Notation abusive sur la composition de fonctions de plusieurs variables

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai lu que, en considérant et tels que (avec (resp. ) un ouvert de (resp. de )), on notait abusivement l'application .

En quoi cette notation est-elle abusive ?

Merci d'avance,
Phys2
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[God's Breath]

Bonjour,

Dans un formalisme ultra-rigoureux de type bourbakiste, le fait que permet de définir l'application :

et la composée envisagée est ; on ne peut en effet composer deux applications que si l'ensemble but de la première est l'ensemble source de la seconde, et les applications et sont bel et bien différentes puisqu'elles n'ont pas le même but.
Toutefois dans la pratique, cette distinction est souvent sans intérêt, et l'abus de langage consistant à noter est d'un emploi constant.

La situation est peut-être plus nette en algèbre linéaire.
Si est un espace vectoriel de dimension , et un endomorphisme de , de rang .
Dans une base de , est représenté par une matrice carrée d'ordre .
Mais en fait, est à valeurs dans , et l'on peut considérer :

qui est une application linéaire de dans qui sera représentée, après avoir choisi des bases, par une matrice rectangulaire à lignes et colonnes.
Sur cet exemple, la distinction entre et est certainement plus nécessaire. Si est une application définie sur , on peut considérer , mais pas : il suffit, après avoir choisi des bases de considérer les matrices de ces différentes applications, les tailles de celles de (avec colonnes) et de ne permettent pas leur multiplication, alors qu'elle est possible avec les matrices de et de .

[Seirios]

Merci God's Breath