Charge surfacique non-isotrope

[invite204ee98d]

Bonjour,

Je désirerais obtenir de l'aide concernant l'exercice suivant:

On considère une sphère de rayon R, chargée électriquement avec une charge surfacique ( sigma*cos (teta)), teta étant l angle que fait un rayon avec l'axe polaire de la sphère.
1) Calculer la charge Q(indice alpha) de la calotte sphérique pour 0< ou= à teta < ou = à alpha.



Ici j'ai fait une intégrale triple de (sigma*cos (teta)) qui me donne intégrale triple de : (sigma*cos (teta)) * r² dr sin (teta) d(teta) d (phi) , est-ce bien cela qu'il faut faire ?

Au final, en prenant les bonnes bornes j ai R^3 *pi(1- cos(alpha)) , mais ensuite j ai un probleme à l'autre question.



2)En déduire la charge totale d une demi calotte sphérique et sa charge surfacique moyenne notée sigma (indice m)

Pour moi, si on prend une demi calotte, cela revient à prendre le résultat de la question précédente et le diviser par deux non ?

Et si c'est ca alors on a Q(totale) = sigma (indice m) * 4 pi R² .

Merci de me répondre. Au revoir.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Pour commencer, si vous êtes sur la surface de la sphère il n'y a pas de 'dr'. Votre intégrale vient de voir sa note dégradée à "intégrale double".
De plus, comme la densité de charge ne dépend que de thêta, au lieu de prendre un différentiel de surface "carré", vous pouvez prendre un ruban de largeur le long d'un parallèle à la latitude thêta. Et votre intégrale vient de subir une nouvelle dégradation à "intégrale simple".

Pour la 2, la charge d'une demi-sphère est bien la moitié de la charge précédente.
Au revoir.

[invitecef3c426]

Donc d'après vous l'intégration de la surface de la sphère est une intégrale simple: sigma *intégrale(cos(theta)*r d(theta)) , mais que devient d(phi) ?

Moi meme je garderai d(phi) comme dalfred

[invite6dffde4c]

Bonjour.
La surface d'un ruban de largeur est:

Et sa charge est cette surface multipliée par sigma.
L'angle phi disparait à cause de la symétrie de rotation. En prenant un différentiel de surface en forme de ruban à la place à la place d'un petit "carré", on vient de faire l'intégrale de dphi "à la main".
Il ne faut pas perdre de vue que quand nous faisons une intégrale nous sommes en train de faire une somme, et non une opération magique. Le choix du différentiel est un choix physique dont on doit être acteur.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]