Impulsion en mécanique quantique

[invited8bd0c28]

Salut,

depuis quelques temps j'essaie d'améliorer l'article de wikipédia sur la mécanique quantique. Pour ça je m'inspire de diverses sources et notamment du cours de Leonard Susskind sur youtube. En particulier, pour le problème que je vais présenter ici je me suis inspiré de la quatrième partie de la série consacrée au minimum théorique.

Je bute sur la définition de l'impulsion. Voulant appliquer les considérations générales sur les opérateurs unitaires, j'ai écrit que l'opérateur d'impulsion est celui qui agit ainsi:



Et là je ne suis plus très sûr de comprendre ce que j'écris. Cela a-t-il un sens d'écrire: ? Je veux dire par là qu'a priori ne dépend pas de x.

Par exemple pour une particule libre d'impulsion parfaitement connue p selon x, son état s'écrit:



x est ici une variable muette, donc dériver par rapport à x n'a de sens que si on ne considère que la fonction d'onde .

Y'a une subtilité qui doit m'échapper.
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[kalish]

A ma connaissance il faut que tu passes en représentation position pour pouvoir exprimer l'impulsion comme ça, et donc transformer ton ket psy en une fonction d'onde en le projetant dans l'espace des positions. P est un opérateur, et d/dx n'est qu'une représentation de cet opérateur dans une certaine base.

[invited8bd0c28]

A ma connaissance il faut que tu passes en représentation position pour pouvoir exprimer l'impulsion comme ça, et donc transformer ton ket psy en une fonction d'onde en le projetant dans l'espace des positions. P est un opérateur, et d/dx n'est qu'une représentation de cet opérateur dans une certaine base.

Ok mais je voulais montrer d'où le d/dx venait au départ. C'est pour ça que je voulais faire comme Susskind le fait avec l'opérateur d/dt, mais pour l'espace. Je ne peux pas me satisfaire d'une section où on se contenterait de dire sans explication que P est d/dx dans la représentation spatiale.

[kalish]

A première vue je dirais que ça vient de la transformée de fourier, dont l'utilisation elle même est bien justifiée par l'équation de shrodinger. Cependant il y a aussi peut-être une histoire d'espace tangent, et de générateur des translations, d/dx étant le générateur des translations et p étant la quantité invariante sous translation. Il n'y a surement pas de hasard, mais rien non plus de mystique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Et là je ne suis plus très sûr de comprendre ce que j'écris. Cela a-t-il un sens d'écrire: ? Je veux dire par là qu'a priori ne dépend pas de x.

Ou bien



Si je comprend bien, et sans animosité, vous ne connaissez pas la mécanique quantique et vous voulez refaire la page wikipedia ?

Ca me fait penser que la prochaine fois que j'irai à l'hôpital, il va falloir que j'aille faire un tour au bloc pour faire voir au chirurgiens comment on fait une opération à coeur ouvert ou bien une greffe des poumons....

Bonne soirée.

[invited8bd0c28]

Ok admettons mais pourquoi l'opérateur agit sur la composante selon <x| ?

Si je comprend bien, et sans animosité, vous ne connaissez pas la mécanique quantique et vous voulez refaire la page wikipedia ?

Non, c'est en rédigeant que je me suis rendu compte qu'il y a un truc que je n'ais pas compris. \,Ca arrive.

Ca me fait penser que la prochaine fois que j'irai à l'hôpital, il va falloir que j'aille faire un tour au bloc pour faire voir au chirurgiens comment on fait une opération à coeur ouvert ou bien une greffe des poumons....

Tu écris plus haut "sans animosité" mais c'est difficile de prendre une telle comparaison pour autre chose qu'un sarcasme.

[invited8bd0c28]

C'est bon j'ai compris: ça n'est pas le même x. Je compléterai l'article prochainement.

[gatsu]

Bonjour,





Ou bien



Si je comprend bien, et sans animosité, vous ne connaissez pas la mécanique quantique et vous voulez refaire la page wikipedia ?

Ca me fait penser que la prochaine fois que j'irai à l'hôpital, il va falloir que j'aille faire un tour au bloc pour faire voir au chirurgiens comment on fait une opération à coeur ouvert ou bien une greffe des poumons....

Bonne soirée.

Salut,

Tout comme grondilu, je ne vois pas comment l'opérateur se met d'un seul coup à agir sur une composante désolé.

Ma réponse serait du même ordre que celle de kalish.

L'idée est de partir du fait que l'opérateur de translation spatiale a pour générateur l'impulsion.
Pour une translation infinitésimale , on peut écrire :

En sachant que par définition

Pour n'importe quel état , on peut faire apparaitre une relation de fermeture selon la base


on a ainsi



L'idée, je pense, est de faire intervenir une seconde relation de fermeture pour faire apparaitre une fonction delta de Dirac



Ce qui donne


Je pense qu'en utilisant un développement limité de la distribution de Dirac pour un petit



et en identifiant chacun des termes avec le développement en termes d'opérateur (première équation que j'ai écrite), on retombe sur nos pieds...à un signe près probablement .

[kalish]

heu, du coup je doute un peu du développement limité d'une fonction de dirac, même si le début me parait bien inspiré. Attention, validité MQ non garantie, mais je crois avoir déjà lu ça par identification.
Quitte à faire des truc sales, je tente:
D'un côté

de l'autre

Donc

et comme

on a

d'où

d'où


L'action de P en représentation x.

@Gatsu
Pour faire ce que tu voulais faire, n'aurais tu pas mieux fait de faire un changement de variable à

???

Mais ça reste un peu limite comme écriture nan?

Sinon, j'ai trouvé un bouquin qui parle de générateur:

http://books.google.fr/books?id=jYSE...ations&f=false

et une discussion:
http://forums.futura-sciences.com/ph...impulsion.html

A une époque où ce forum était hanté par des gens on ne peut plus brillants, triste époque...

[kalish]

désolé pour l'anarchie lateX, si un admin voulait bien me laisser corriger les deux trois coquilles ça serait sympa...

[doul11]

Bonjour,

Je ne sais pas ce vous reprochez a wikipedia ? c'est une encyclopédie, pas un cours, dans le Feynman l'opérateur impulsion c'est 6 pages, il me semble que la solution du "problème" se trouve dans tout livre de mécanique quantique.

[gatsu]

heu, du coup je doute un peu du développement limité d'une fonction de dirac, même si le début me parait bien inspiré. Attention, validité MQ non garantie, mais je crois avoir déjà lu ça par identification.
Quitte à faire des truc sales, je tente:

Déjà merci d'avoir corrigé mon erreur avec le hbar, je l'avais mis au numérateur et pas au dénominateur !
Pour ce qui est du développment limité de la distribution de Dirac que j'ai proposé c'est clair que cela fait osé mais je ne le voyais pas comme un développement limité usuel de toute façon.

Je ne sait pas quelle validité mathématique cela peut avoir mais ça a le mérite de satisfaire une égalité au sens des distributions i.e. pour toute fonction test je peux écrire



D'un autre coté je peux aussi regarder



Il y a donc équivalence opérationnelle (i.e. au sens des distributions) entre et au premier ordre.

Je pense que ce type d'écriture est aussi bien justifié que la définition de la dérivée d'une distribution qui n'a pas le même sens que pour une fontion mais à laquelle on donne un sens opérationnel sur n'importe quelle fonction test.

[kalish]

effectivement vu comme ça, ça parait bien.