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Traitement du Signal, convolution, distribution



  1. #1
    YaGeek

    Traitement du Signal, convolution, distribution


    ------

    Bonjour tout le monde,

    je souhaite rédiger un document d'introduction au traitement du signal sans occulter la notion de distributions. Je commence d'abord par des signaux à temps continus.

    J'introduis la problématique concernant les filtres : comment caractériser ce filtre sans faire une infinité de mesure ? J'introduis la définition de la réponse du filtre à une impulsion. Du fait des propriétés de linéarité et d'invariance du filtre, je sais qu'un signal formé de deux impulsions décalées en entrées sera la somme de deux réponses impulsionnelles dans le temps.
    Je pose ensuite cette question : Un signal continu est il décomposable en somme d'impulsions ? La je n'arrive plus à retomber mathématiquement sur mes pieds et à retrouver le produit de convolution à temps continu.

    Si je note la distribution de Dirac comme la fonctionnelle avec l'espace des fonctions "tests". Par définition c'est une distribution singulière qui a la propriété . De même le peigne de Dirac définit par : .
    Est il possible de trouver une expression à l'aide du peigne de Dirac ,qui pour tout signal tend vers le produit de convolution en temps continu ?

    J'essaie de raisonner de la manière suivante :
    Soit la réponse impulsionnelle d'un filtre et une fonction représentant un signal. La distribution . Comment justifier que en faisant tendre n vers l'infini cette expression tende vers et à partir de cette expression comment retrouver le produit de convolution ?
    Le raisonnement est il bon ?

    je joins le document en question

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  4. #2
    invite50625854

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Bonjour,

    Excusez moi tout cela est loin.
    Toutefois j'ai qq chose qui me chagrine.

    Je comprends pas comment une distribution de dirac apparait dans un terme de somme finie ???
    Un dirac, ca vaut l'infini a la valeur max, si on mets ca dans une somme fini ca va faire des problemes.

    Donc le passage au cas continue me parait bizarre, meme si n tends vers l'infini,
    N'est pas possible de demontrer ca en passant par le produit de la reponse impulsionel frequentielle avec le signal d'entree ?

    Desole...

  5. #3
    lionelod

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Citation Envoyé par YaGeek Voir le message
    Bonjour tout le monde,

    je souhaite rédiger un document d'introduction au traitement du signal sans occulter la notion de distributions. Je commence d'abord par des signaux à temps continus.
    En tant que novice du sujet, je ne vois pas instantannément le lien entre le traitement du signal et la notion de distributions...
    Un signal c'est une chose, une distibution c'est aussi un signal...

    comment caractériser ce filtre sans faire une infinité de mesure ?
    Là, on est déja dans la subtilité.

    J'introduis la définition de la réponse du filtre à une impulsion.
    Oui, pourquoi pas. D'accord.

    Du fait des propriétés de linéarité et d'invariance du filtre, je sais qu'un signal formé de deux impulsions décalées en entrées sera la somme de deux réponses impulsionnelles dans le temps.
    Ouf! "Linéarité", d'accord. "Invariance", là c'est du lourd. Je comprends pas.
    "Décalées en entrées", je comprends pas. C'est l'espace des entrées? En traitement du signal, il ya l'espace des temps, l'espace des fréquences, mais l'espace des entrées ou des sorties, ça je ne sais pas trop ce que c'est.

    Je pose ensuite cette question : Un signal continu est il décomposable en somme d'impulsions ?
    Il me semble que si tu t'interesses à la réponse impulsionelle, alors le signal de sortie c'est le produit de convolution du signal d'entré par la réponse impulsionelle...



    Si je note la distribution de Dirac comme la fonctionnelle avec l'espace des fonctions "tests".
    Ah bon, on parle aussi d'espace de fonctions tests ??
    C'est une initiation au traitement du signal que tu veux écrire??

    Ouf, à mon sens, ça part dans tous les sens!
    Mais encore une fois, je ne suis pas un expert du traitement du signal...
    Dernière modification par lionelod ; 22/03/2012 à 11h20.

  6. #4
    YaGeek

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Merci pour vos réactions. Quand j'ai dit introduction, euh je cherchais à comprendre ce que je lisais un peu partout et que la notion de distributions était nécessaire au traitement du signal. Je cherche à démontrer pourquoi on utilise un produit de convolution. Je pêche quelque part et je n'arrive pas à voir où... En gros on peut considérer tout signal continue comme une infinité d'impulsion très très proches. Je cherche à montrer cela mathématiquement.

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  8. #5
    albanxiii
    Modérateur

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Bonjour,

    YaGeek, ne serait-ce pas simplement le fait que la distribution de Dirac est élément neutre pour l'opération de convolution qu'il vous faut ?

    Bonne jounrée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  9. #6
    ixi

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Salut,
    tu peux toujours décomposer un signal continu en somme infinie de Dirac modulée par la valeur même de ton signal:
    ou
    Mais c'est au fond une tautologie.

    Il n'est pas nécessaire de passer par un peigne de Dirac.
    "Je ne joue même pas aux dés...." (Dieu)

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  11. #7
    YaGeek

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Citation Envoyé par ixi Voir le message
    Salut,
    tu peux toujours décomposer un signal continu en somme infinie de Dirac modulée par la valeur même de ton signal:
    ou
    Mais c'est au fond une tautologie.

    Il n'est pas nécessaire de passer par un peigne de Dirac.
    Justement. Je vois la distribution comme la limite de la distribution singulière créée par la fonction qui vaut sur et sinon. Autrement dit . Je cherche une expression de f(t) sous la forme d'une somme de Riemman avec . On appliquerait le filtre à cette somme et avec les propriétés de linéarité du filtre et d'invariance dans le temps, on trouverait la formule du produit de convolution.

    Je n'arrive pas à voir comment exprimer le :

    On soumet un filtre à impulsions séparées deux à deux dans le temps de . La réponse du filtre sera si on note sa réponse impulsionnelle, la valeur de la sortie sera :
    Si l'impulsion au temps est multiplié par , la propriété de linéarité du filtre assure que la sortie, pour chaque impulsion au tems sera multiplié par le même facteur :
    Si je passe à la limite , je n'arrive pas à transformer cette expression sous une somme de Riemman : il me manque quelque chose dans la somme qui joue le rôle de dx dans l'intégral.

  12. #8
    b@z66

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Le problème doit être le même que lorsque l'on veut faire le lien entre la série de Fourier ou la transformée de Fourier d'un signal périodique(spectre discret composé de dirac) et le passage à la transformée de Fourier d'un signal apériodique(spectre continu).
    La curiosité est un très beau défaut.

  13. #9
    b@z66

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Je me rappelle d'un "truc", que j'avais remarqué quand j'avais essayé de faire le lien entre la série et la transformée de fourier, c'est que lorsque l'on multiplie un dirac par dx(et ce en supposant la largeur de sa base égale à dx) sa hauteur n'est plus infinie et devient finie(égale à 1). Par contre, je ne crois pas m'être justifié cette "hypothèse" de la largeur du dirac... Mais des fois que cela puisse servir.
    La curiosité est un très beau défaut.

  14. #10
    YaGeek

    Re : Traitement du Signal, convolution, distribution

    Je crois avoir trouvé un élément de réponse au dx manquant page 22 de ce document.

    Il est écrit que pour une impulsion de durée , la réponse en sortie d'un filtre vaut . Quelqu'un peut il justifier cela ?
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