Petit problème d'accélération...

[Blender82]

Bonjour,
cela fait un petit temps que je voulais vous poser une question. C'est à propos de l'accélération.
J'ai déjà traversé ce dommaine de long en large (même si les puristes avoueront qu'il manque une dimension à ma connaissance à cause de cette question ). Seulement, je ne m'était pas plus penché sur la relation qui lie accélération et distance parcourue :

J'ai cependant toujours utilisé la relation dans mes calculs
C'est pourquoi je me suis intrigué sur la manière de trouver l'équation de l'accélération en fonction de la distance parcourue. Et voici mon raisonnement. Ce que je vous demande c'est si mon idée est juste ou totalement fausse c'est tout

or
par conséquent

d'où
donc

Voilà ce que j'en ai déduit. Seulement, ce qui me bloque c'est le passage de l'équation différentielle simple à l'équation différentielle seconde.

par conséquent

Certes on dérive la vitesse par rapport à quelque chose, nécéssairement le temps, je suis complètement d'accord avec ça (je le comprend) mais ce qui me perturbe c'est que l'on ne tombe pas sur :

Ce qui est complètement faux (je le sais) mais qui me déchire interieurement
Ce que je me dis pour me consoler c'est que l'on dérive la vitesse c'est donc par rapport à un de ces paramètres, c'est donc le temps.
Enfin bon, si vous me comprenez, pouvez vous m'aider ?
Merci d'avance !

Blender82
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[LPFR]

Bonjour.
Vous êtes en train de faire des hérésies.
L'expression:

N'est pas du tout

D'ailleurs ça ne se prononce pas "dérivée carré de x par rapport à dt au carré"
Mais "dérivée seconde de x par rapport à t deux fois".
Et vous ne pouvez pas "simplifier" un 'dt' au numérateur avec le "deux fois" du dénominateur.
Au revoir.

[Zefram Cochrane]

Bonjour,
Problème de math

OKJ'ai cependant toujours utilisé la relation dans mes calculs OKC'est pourquoi je me suis intrigué sur la manière de trouver l'équation de l'accélération en fonction de la distance parcourue. Et voici mon raisonnement. Ce que je vous demande c'est si mon idée est juste ou totalement fausse c'est tout Oui
[CENTER] OK
or OKpar conséquent Ici est l'erreur tu as oublié le dt dans le même bre gauche
après correction tu retrouve bien l'expression de l'accélération
Cordialement,
Zefram

[Amanuensis]

L'expression:

N'est pas du tout

Historiquement, si. Leibniz écrivait pour la dérivée seconde , puis , . Bezout, 1797, remarque "dx² signifie (dx)² alors que d(x²) signifie la différentielle de x²". (Référence : A History of Mathematical Notations, vol II, F. Cajori.)

Mais tout cela est devenu hérétique, oui.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Blender82]

Merci pour vos réponses,
d'après ce qui précède, j'en déduit que mon raisonnement est faux, mais alors comment s'effectue la transition entre et (car oui, j'ai fait une faute de frappe pour à la place de

Hormis cela, je vois le début du raisonnement à adopter mais pas la totalité (comme vous l'avez constaté).
Je comprend l'origine de la dérivée seconde mais pas comment arriver au résultat final :

En somme, il faut que de manière à obtenir et donc que

Et c'est donc là que ma compréhension s'arrête, comment faire pour la suite ? C'est réellement ça ma question.
En gros, comment passer de à
Je vous remercie d'avance pour votre aide et j'aimerais que vous détaillez au mieux ce passage difficile.
Merci,

Blender82

[Amanuensis]

Ce ne sont que des notations, des conventions. Pourquoi chercher à décortiquer des choix datant de plusieurs siècles, alors qu'il n'y a pas d'ambiguïtés sur ce qu'elles représentent ? Je ne pense pas qu'il y ait de cadre formel simple pour le jeu algébrique que vous essayez d'appliquer ou de trouver.

[LPFR]

Re.
Il n'y a pas de "passage". La dérivée de la dérivée première est la dérivée seconde:

Il ne faut pas oublier que ces expressions ne sont pas des multiplications ou des puissances, mais des opérateurs: des "recettes de cuisine" écrites de façon abrégée.


Vous pouvez écrire
Ou

Il ici vous pouvez effectivement simplifier par 'dt' car la première dérivée est bien un quotient entre deux nombres: 'dv' et 'dt'.
A+

[Chanur]

Bonjour,
Un cadre formel pour utiliser des quantités infinitésimales est l'analyse non standard, dans laquelle, en plus des réels standards, on a des réels idéalement petits, c'est à dire strictement positifs mais inférieurs à tout réel 1/n où n est un entier standard.
Ça permet effectivement de remplacer des calculs différentiels par de simples calculs algébriques.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

[stefjm]

Bonjour,

En complément, la notation moderne respecte l'analyse dimensionnelle des grandeurs.

x : L
v=dx/dt : L/T
a=dv/dt=d²x/dt² : (L/T)/T=L/T²

Quand on dérive deux fois par rapport au temps, on divise par un temps au carré, alors que la grandeur d'origine (x) n'est pas atteinte par ce carré car il s'agit d'une variation de variation.

Cordialement.

[Blender82]

Non, je ne cherche pas à savoir pourquoi l'on a choisi de définir l'accélération comme la variation de la vitesse sur un intervalle de temps, seulement de savoir comment passer de de à
Il doit y avoir un raisonnement de nature mathématique derrière cette transition et c'est cette transistion que j'aimerai que vous me présentiez c'est tout...
Mais en aucun cas je ne remet en cause des conventions qui ont été données et approuvées depuis des lustres !
Juste pourquoi :

J'ai toujours appris que car je comprend pourquoi on l'écris. Par contre, la transistion vers ne m'a jamais été explicité (d'ailleurs, je ne l'ai jamais utilisée )
Je ne cherche en aucun cas à contredire quelque vérité et vous-même par la même occasion, juste comprendre "pourquoi ?"
Voilà !

Blender82

PS : j'ai écrit mon message alors que vous répondiez alors n'en tennez pas compte à bon prix, je vais d'abord lire les votres !!

[stefjm]

Vous pouvez écrire
Ou

Il ici vous pouvez effectivement simplifier par 'dt' car la première dérivée est bien un quotient entre deux nombres: 'dv' et 'dt'.
A+

Dans cet exemple, j'aurais mis des guillemets sur "simplifier" et sur "quotient".
Mathématiquement, c'est quand même un changement de variable y devient t.
Physiquement, cela correspond assez directement à ce que vous décrivez.

Force est de constater que ce n'est pas si évident que cela à l'ordre suivant, d'où la question de Blender82.

Cordialement.

[stefjm]

J'ai toujours appris que car je comprend pourquoi on l'écris. Par contre, la transistion vers ne m'a jamais été explicité (d'ailleurs, je ne l'ai jamais utilisée )

C'est bien la preuve que ce n'est qu'une notation d'opérateur.
Vous avez bien du tomber sur des équations différentielles du genre

d²y/dt²+y=0

que vous notiez sans doute :
y''+y=0

Non?

[Blender82]

Merci d'abord pour vos réponses !
Mais je viens d'y voir plus clair à présent !
En effet, lorsque l'on a , on en déduit qu'il faut déterminer .
Or j'ai fait des recherches et je suis tombé sur ça : wiki (dérivée d'ordre n) qui résume très clairement la réponse à ma question.

Ce que je voulais savoir aussi, c'était pourquoi la dérivée seconde ?
D'après vos réactions, je me suis dit que l'accélération, c'est la dérivée de la vitesse par rapport au temps et que cette même vitesse est la dérivée de la distance parcourue par rapport au temps.

On compte donc deux "recettes de cuisines" (car j'aime bien votre expression LPFR) dans une même "recette", cela ne donne pas un marbré au chocolat mais ça explique pourquoi la dérivée seconde de la distance par rapport au temps (la dérivée d'une dérivée).

Ce qui me gênait et je l'ai compris maintenant, c'est qu'il n'y avait rien d'un calcul algébrique pur (malgré le fait qu'il faille calculer la dérivé par deux reprises). Voilà, c'est tout !
Merci quand même et avant tout pour votre aide et la lumière que vous m'avez apporté,

Blender82