Analyse dimensionnelle étendue

[stefjm]

Bonjour,
Comme promis, voici une tentative de résolution par analyse dimensionnelle du petit problème soumis par LPFR.
Il y a de quoi critiquer et c'est pour cela que je le poste en l'état.
Les élèves qui passent le bac sont priés de ne pas lire la suite.
Je ne voudrais pas traumatiser des têtes blondes innocentes...

Je ne vous donne qu'un exemple pour vous montrer l'escroquerie intellectuelle de la présentation de l'analyse dimensionnelle comme un moyen de trouver des formules:
"Trouver la distance parcourue par un mobile au bout d'un temps 't'. La formule dépend de la vitesse initiale du mobile, de l'accélération et du temps 't'."

Notations :
Grandeur physique :
A : accélération
V : vitesse
T : temps
D : distance

Exposants :
sur A : a
sur V : v
sur T : t

On écrit classiquement qu'on cherche les exposants a,v et t pour obtenir une longueur.


Ce qui conduit au système :

Système qui présente une infinité de solutions car il manque une équation...
On a donc un degré de liberté dans le choix de l'un des exposants.

Intuitivement, pour rester avec des exposants raisonnables, je choisis d'exprimer v et t en fonction de a. (car c'est A qui présente les exposants les plus fort en LT)


La distance recherchée s'écrit donc :


On peut chercher la solution comme combinaison linéaire des D(a), a parcourant les petites valeurs.

a=0 : : correspond à la vitesse constante,
a=1 : : correspond à l'accélération constante, vitesse initiale nulle.
a=-1 : : correspond à la vitesse initiale nulle, vitesse finale donnée pour une accélération constante.

Il reste trois problèmes de taille. (au moins)

Comment limiter les valeurs de a?
Comment trouver la valeur des coefficients de la combinaison linéaire? (Pour les trois proposés, c'est du )
Pourquoi se limiter à des valeurs entières de a?

Cordialement.
-----

[DarK MaLaK]

Bonjour,

Je trouve que le concept de l'analyse dimensionnelle étendue a l'air intéressant, mais est-ce que ce n'est pas juste une façon d'obtenir toutes les équations possibles, sans que ce soient celles qui traduisent les lois de la physique ? Pour un exemple moins évident, on pourrait avoir a=2/7 comme unique solution pour obtenir une formule qui marche et ce ne serait certainement pas la première valeur à laquelle on aurait pensé. Après, je ne sais pas dans quel cadre tu souhaites utiliser cette approche...

Aussi, comment tu fais pour les éventuelles constantes sans dimension qu'on trouve dans les formules ? C'est juste traité ensuite une fois que l'analyse t'a permis de déterminer les valeurs des exposants ?

[LPFR]

Bonjour Stefjm.
Très méritoire comme tentative. Mais vous avez vous-même ainsi que DarK MaLak soulevé les problèmes.
Deux autres exemples pour vous saper le moral:

• - Trouver l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur fermé par une résistance. La solution dépend de Vo, C et R.

Nettement plus sadique:

• - Trouver le mouvement planétaire:
  • - le rayon en fonction du temps.
  • - Ou l'angle en fonction du temps
  • - Ou le rayon en fonction de l'angle.

On peut "raisonnablement" penser que la solution dépend des conditions initiales et des masses des deux corps.

Et, comme je suis de bonne humeur ce matin, je ne vous ai pas proposé de trouver la solution pour le problème de N corps.
Cordialement,

[stefjm]

Bonsoir,

Je trouve que le concept de l'analyse dimensionnelle étendue a l'air intéressant, mais est-ce que ce n'est pas juste une façon d'obtenir toutes les équations possibles, sans que ce soient celles qui traduisent les lois de la physique ?

J'ai encore du mal à déterminer jusqu'où il faut monter dans les valeurs des exposants.
Ils sont en général "petits" et c'est sans doute lié au fait que les équations différentielles de la physique sont d'ordre 2.

Pour un exemple moins évident, on pourrait avoir a=2/7 comme unique solution pour obtenir une formule qui marche et ce ne serait certainement pas la première valeur à laquelle on aurait pensé. Après, je ne sais pas dans quel cadre tu souhaites utiliser cette approche...

J'essaie de trouver le modèle minimum, le plus économe.
Quand on a le bon nombre d'équation, cela marche à tous les coups.

Le défi de LPFR m'a paru intéressant à relever : quand il manque des équations, on a plus de liberté...

Aussi, comment tu fais pour les éventuelles constantes sans dimension qu'on trouve dans les formules ? C'est juste traité ensuite une fois que l'analyse t'a permis de déterminer les valeurs des exposants ?

En général, c'est l'expérience qui permet de les déterminer numériquement. (exemple du pendule qui fait apparaitre un 6.28 très mystérieux. )
La plupart des cas qui vont bien font apparaitre des coefficients lié à la topologie. (2pi, 4pi, 4pi/3, 2, 3, pi^2/60, etc...)

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

• - Trouver l'évolution de la tension aux bornes d'un condensateur fermé par une résistance. La solution dépend de Vo, C et R.

Bonsoir,
Cet exemple est assez facile.
On cherche une tension qui dépend de t.



Comme il manque une équation, il reste de la liberté sur n.

Pour n=0 : , c'est la réponse à l'ordre 0, le condensateur ne se décharge pas dans le temps d'étude.
Pour n=1 : , c'est la réponse à l'ordre 1, qui donne la variation au premier ordre.
Pour n=2 : , c'est la réponse à l'ordre 2.

Ne reste plus qu'à rectifier quelque signes (charge-décharge) et faire la combinaison linéaire pour retrouver l'exponentielle.

Ici, les exposants vont à l'infini.
Quand j'aurai compris pourquoi, j'aurai fait un grand pas.

Cordialement.

[invite231234]

Je voulais juste vous dire que c'était très intéressant !

[stefjm]

Je voulais juste vous dire que c'était très intéressant !

Bonjour
Pourquoi était très intéressant?
C'est déjà fini?

Pour ce qui est de l'infinité de coefficient de la dernière analyse dimensionnelle, cela devrait choquer les physiciens.
L'exponentielle cache des infinis par sa dérivabilité exceptionnelle...

Est-ce bien physique une exponentielle?

Cordialement.

[gatsu]

Salut,

Une possibilité pour le problème de départ est de poser le problème de la façon suivante :


En utilisant le théorème Pi, on sait que cette équation peut s'écrire par exemple :

(1)

Maintenant on s'intéresse au cas où , dans ce cas, l'utilisation du théorème Pi pour un problème du type nous conduit à une équation du type .

Là j'imagine que la fonction \tilde{g} est bijective sur l'intervalle d'intéret, ce qui implique donc que .

En incluant ce résultat dans (1) il s'en suit que peut s'écrire comme



Cela implique que



Maintenant dans le cas où , recquerir que la distance ne diverge pas pour toute valeur finie de implique que seul reste.

Au final on a :



Il doit y avoir des erreurs ou des flous artistiques mais c'est le mieux que je puisse faire d'un point de vue analyse dimensionnelle pour l'instant.

[stefjm]

Bonsoir Gatsu,
Je n'ai pas encore compris compris pourquoi seul n=1 convient, mais je suis bluffé quand même!
Merci pour l'intervention.

Le lien sur le théorème Pi donne aussi des éléments de solutions au problème de gravitation proposé par LPFR.

Qu'en pense LPFR?

Cordialement.

[LPFR]

...Qu'en pense LPFR?
...

Bonjour.
Vous savez bien ce que je pense de l'analyse dimensionnelle.
C'est un outil très pratique pour vérifier qu'on n'a pas fait des erreurs stupides dans les calculs.
Mais ça ne peut trouver que des équations que sont un produit de puissances des variables que l'on sait qu'elles interviennent dans la formule (voyance, tarot, etc.).

Par exemple, dans l'orbite d'un satellite, la logique non physique vous recommande de mettre la masse du satellite dans la formule. Vous n'avez qu'à voir le résultat.

Pour trouver des exemples où ça foire, il suffit de retrouver des problèmes dont la solution n'est pas un produit de puissances. Et il y en a un tas en physique.
Au revoir.

[gatsu]

Bonjour.
Vous savez bien ce que je pense de l'analyse dimensionnelle.
C'est un outil très pratique pour vérifier qu'on n'a pas fait des erreurs stupides dans les calculs.
Mais ça ne peut trouver que des équations que sont un produit de puissances des variables que l'on sait qu'elles interviennent dans la formule (voyance, tarot, etc.).

Par exemple, dans l'orbite d'un satellite, la logique non physique vous recommande de mettre la masse du satellite dans la formule. Vous n'avez qu'à voir le résultat.

Pour trouver des exemples où ça foire, il suffit de retrouver des problèmes dont la solution n'est pas un produit de puissances. Et il y en a un tas en physique.
Au revoir.

Il est clair que l'analyse dimensionnelle aussi sofistiquée qu'elle soit permet très rarement de trouver la bonne dépendance fonctionnelle des quantités recherchées. Cela étant, les arguments de type "loi d'échelle" permettent de rendre plus tangible l'existence de loi de puissance. Sinon dans la plupart des cas l'idée est simplement de savoir quelle est la dépendance d'une grandeur en la dimension du système ou autre paramètre et pour cela, inférer la fonction exacte est rarement nécessaire.

Mais dans l'ensemble je suis tout à fait d'accord avec toi, l'analyse dimensionnelle - au même titre que les symétries - donne un ensemble de contraintes sur la forme des relations satisfaites par differentes grandeurs qui peut faciliter les calculs...mais ces considérations ne sont pas nécessaires (et très rarement suffisantes) pour effectuer le calcul en lui même.

[obi76]

Bonjour,

en mécaflu, la quasi-totalité des nombres adimensionnés est trouvée avec cette méthode. De tous ces nombres (je ne sais pas exactement combien il y en a mais de tête je dirai au moins une vingtaine / trentaine), ne permettent QUE de trouver des tendences. Jamais (sauf très rares exceptions et dans ce cas c'est plutot empirique pour le moment, mais on est en train d'essayer de formaliser ce phénomène ) ces nombres ne permettent de quantifier un phénomène dans le détail.

Exemple simple : le nombre de Reynolds donne une idée de si un écoulement est turbulent ou pas (on dit environ 3000 pour la transition), mais on arrive à faire des écoulements laminaires avec un Re de 10000, et des écoulements turbulents à 1000.... Absolument rien de tranché donc.

Bref, pour ma part, l'étude adimensionnelle ne permet que de donner un avis des phénomènes en présence, aucune certitude.

[stefjm]

Vous savez bien ce que je pense de l'analyse dimensionnelle.
C'est un outil très pratique pour vérifier qu'on n'a pas fait des erreurs stupides dans les calculs.

Je sais ce que vous pensez de l'analyse dimensionnelle en générale, mais pas ce que vous pensez de la solution proposée par gatsu ou moi.

Mais ça ne peut trouver que des équations que sont un produit de puissances des variables que l'on sait qu'elles interviennent dans la formule (voyance, tarot, etc.).

Faire de la physique en quelque sorte?

Par exemple, dans l'orbite d'un satellite, la logique non physique vous recommande de mettre la masse du satellite dans la formule. Vous n'avez qu'à voir le résultat.

Je ne sais pas ce que vous entendez par "logique non physique".

Si vous me donnez deux masses, M et m, je vais me demander si la masse pertinente est

• M+m : masse en série : je fabrique un gateau
• Mm/(M+m) : masse en parallèle : j'ai une masse qui tourne autour d'une autre, satellite.

Si j'ai M beaucoup plus grand que m, je vais m'empressé de dire que la masse pertinente est M pour le premier cas et m pour le second.
C'est un raisonnement très physique qui permet de savoir quelle est la masse pertinente, pas une "logique non physique"!

Pour trouver des exemples où ça foire, il suffit de retrouver des problèmes dont la solution n'est pas un produit de puissances. Et il y en a un tas en physique.

Dans ce cas, ce n'est plus de l'analyse dimensionnelle au sens habituel : il n'y a pas n équations pour n inconnues et vous ne pouvez donc pas mettre en défaut l'analyse dimensionnelle sur ce type de problème puisque ce n'est pas de l'analyse dimensionnelle.

Dans ce fil, j'accepte de rentrer dans votre jeux (de massacre...) en étudiant les systèmes que vous proposez à l'aide d'une analyse dimensionnelle étendue qui reste à construire.
Ce serait bien que vous nous disiez ce que vous pensez des résultats partiels déjà obtenus.

Cordialement.

[LPFR]

...
Ce serait bien que vous nous disiez ce que vous pensez des résultats partiels déjà obtenus.

Cordialement.

Bonjour.
Je pense que vous n'irez pas plus loin sans faire de la physique. Car sans elle, vous n'avez pas de critère pour dire s'il faut continuer ou arrêter la série des puissances. Pour quoi ne pas la continuer pour tous les autres cas (ceux que l'on enseigne aux potaches) ?
Au revoir.

[stefjm]

Bonsoir,

Je pense que vous n'irez pas plus loin sans faire de la physique. Car sans elle, vous n'avez pas de critère pour dire s'il faut continuer ou arrêter la série des puissances.

La démo de gatsu limite bien cette série grâce à des considérations physiques que je classe volontiers dans le champs de l'analyse dimensionnelle.

Pour quoi ne pas la continuer pour tous les autres cas (ceux que l'on enseigne aux potaches) ?

Je n'ai pas compris ce que vous vouliez dire.

Cordialement.

[stefjm]

Bonjour
Quelqu'un aurait une idée du critère pour réduire le champ de valeur que peuvent prendre les exposants?
Cordialement.

[iori]

faire une manip

[stefjm]

Ou regarder les modèles existant.
Il y a plein d'exemples admis.
Les grands principes sont d'ordre 2 (EM, mécanique).
En rdm, on trouve les carrés de longueurs pour les surfaces L^2, des carrés de carré de surface L^4, des cubes de longueurs pour les volumes.
La loi de Stefan fait intervenir une température T^4.
La loi de Kepler donne L^3/T^2.

Si quelqu'un a des exemples d'exposants grand (>3), j'achète volontiers.