Hydrostatique - Equation surface libre d'un océan

[invite5d864b47]

Bonsoir,

Dans un exercice concernant l'hydrostatique des oécans, on prend en compte la rotation de la Terre sur elle-même, du coup la surface libre n'est plus horizontale. On me demande de déterminer son équation. Quelle est la méthode (grandes lignes) à suivre ? Dans mon cours, rien n'est mentioné à ce sujet.

Merci d'avance.
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[LPFR]

Bonjour.
Si vous vous placez dans le référentiel tournant (non inertiel) de la terre, le travail pour trimballer une particule d'eau de la surface d'un endroit quelconque à un autre est nulle.
Choisissez, par exemple, une particule (Δm) au pôle et calculez le travail à faire pour la porter à un autre endroit, en tenant compte de la gravitation et de la force centrifuge. Le rayon d'équilibre est celui pour lequel ce travail est nul.
Je vous laisse choisir le chemin pour faire le calcul. Le résultat ne dépend pas du chemin, mais suivant votre choix le calcul est plus ou moins simple.
Au revoir.

[calculair]

bonjour,

J'ai l'impression que si on ne tient pas compte des courants, la seule chose qui modifie la surface, c'est la faible variation de g avec la latitude et en particulier celle due à la force centrifuge.

Il faut ajouter les effets de la lune + Soleil ( marée )

La course autour du soleil, ( peut ^tre negligeable )

[LPFR]

Bonjour Calculair.
Tel que je comprends le problème, il s'agit de calculer "l'aplatissement aux pôles" du à la rotation.
Sans tenir compte des marées.
Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

Bonjour LPFR,

Peut on dire que la surface doit être perpendiculaire à l'acceleration locale ?

Bien cordialement

[LPFR]

Re-bonjour.
Oui.
Mais cette condition ne donne pas directement la forme de la surface mais une équation différentielle. Alors que par le travail, on intègre très facilement et on peut obtenir 'r' en fonction de thêta très facilement.
Cordialement,

[Amanuensis]

Calculer le travail nul est la même chose que chercher l'équipotentielle.

On obtient l'équation de la surface directement comme celle d'une équipotentielle.

Le potentiel gravitationnel est en première approximation -GM/r, le potentiel de l'accélération centrifuge est v²/2, avec v la vitesse linéaire due à la rotation, v=wd, avec d la distance à l'axe et w la vitesse angulaire...

Et cela revient à la même chose que chercher la perpendicularité à l'accélération locale, puisque cette accélération est le gradient du potentiel.

[Amanuensis]

PS : Il me semble que c'est en toute rigueur bien plus compliqué que cela, parce que la non symétrie sphérique fait que le potentiel gravitationnel n'est pas en -GM/r. Le calcul demande des hypothèses sur la masse volumique à l'intérieur de la Terre. Il me semble me rappeler que Newton avait fait le premier le calcul de l'aplatissement en prenant les deux colonnes (une du centre au pôle, l'autre du centre à l'équateur) et une masse volumique constante, calcul déjà pas simple. Cela donne un aplatissement plus grand que celui mesuré.

[invite5d864b47]

Bonjour

Merci pour vos réponses. Pour Amanuensis, on suppose bien sûr la Terre comme étant une sphère homogène.

[invite5d864b47]

Je dois montrer, en partant de la loi de l'hydrostatique grad P = somme forces volumiques, que l'équation de la surface libre est :



avec le rayon de la Terre (supposée sphérique et homogène), la distance radiale entre la surface libre et la surface terrestre et cette valeur aux pôles (supposée connue).


1) Mon premier problème se situe au niveau de l'établissement de l'équation. On a deux forces en présence : g et , l'accélération d'entraînement d'un point de la surface de l'eau par rapport au rapport galiléen. On a donc :

grad P = g - A_e, soit grad P = -rho*g0*R0²/R²*ez + R*rho*w²*er = (Rw²*rho - rho*cos theta*g0*R0²/R²)er + (rho*sin theta*g0*R0²/R²) e(theta)

Du coup, j'ai à résoudre le système suivant




La première équation nous donne . En dérivant cette fonction par rapport à theta et en utilisant la seconde relation, j'obtiens



D'où,



Du coup,



L'équation de la surface libre c'est l'ensemble des (R, theta) vérifiant P = P_a ? Mais je n'arrive pas à déterminer la constante K. De plus ... je trouve l'équation de la surface bien différente, par exemple, je n'ai pas de sin² avec le terme en w² ...

2) On me demande ensuite d'estimer avec h_E la distance radiale équatoriale (en gros, on me demande d'estimer l'aplatissement aux pôles).

Je fais un DL à l'ordre 1, j'obtiens :



Après simplifications :



Pour , on a donc :

Sauf que j'ai un avec un produit, pas possible d'isoler ... Où se situe mon erreur ?

Merci.