probleme différentielle de variable en thermodynamique

[invite456dd61c]

Bonjour,

Je suis en train de voir un cours de thermodynamique dans lequel il y a des rappels de mathématiques. Et c'est la mon problème j'arrive pas a comprendre a quoi correspond une différentielle exacte d'une variable.

Merci d'avance pour vos réponse,

Wilak
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[albanxiii]

Bonjour,

Avez-vous cherché un peu ?

http://forums.futura-sciences.com/ma...-comprise.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...le-exacte.html
http://forums.futura-sciences.com/ph...le-exacte.html

Sinon, internet propose beaucoup de documents, soit pour physiciens, soit pour mathématiciens, avec peu ou avec beaucoup de rigueur... Si après avoir lu et compris tout ça vous avez des questions précises, n'hésitez pas à venir les poser.

Bonne soirée.

[albanxiii]

Re,

Avec un exemple, ça vous aidera peut-être aussi.... D'abord il ne s'agit pas de la différentielle d'une variable (ça, c'est trivial), mais d'une fonction de plusieurs variables.

Pour fixer les idées, on va travailler avec des fonctions des variables .

Si est une différentielle totale exacte, alors on peut l'écrire sous la forme . Une conséquence est le théorème de Schwarz (sans 't') : on a alors .

Si on a, par exemple n'est pas une différentielle totale exacte, alors que en est une. Pourquoi ?

est elle une différentielle exacte ? Que faudrait-il ajouter pour qu'elle le soit ?

Faites ces petits exercices et postez les réponses. C'est en manipulant les choses qu'on comprend mieux ce qu'elles représentent.

Bonne soirée.

[invite456dd61c]

Bonjour,

Merci de vos reponses mais j'ai beau chercher sur internet je n'arrive pas à comprendre le terme de différentielle et à quoi cela correspond mathématiquement. D'après ce que j'ai pu comprendre il s'agit seulement d'une variation minime d'une fonction. c'est ça ou je suis à coté de la plaque ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Merci de vos reponses mais j'ai beau chercher sur internet je n'arrive pas à comprendre le terme de différentielle et à quoi cela correspond mathématiquement. D'après ce que j'ai pu comprendre il s'agit seulement d'une variation minime d'une fonction. c'est ça ou je suis à coté de la plaque ?

Cela a un rapport.

On peut présenter la différentielle d'un champ scalaire (qui est exacte) comme l'extension, au cas d'une fonction de R^n dans R, de la notion de dérivée pour les fonctions de R dans R.

De même que la dérivée décrit ce qu'il se passe "en gros" pour une fonction autour d'un point x, une différentielle exacte décrit "en gros" ce qu'il se passe en gros pour un champ (une fonction) scalaire autour d'un point (x, y, ...).

Là où les choses sont différentes, c'est quand on prend des combinaisons linéaires de différentielles à coefficients non constants. En général (si assez lisse), g(x)f'(x) va pouvoir être vu comme la dérivée d'une autre fonction (une primitive de g(x)f'x). Ce n'est plus le cas en dimension 2 et au-dessus. Si h(x,y) et g(x,y) sont des différentielles exactes (i.e., sont des "dérivées" d'autres champs), ce n'est pas nécessairement le cas de f(x,y)h(x,y)+j(x,y)g(x,y).

On va donc distinguer les différentielles exactes de l'ensemble des combinaisons linéaires des différentielles exactes, et quand on parle de différentielle on entend souvent un élément de ce second espace.

dx et dy sont des différentielles exactes (resp. des champs (x,y)-->x et (x,y) -->y), et leurs combinaisons linéaires (genre ydx+y²dy) des différentielles "générales", qui peuvent être exactes ou non.

[invite456dd61c]

Donc par exemple en thermo lorsque qu'on a une equation comme celle de la pièce jointe la différentielle de V( ici le volume) correspond simplement à la différence de valeur entre V1 et V2 ?

[Amanuensis]

Annulé, message rédigé avant validation de la pièce jointe, et se révélant non adapté...

[Amanuensis]

L'intégrale d'une différentielle se fait le long d'un chemin. Dans le cas d'une différentielle exacte (et dV est une différentielle exacte parce que V est une fonction d'état), on a



C'est ce qui est appliqué dans l'équation.

Mais la différentielle dV n'est pas "V2-V1" (ça, c'est son intégrale le long d'un chemin particulier), la différentielle d'une fonction "encode" tous les cas de variations de la fonction quand on s'éloigne de l'état, quel que soit le chemin que l'on suit quand on s'en éloigne. En dimension 1, il n'y a qu'une "direction" pour s'éloigner d'un point (dans un sens ou dans un autre), mais avec un espace d'états de dimension supérieure (i.e., décrit par au moins deux "coordonnées" indépendantes), il y a une infinité de directions.