Notation indicielle (plusieurs indices)

[campusdope]

Bonsoir,
Je suis actuellement un cours de modélisation par Eléments Finis et mon manque d'expérience dans l'utilisation de la notation indicielle me pose problème. Sur des cas "simples" je pense pouvoir me débrouiller.

Par exemple pour i et j allant de 1 à 3:

s'écrit


Pour une dérivée :


Ma question est qu'en est-il pourune expression comprenant plusieurs indices comme ?
Y a t-il un ordre pour la numérotation ? Commence t-on à partir d'un indice particulier comme dans le premier cas (d'abord "i" puis ensuite "j") ?

Toute aide me sera utile.
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[invitef17c7c8d]

Cela n'a t-il pas plutôt avoir avec la notation d'Einstein qui dit que si un indice se répète dans un terme, alors il faut faire une sommation sur cet indice?


Par exemple dans , l'indice j apparait deux fois dans le memdre de droite d'où


Et du coup on retrouve bien ton écriture matricielle car dans le produit matriciel, il y a implicitement une sommation.

[campusdope]

J'ai déjà entendu parler de la convention d'Einstein. Mon problème est quand il y a plusieurs indices.
Je cherche à écrire sous forme matricielle (matrice 3x3) l'expression suivante :


Je pense que la réponse n'est pas:

qui correspond a l'écriture de

Savez-vous comment il faut procéder ?

[albanxiii]

Bonjour,

On peut noter , et donc un se retrouve avec une "sorte de matrice à 4 indices", et donc si on veut représenter cet objet sous forme de tabeau comme une matrice, il faudra un tableau en quatre dimensions.

Mis à part cela, je ne comprend pas vos questions, elles sot trop vagues. Avez vous un exemple précis qui vous pose problème ?

Bonne journée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[campusdope]

Dison que je cherche à démontrer l'expression
( que l'on peut noter )
en passant par une écriture matricielle.

[invitef17c7c8d]

J'ai déjà entendu parler de la convention d'Einstein. Mon problème est quand il y a plusieurs indices.
Je cherche à écrire sous forme matricielle (matrice 3x3) l'expression suivante :


Je pense que la réponse n'est pas:

qui correspond a l'écriture de

Savez-vous comment il faut procéder ?

Dans i et j sont répétés deux fois, donc double sommation


Dans , il y 4 indices différents, alors pas de sommation, il n'y a qu'1 terme.

Moi je suis bête et méchant: Si Einstein me dit de faire une sommation lorsque l'indice se répète, je fais!

Du coup dans ton cas, je ferais .

Qu'en penses tu? Il faut toujours écouter Einstein...

[coussin]

Dison que je cherche à démontrer l'expression
( que l'on peut noter )
en passant par une écriture matricielle.

La réponse a été donné par albanxiii : votre objet est un tenseur d'ordre 4 car il contient 4 indices différents. Il n'est donc pas représentable par une matrice.
(Ou, si vous y tenez vraiment, il faut que ce soit une matrice dont chaque élément est une matrice. Bref, faut 4 indices…)

[invitef17c7c8d]

Grosso modo, tu veux écrire la matrice identité...

[coussin]

D'un autre côté, vos symboles de Kronecker forcent i=k et n=j. On redescend donc à deux indices et la réponse de votre message #3 est alors correcte

[Amanuensis]

Dison que je cherche à démontrer l'expression
( que l'on peut noter )
en passant par une écriture matricielle.

Pour démontrer cela, il n'y a pas besoin de matrice ou de tenseur. Les doubles indices sont des leurres. En supposant que chaque indice peut prendre 3 valeurs, on a 9 variables distinctes, et on affirme que quelles que soient les variables a et b prises parmi les neuf, est nul si et égal à 1 sinon. On peut exprimer cela en notant les variables a, b, c, d, e, f, g, h, j, si on veut, ou par n'importe quelle écriture permettant de les distinguer, dont les cas avec un indice ou avec deux indices.

Ensuite ce n'est que l'application de conventions d'écriture. Si on note les 9 variables avec i parcourant 9 valeurs différentes (de n'importe quel ensemble !), alors on a par hypothèse . Si on indexe par des couples de 3 valeurs différentes, cela devient l'écriture "à prouver", simplement parce que si a et b sont des couples et , alors on a , ce qui n'est qu'une écriture compliquée pour dire "deux couples sont égaux si et seulement si le premier terme de l'un est égal au premier terme de l'autre et le second terme de l'un est égal au second terme de l'autre".

Bref, rien à prouver, c'est juste une écriture particulière des hypothèses.

[mariposa]

La réponse a été donné par albanxiii : votre objet est un tenseur d'ordre 4 car il contient 4 indices différents. Il n'est donc pas représentable par une matrice.
(Ou, si vous y tenez vraiment, il faut que ce soit une matrice dont chaque élément est une matrice. Bref, faut 4 indices…)

Bonjour,


Gare! Le nombre d'indices n'est en aucune façon la garantie de la nature tensorielle de l'objet mathématique.

[albanxiii]

Re,

D'ailleurs, mariposa, c'est bien pour cela que je n'ai pas écrit le mot "tenseur"....

( que l'on peut noter )

Pardon si j'ai l'air un peu benêt, mais je n'ai vu nulle part le définition de ....

Bonne soirée.

[campusdope]

Ca y'est c'est compris !
Merci à tous pour vos éclaircissements, en particulier Amanuensis.

Pardon si j'ai l'air un peu benêt, mais je n'ai vu nulle part le définition de

Je situe (enfin) le contexte ...
On a un matériau élastique (isotrope) défini par l'expression de l'energie libre fonction du tenseur des déformations .


Avec
; : coefficient de Poisson; E: module dYoung du matériau


On souhaite calculer l'expression du tenseur


et c'est dans cette expression que l'on utilise la relation pour simplifier le résultat.

Merci encore et bonne soirée.