomènes perçus comme irréversibles ou encore indéterministes d'autre part (notamment la mesure quantique).

L'irréversibilité est une notion très délicate (même en mécanique classique). On notera en particulier :

* qu'une évolution dynamique réversible, comme l'étalement du paquet d'onde lorsqu'il est modélisé par l'équation de Schrödinger...est réversible

* qu'une évolution dynamique irréversible, comme l'évolution d'un gaz parfait vers la distribution d'équilibre de Boltzmann (par exemple) lorsque cette évolution est modélisée par l'équation de Boltzmann...est irréversible

* que l'irréversibilité des évolutions en physique statistique classique est liée à une perte d'information (dans l'environnement). Cette perte d'information n'est donc pas une perte absolue, mais une perte vis à vis d'une catégorie d'observateurs (pour laquelle cette information devient non pertinente parce qu'elle lui devient inaccessible)

* que l'évolution d'un système classique qui serait au contraire vraiment isolé, donc serait régi par une dynamique Hamiltonienne (isolement parfait qui est bien sûr impossible en pratique ormis pour l'univers dans son ensemble) serait réversible. Cette évolution se ferait donc à entropie constante

* que l'évolution réelle d'un "système classique" (en fait d'un système réel, donc quantique, à condition qu'on puisse cependant le considérer sans trop d'erreur comme un système classique) qu'on essaye d'isoler du mieux qu'on peut se fait à entropie croissante parce qu'une partie de l'information se perd dans l'environnement. Tout système physique réel est un système ouvert et c'est ça l'origine de la perte d'information qui donne lieu à l'irréversibilité des évolutions

* que l'irréversibilité de la mesure quantique se manifeste elle aussi (comme par hasard) seulement quand le système interagit avec son environnement

* qu'un système classique régi par une dynamique du chaos déterministe...évolue de façon déterministe. L'indéterminisme d'une telle dynamique émerge seulement d'une connaissance imparfaite de son état initial (imperfection toujours respectée en pratique puisqu'on ne peut pas avoir une connaissance de précision infinie de cet état initial. En plus de faibles perturbations en provenance de l'environnement se chargent de perturber cet état intial quelles que soient les précautions expérimentales adoptées)

Bref, ce que je veux dire, c'est qu'en mécanique classique les considérations d'indéterminisme et d'irréversibilité font appel aux notions d'état d'équilibre statistique, d'information, d'observateur limité dans ses possibilités d'accéder à l'information et de système ouvert. Il ny a ni perte ni gain fondamental d'information mais seulement perte ou gain d'information pour une catégorie d'observateurs limités dans leur possibilité d'accès à l'information et dans leurs possibilité d'action.

Un certain nombre d'éléments suggèrent à mon avis (et il s'agit là d'un point de vue très controversé alors que rien dans ce qui précède n'est sujet à controverse) que l'indéterminisme quantique et l'irréversibilité de la mesure quantique sont liés à des pertes et à des gains d'information que je crois eux aussi relatifs à une catégorie d'observateurs. Une hypothèse (envisagée par Penrose) est que l'information perdue ou acquise à l'origine du phénomène en apprence indéterministe et irréversible de réduction du paquet d'onde le serait par interaction du système observé, de l'appareil de mesure (et de l'environnement immédiat qui interagit avec eux)... avec le champ gravitationnel.

Bernard Chaverondier

PS : Pour mieux saisir la question (non résolue) de la flèche du temps, il est intéressant de lire soigneusement le livre de Hans Dieter Zeh accessible en ligne The Direction of Time, http://www.time-direction.de/ (malheureusement, certains chapitres de son livre ne sont plus accessibles en ligne maintenant).

[invitec913303f]

Je complète un peu cette affirmation. En effet, la notion d'évolution naturelle et d'augmentation de dispersion (sans préciser dans le cadre de quel modèle mathématique on se place et quel phénomène de dispersion on évoque) ne détermine pas les détails très importants sans lesquels on passe complètement à côté de la discussion relative au conflit entre déterminisme et symétrie T des lois fondamentales de la physique d'une part (à l'exception notable de la désintégration du Kaon neutre) et observation de phénomènes perçus comme irréversibles ou encore indéterministes d'autre part (notamment la mesure quantique).

Bonjour, bien que mes conaissancs dans ce domaines fon de moi un amateur de sensation fortes il n'en reste pas moin que ma curiosité est au rendez vous. Bon j'arette de jouer avec les mots.

Quand vous parlez de dispersion, de quoi s'agit t'il ? pouvez vous me donner un exemple?

Merci bien
flo

[invite0c9e63b6]

PS : Pour mieux saisir la question (non résolue) de la flèche du temps, il est intéressant de lire soigneusement le livre de Hans Dieter Zeh accessible en ligne The Direction of Time, http://www.time-direction.de/ (malheureusement, certains chapitres de son livre ne sont plus accessibles en ligne maintenant).

Dans la référence que vous citez, j’ai trouvé cette phrase, qui correspond exactement à ce que j’ai dit précédemment :

“It has indeed proven appropriate to divide the formal dynamical description of nature into laws and initial conditions… the laws by themselves are far from determining nature.”

Et effectivement, l’équation d’évolution temporelle n’est pas tout. Encore faut-il pouvoir construire un état initial donné. Or l’état initial d’un système quantique se construit nécessairement à partir d’un système qui est au moins en partie classique, ce qui rejoint donc ce que vous dites, c’est-à-dire que l’on ne peut considérer le système quantique comme parfaitement isolé. Il est au moins lié à un système classique pour la préparation de son état initial, comme de sa mesure finale. Et c’est ce qui « brise » la symétrie T.

Attila

[chaverondier]

L'état initial d’un système quantique se construit nécessairement à partir d’un système qui est au moins en partie classique.

Or l'émergence de ce comportement en partie classique (d'un système qui, intrinsèquement, est quantique) exige l'apparition d'irréversibilité (irréversibilité nécessaire pour pouvoir enregistrer de l'information). Cela nous ramène à notre question de départ : qu'est-ce qui provoque cette irréversibilité (et un indéterminisme) incompatible(s) avec le caractère réversible (et déterministe) des lois fondamentales de la physique ? Qui a brisé la symétrie T ?

Dans l'approximation que constitue la mécanique classique, on le sait. L'irréversibilité (la flèche du temps) découle du fait qu'aucun système n'est parfaitement isolé et du fait que l'observateur (indispensable pour définir la notion d'irréversibilité) ne peut plus accéder à l'information qui s'échappe dans l'environnement (1). Enregistrer de l'information c'est transformer une information riche, mais instable, en une information moins riche mais plus stable.

En mécanique quantique, on n'en sait rien , mais une possibilité pour expliquer le choix d'un résultat de mesure unique parmi les différents résultats de mesure possibles (ie l'apparition, en conflit avec la dynamique quantique, du fameux "caractère classique" de l'appareil de mesure) pourrait être d'envisager qu'il s'agit d'une transition de phase (une instabilité de nature gravitationnelle ?) au cours de laquelle le champ gravitationnel ambiant jouerait le rôle de milieu extérieur
* stockant l'information en apparence perdue (irréversibilité de la mesure quantique)
* délivrant l'information en apparence créée (indéterminisme de la mesure quantique)

Le caractère non linéaire de l'interaction gravitationnelle et le caractère non local de l'énergie gravitationnelle sont des éléments qui, me semblent-ils, tendent à renforcer les soupçons vis à vis de l'interaction gravitationnelle.

Bernard Chaverondier

(1) d'où l'idée de John Cramer de prendre la symétrie T elle aussi au sérieux et donc d'étendre la formulation covariante des lois de la physique à la symétrie T aussi. Voilà que même la flèche du temps devient relative à l'observateur. Heureusement qu'il y a quand même la désintégration du Kaon neutre....
...mais bon, est-ce bien suffisant pour modéliser de façon très claire
* le fait qu'on ait des souvenirs du passé mais aucun souvenir du futur ?
* le fait qu'on puisse provoquer un effet futur et pas un effet passé ?

[invitec913303f]

Le caractère non linéaire de l'interaction gravitationnelle et le caractère non local de l'énergie gravitationnelle sont des éléments qui, me semblent-ils, tendent à renforcer les soupçons vis à vis de l'interaction gravitationnelle.

Bonjour Bernard, que voulez vous dire par non linéarité de l'interaction gravitationel de même que son caractére non locale? Pourriez vous développer cet aspect?


Merci bien
Mes salutations
flo

[invitea20bed5c]

...mais bon, est-ce bien suffisant pour modéliser de façon très claire
* le fait qu'on ait des souvenirs du passé mais aucun souvenir du futur ?
* le fait qu'on puisse provoquer un effet futur et pas un effet passé ?

Bonjour,
et qu'en est-il en physique, de la continuité de ce que vous appelez le temps ?
Notre à priori subjectif nous présente un écoulement linéaire du temps. Toutes les théories physiques partent-elles sur cette base ?
Merci,
Gilles

[invitea20bed5c]

Bonjour,
et qu'en est-il en physique, de la continuité de ce que vous appelez le temps ?
Notre à priori subjectif nous présente un écoulement linéaire du temps. Toutes les théories physiques partent-elles sur cette base ?
Merci,
Gilles

Oups ! Il faut lire "continu" et non "linéaire"...

[invite8ef93ceb]

Quand vous parlez de dispersion, de quoi s'agit t'il ? pouvez vous me donner un exemple?

La dispersion, c'est l'étalement du paquet d'onde. Si tu prends un électron, par exemple, décrit à un instant t par une gaussienne d'une largeur h à mi-hauteur, alors cet électron évolue en s'étalant dans l'espace, sa fonction d'onde se disperse, la largeur à mi-hauteur augmentent avec le temps.

En gros, plus la largeur à mi-hauteur est petite, plus ton électron est localisé (mieux tu connais sa position). La dispersion signifie seulement que plus le temps avance, moins tu sais où cet électron se trouve.

Cordialement,

Simon