Pendule simple peu amorti

[invitefb0ec2e8]

Bonjour,
Je prépare un TP sur le pendulesimple peu amorti et je bloque sur une question :

Le dispositive est constitué d’un pendule simple dont on peut faire varier la longueur L du fil de suspension, la masse du corps quasi ponctuel en oscillation est M.
On notera Θ l’angle du pendule par rapport à la verticale.
On se propose de vérifier la dependance de la période T en fonction de L, l’isochromisme des oscillations dans certaines conditions et de faire une étude énergetique.

Voici la question :
Si l'on admet que l'oscillateur reste harmonique tant que le terme correctif dans l'équation du mouvement reste inferieur au centiéme du terme principal, déterminez la limite angulaire (en degrés) des "petites oscillations".

Donc juste avant j'ai trouvé (le a n'est pas là : petite erreur de frappe dans l'equation)
et avec une solution de la forme =Asin(t+)
Je suppose que le terme correctif c'est mais aprés pour trouver l'angle limite je n'y arrive pas.
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[phys4]

Bonjour,

Votre équation ne comprend que le terme petites oscillations.
le terme de votre solution est une phase arbitraire. Pour trouver le terme d'erreur, il faut garder le second terme d'approximation du sinus dans le calcul de la force de rappel.

Au revoir.

[invitefb0ec2e8]

Il ne faut donc pas faire l'approximation sin=
Et donc prendre le développement limmité de sin=-^3/6?

[albanxiii]

Bonjour,

Si j'ai bien compris, vous cherchez le terme d'erreur sur la période qui est du à l'approximation des petites oscillations () ?

J'avais posté les formules exactes et un développement limité au second ordre en (angle maximal) ici : http://forums.futura-sciences.com/ph...e-hauteur.html (je n'ai pas le temps de tout retaper).

Si j'ai mal compris, alors ne tenez pas compte de mon message

Bonne journée.

edit : messages croisés. Il semble que j'ai bien compris....

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re,

Il ne faut donc pas faire l'approximation sin=
Et donc prendre le développement limmité de sin=-^3/6?

Non, vous pouvez calculer la période exacte en intégrant l'équation de conservation de l'énergie (cf mon message précédent et le lien) et ensuite faire un développement limité de cette expression. Sinon, je ne suis pas sur que 1) vous trouvize le même résultat, 2) que cela soit correct (quoique...).

Bonne journée.

[invitef17c7c8d]

SECULAIRE.

Voila le mot central, le pivot autour duquel toute ta réflexion doit se faire!

Un teme séculaire est un terme qui croit sans limite avec le temps, empéchant l'approche naïve perturbative et la convergence uniforme de la solution.

La solution à ce problème est assez géniale.

Si tu considères la solution sous la forme de deux terme : 1 linéaire et 1 non-linéaire, alors tu dois considérer deux variables de temps t et

[albanxiii]

Re,

Et paf, encore une réponse totalement inutile et pollutante de lionelod.... faudrait arrêter de vous jeter sur les sujets où j'interviens comme la petite vérole sur le bas clerger breton.

Bonne soirée, et sortez vous aérer.

[invitef17c7c8d]

Re,

Et paf, encore une réponse totalement inutile et pollutante de lionelod.... faudrait arrêter de vous jeter sur les sujets où j'interviens comme la petite vérole sur le bas clerger breton.

Bonne soirée, et sortez vous aérer.

Ce forum est public et chacun est libre de répondre en respectant la charte.
J'ai rien contre vous, je réponds suivant mon seul point de vue. Librement et joyeusement.
Je pense que vous faites une fixation sur mes messages. Et je ne comprends pas pourquoi cela vous touche autant. Enfin bref...

L'équation d'un pendule -qu'on peut généraliser sous le terme générique d'oscillateur ( on remplace alors l'angle par la variable x)- est :
en linéaire.

en non-linéaire.

La méthode perturbative nous dit d'écrire


On obtient alors 2 équations différentielles couplées





Il est alors intéressant de regarder d'un peu plus près ces deux équations.
La première est classiquement la réponse libre d'un oscillateur linéaire.
La deuxième est la réponse forcée d'un oscillateur linéaire

Et du coup ce forcage entraine une accumulation au cours du temps de .
Et donc l'apparition d'un terme séculaire.

L'idée est de décorréler les temps longs des temps cours.
On introduit alors une nouvelle variable de temps
Le développement perturbatif s'écrit alors


Les deux équations différentielles s'écrivent alors

Celle-ci reste inchangée


Et dans ce cas là, on a suffisamment de liberté pour postuler qu'il ne doit pas apparaitre de terme séculaire.
On obtient alors une condition sur la solution au temps long.

[invitef17c7c8d]

Pour comprendre l'apparition d'un terme séculaire, il peut être utile de visualiser les fonction sin et sin^3.
Elle sont ressemblantes vu de loin!
C'est pour cela qu'au temps court, tout va bien.

Mais au temps long, c'est une autree histoire...

[invitefb0ec2e8]

Bon je ne suis pas bien sur d'avoir compris vos réponses. Je fais quoi exactement avec mes equation du mouvement pour trouver l'angle limite des petites oscillations?
Ce que j'ai déja trouvé :
exo1_fig2.gif

Projetez cette équation sur les deux axes du plan d'oscilation en utilisant les coordonnées polaires et déterminer l'équation du mouvement liant theta et sa dérivée seconde par rapport au temps . On donne le développement limité de sin = (^3)/3
Capture d’écran 2012-03-16 à 10.48.30.png

Montrez que si les oscilations sont de très petites emplitudes le pendule constitue un oscilateur harmonique dont on determinera la pulsation et la periode d'oscillation
Capture d’écran 2012-03-16 à 10.54.34.png

Si l'on admet que l'oscillateur reste harmonique tant que le terme correctif dans l'équation du mouvement reste inferieur au centiéme du terme principal, déterminez la limite angulaire (en degrés) des "petites oscillations".?

[albanxiii]

Bonjour,

Ce forum est public et chacun est libre de répondre en respectant la charte.

Ce que vous ne faites pas et pour des raisons qui me sont étrangères n'est pas santionné par les modérateurs....

En particulier la courtoisie qui vous est totalement étrangère, ce qui ne serait pas si grave si cela n'était pas associé à la publication de vos théories personnelles dans tous les domaines de la physique, comme par exemple l'explication de l'indice de réfraction par les phonons. Je passe sur le fait que vous vous permettez d'intervenir en vous posant comme une référence dans les sujets de physique quantique alors que vous ne l'avez jamais étudié et que vos connaissances en algèbre linéaire de base sont nulles..... j'arrête là l'énumération, j'ai des trucs prévus ce WE.

Cela dit, vous ne répondez pas à la question posée dans ce fil... comme d'hab.

Bonne journée.

[invitefb0ec2e8]

Du coup moi non plus je n'ai pas trop suivi le fil de vos raisonnements et je n'ai toujours pas compris comment faire.

[invitef17c7c8d]

Bonjour,



Ce que vous ne faites pas et pour des raisons qui me sont étrangères n'est pas santionné par les modérateurs....

En particulier la courtoisie qui vous est totalement étrangère, ce qui ne serait pas si grave si cela n'était pas associé à la publication de vos théories personnelles dans tous les domaines de la physique, comme par exemple l'explication de l'indice de réfraction par les phonons. Je passe sur le fait que vous vous permettez d'intervenir en vous posant comme une référence dans les sujets de physique quantique alors que vous ne l'avez jamais étudié et que vos connaissances en algèbre linéaire de base sont nulles..... j'arrête là l'énumération, j'ai des trucs prévus ce WE.

Cela dit, vous ne répondez pas à la question posée dans ce fil... comme d'hab.

Bonne journée.

Courtois d'un côté, piquant d'un autre... "Bonjour, t'es nul, bon WE"

De quoi parle-ton dans ce fil au fond? De l'oscillateur non-linéaire.

L'approche que je présente ici est basée sur une approche multi-échelles.
En l'occurence deux échelles de temps que l'on suppose décorréler l'une de l'autre.

En général je donne des réponses dans les grandes lignes pour rester dans le "vulgaire" et pas entrer dans la "technique inhabitable".

Je peux détailler les calculs mais ce n'est pas le lieu ici sur ce forum.

Je proposerais aussi sur ce fil, une autre approche pour résoudre ce problème: le Groupe de Renormalisation

[invitefb0ec2e8]

Bon je vous explique le but de ce forum est de repondre aux questions qui sont posées de maniere pédagogique, c'est à dire pour que celui qui pose la question comprenne. Moi je suis en L1 physique, alors quand on me parle d'approche multi échelle et d'une échelle qui decorelle l'autre je n'y comprends rien. EST CE QUE QUELQU'UN PEU REPONDRE DE MANIERE CLAIR?

[invite60be3959]

Bon je vous explique le but de ce forum est de repondre aux questions qui sont posées de maniere pédagogique, c'est à dire pour que celui qui pose la question comprenne. Moi je suis en L1 physique, alors quand on me parle d'approche multi échelle et d'une échelle qui decorelle l'autre je n'y comprends rien. EST CE QUE QUELQU'UN PEU REPONDRE DE MANIERE CLAIR?

Bon pas de panique, ne fait pas trop attention aux querelles entre forumeurs, ça arrive souvent! Pour en revenir à ton problème, la traduction sous forme d'inéquation de la phrase "le terme correctif dans l'équation du mouvement reste inferieur au centiéme du terme principal" est . Tu dois trouver degrés environ. (ne pas oublier de transformer le résultat(en radian) en degrés)

[invitefb0ec2e8]

Merci pour la réponse!

[invitefb0ec2e8]

J'aurais une autre question sur l'énergie. On me dit de calculer l'energie potentielle et cinétique pour trouver l'énergie mécanique. Cette partie je maitrise. et après ils me demandent une relation liant et
Donc on à
et on me dit que
on remplace juste par ?

[invitefb0ec2e8]

Et un derniere question
Si l'energie mécanique se conserve , en déduire que la courbe représentant la dérivée de theta en fonctin de théta est une ellipse ramenée à ses axes.

L'énergie mécanique se conserve si sa dérivée est nulle. Non?
Donc je suppose qu'il faut deriver l'equation de l'energie mécanique et on aura la derivée de theta en fonction de theta?