Petite énigme physique

[Amanuensis]

Bonjour,

En marge de la (longue) discussion récente sur l'effet Coriolis, une "énigme" (se voulant pédagogique) sur le sujet :

Sur l'équateur, l'accélération centrifuge est verticale et est un terme négatif de la pesanteur (elle agit dans le sens d'un "allègement"), sa projection verticale est -Ω²r, avec Ω la vitesse angulaire de la Terre relativement à un référentiel inertiel et r la distance à l'axe.

Pour un mobile se déplaçant à altitude constante, dans le plan équatorial, à vitesse v, l'accélération de Coriolis est aussi verticale, de projection kΩv, avec k un certain coefficient constant que le raisonnement qui suit cherche à déterminer.

Si le mobile va à la vitesse v=Ωr dans le sens inverse de la rotation, c'est à dire vers l'ouest, sa vitesse compense exactement la rotation : le mobile est fixe dans le référentiel géocentrique. Il ne subit donc aucune accélération d'entraînement ; on en déduit que l'accélération de Coriolis doit alors compenser exactement l'accélération centrifuge, et qu'on a donc k = 1 si v est comptée positive vers l'ouest (car alors le total centrifuge+coriolis serait égal à -Ω²r+Ω (Ωr) = 0).

Or tous les textes indiquent que k=2.

Où est l'erreur ?

Cordialement,
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[inviteee7413a4]

Bonjour,

je suis un peu perdu dans les référentiels. Mais, à vue de nez, on peut dire que si la vitesse vers l'ouest (dans le référentiel terrestre) est double de la vitesse de rotation de la Terre, alors le poids apparent du mobile est égal au poids apparent du mobile immobile dans le référentiel terrestre (en effet dans le référentiel géocentrique, on passe d'une vitesse 1 à une vitesse -1; dans le référentiel terrestre, on passe de 0 à 2). D'où le k=2.

[Amanuensis]

Mais, à vue de nez, on peut dire que si la vitesse vers l'ouest (dans le référentiel terrestre) est double de la vitesse de rotation de la Terre

Le cas que j'analyse est celui de vitesse vers l'ouest égale (en module) à la vitesse linéaire due à la rotation de la Terre, pas le double.

[Et par ailleurs, la compensation Coriolis/centrifuge est obtenue en fait quand la vitesse vers l'ouest est la moitié de la vitesse linéaire due à la rotation de la Terre, c'est ce que veut dire k=2. Ω²r = 2Ωv => v =Ωr/2]

[inviteee7413a4]

Bonjour,

La formule "Pour un mobile se déplaçant à altitude constante, dans le plan équatorial, à vitesse v, l'accélération de Coriolis est aussi verticale, de projection kΩv, avec k un certain coefficient constant" ne me semble pas pouvoir être juste pour toutes les valeurs de v si v est dans un référentiel terrestre (calculée par rapport au sol). En effet si je file vers l'ouest, cette "accélération de coriolis" (vers le bas) va atteindre un maximum quand je vais compenser exactement la rotation de la Terre; puis décroitre, s'annuler, et changer de signe, elle sera "vers le haut" quand je filerai assez vite pour tourner autour de la Terre en sens inverse plus vite que la Terre ne tourne autour d'elle-même.

Et si v est dans un référentiel géocentrique, ce n'est plus une accélération de Coriolis, il me semble?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

La formule "Pour un mobile se déplaçant à altitude constante, dans le plan équatorial, à vitesse v, l'accélération de Coriolis est aussi verticale, de projection kΩv, avec k un certain coefficient constant" ne me semble pas pouvoir être juste pour toutes les valeurs de v si v est dans un référentiel terrestre (calculée par rapport au sol).

Vous pouvez vérifier dans n'importe quel bouquin de mécanique traitant de l'accélération de Coriolis que dans le cas cité elle est verticale de module 2Ωv (1). Ce n'est pas vraiment le sujet du fil, qui est pourquoi 2Ωv et pas seulement Ωv.

(1) C'est une application simple de la formule vectorielle, puisque dans le cas indiqué v, Ω et la verticale sont deux à deux perpendiculaires.

[inviteee7413a4]

Vous pouvez vérifier dans n'importe quel bouquin de mécanique traitant de l'accélération de Coriolis que dans le cas cité elle est verticale de module 2Ωv (1). Ce n'est pas vraiment le sujet du fil, qui est pourquoi 2Ωv et pas seulement Ωv.

(1) C'est une application simple de la formule vectorielle, puisque dans le cas indiqué v, Ω et la verticale sont deux à deux perpendiculaires.

Il me semble que pour les grandes valeurs de v que nous citons tous les deux, ça n'est manifestement pas linéaire - toujours si v est mesurée par rapport au sol. Peut-être la formule que donne le livre que vous citez est-elle une approximation valable pour de petites valeurs de v?

[inviteee7413a4]

Le "2x" ne serait-il pas simplement la dérivée de x²?

[triall]

Bonjour, j'ai comme l'impression que l'accélération centrifuge est déjà dans le 2Ωv ; non, ?

[inviteee7413a4]

Un calcul simple (mais j'ai quand même pu me tromper! - c'est juste un mouvement circulaire uniforme, mais il faut faire attention aux signes, au référentiel utilisé, à l'est et à l'ouest, le haut et le bas...) me donne pour l'accélération "de Coriolis" (c'est à dire la différence entre l'accélération totale subie par le mobile, et l'accélération verticale qu'il subirait s'il restait "immobile au sol", donc en rotation avec la Terre) :

-(2Ωv + v²/r),

où v est la vitesse du mobile par rapport au sol, comptée positivement si le mobile va vers l'est, et
Ω la vitesse de rotation de la Terre, et r le rayon terrestre.

Le terme en v² est négligeable pour les petites valeurs de v, mais pas pour la grande valeur que vous évoquez au début du fil.

Ceci au signe près, je suis perdu dans les signes entre l'est et l'ouest, le haut et le bas!

Amicalement

[calculair]

Bonjour,

L'acceleration de Coriolis dans le plan vertical ( local ) est 2 W Cos L Vr
A l'equateur L = 0

Donc l'acceleration est 2 W Vr dans le plan vertical

[Amanuensis]

Bonjour, j'ai comme l'impression que l'accélération centrifuge est déjà dans le 2Ωv ; non, ?

Non. Le total de l'accélération d'entraînement pour une trajectoire équatoriale à altitude constante est bien verticale et de "module signé" -Ω²r + 2Ωv (avec la bonne convention de signe pour v).

Et ma question d'origine peut être posée comme suit : pourquoi l'accélération d'entraînement totale n'est pas nulle quand v=Ωr, c'est à dire quand le mobile est fixe dans le référentiel géocentrique ?

[Sethy]

Non. Le total de l'accélération d'entraînement pour une trajectoire équatoriale à altitude constante est bien verticale et de "module signé" -Ω²r + 2Ωv (avec la bonne convention de signe pour v).

Et ma question d'origine peut être posée comme suit : pourquoi l'accélération d'entraînement totale n'est pas nulle quand v=Ωr, c'est à dire quand le mobile est fixe dans le référentiel géocentrique ?

N'est-ce pas simplement parce que ce mouvement est circulaire et pas rectiligne ?

[Amanuensis]

N'est-ce pas simplement parce que ce mouvement est circulaire et pas rectiligne ?

On peut le dire comme ça... Mais comme il y a deux référentiels, il manque une petite précision !

(Dans le cas d'un mouvement circulaire dans le référentiel géocentrique (pris comme inertiel), la "perception" qu'on a usuellement est que cela donne l'accélération centrifuge.)

[inviteee7413a4]

Non. Le total de l'accélération d'entraînement pour une trajectoire équatoriale à altitude constante est bien verticale et de "module signé" -Ω²r + 2Ωv (avec la bonne convention de signe pour v).

Et ma question d'origine peut être posée comme suit : pourquoi l'accélération d'entraînement totale n'est pas nulle quand v=Ωr, c'est à dire quand le mobile est fixe dans le référentiel géocentrique ?

Tout simplement, le total d'accélération d'entraînement est -Ω²r + 2Ωv -v²/r (en reprenant vos conventions de signe), en utilisant la formule que je vous ai donnée (qui ajoute un terme à l'accélération "de Coriolis", terme non négligeable à grande vitesse)... Dans ce cas vous voyez bien que ça s'annule pour v=Ωr : ça donne -Ω²r +2Ω²r -Ω²r²/r = 0.

Remarquez que si on ne tient pas compte de ce terme en v²/r, l'accélération de Coriolis serait proportionnelle à la vitesse (signée) du mouvement circulaire uniforme. En tournant très vite vers l'ouest, dans ce cas, on pourrait "alourdir" le mobile autant qu'on veut, ce qui est absurde. Le poids apparent maximum du mobile est bien sur gm, et correspond au cas que vous évoquez où il est immobile dans un référentiel inertiel.

[invite76543456789]

Bonsoir!
Cela ne viendrait pas du fait que l'acceleration d'entrainement n'est pas la dérivée de la vitesse d'entrainement.

[Amanuensis]

Bonsoir!
Cela ne viendrait pas du fait que l'acceleration d'entrainement n'est pas la dérivée de la vitesse d'entrainement.

Si on applique les formules le facteur 2 apparaît naturellement, les maths c'est facile. Mais le point est plutôt l'interprétation "physique" de l'accélération de Coriolis. Dans certaines présentations elle est découpée en deux termes égaux, l'un qui est aisé à comprendre, l'autre moins.

Celui facile à comprendre est la "correction" de la force centrifuge, puisqu'une vitesse est-ouest modifie la vitesse de rotation telle que vue dans le référentiel inertiel, et en particulier doit compenser exactement l'accélération centrifuge pour un immobile dans le référentiel inertiel.

L'autre terme est l'objet de la question, et Sethy a donner un élément de réponse.

[pephy]

(.

Si le mobile va à la vitesse v=Ωr dans le sens inverse de la rotation, c'est à dire vers l'ouest, sa vitesse compense exactement la rotation : le mobile est fixe dans le référentiel géocentrique. Il ne subit donc aucune accélération d'entraînement ;

bonjour
Cette affirmation est fausse: par définition l'accélération d'entrainement est l'accélération d'un point fixe dans le référentiel relatif.
même un point au repos est soumis à la force d'inertie d'entrainement (voir par exemple la définition du poids)

[Amanuensis]

bonjour
Cette affirmation est fausse: par définition l'accélération d'entrainement est l'accélération d'un point fixe dans le référentiel relatif.
même un point au repos est soumis à la force d'inertie d'entrainement (voir par exemple la définition du poids)

Oui, vous avez raison ; c'est un problème de vocabulaire. Que proposez-vous comme terme pour la somme de l'accélération centrifuge et de l'accélération de Coriolis, en mécanique classique (i.e., sans compter la gravitation dans l'accélération d'entraînement) ?

[pephy]

à ma connaissance çà ne porte pas d'appellation particulière.
A noter également que l'accélération d'entrainement est centripète; c'est la force d'inertie d'entrainement qui est centrifuge

[Amanuensis]

OK.

J'imagine quand même que le fond de la question est compréhensible malgré mes entorses au vocabulaire?