Bonjour à tous,
il me semble que j'avais vu ça à l'université, mais je ne me souviens plus du tout :/
En fait, je voudrais savoir comment calculer la vitesse exacte d'un solide en chute libre:
Prenons par exemple une sphère de diamètre d et de poids p. Cette sphère est lâchée d'une altitude h. Question: quelle est sa vitesse (en prenant compte des forces de frottements) lorsqu'elle va percuter le sol (altitude=0)?
merci.
Salut à toi,
Je crois pas mal me souvenir de ce pb :
Tu appliques le principe fondamental de la dynamique à ta bille.
La bille, sphère de rayon R, est soumise alors aux forces:
- Poids : Mbille*g
- Poussée d'Archiméde : Mair*g
où Mair est la masse d'air contenu ds 1 sphére de rayon R
- frottements visqueux : 6*Pi*nu*R*v (modèle de Stockes pour les faibles vitesses)
où nu est la viscosité de l'air
v la vitesse de la bille
ton équation du PFD devient :
Mbille*dv/dt = Mbille*g-Mair*g-6*Pi*nu*R*v
Soit:
Mbille *dv/dt = (Mbille-Mair)*g-6*Pi*nu*R*v
Pour connaitre la vitesse à tout instant, tu dois intégrer cette équation avec la condition de vitesse initiale.
Tu vas trouver une solution en exponentiel (équa diff du premier degré)
Tu intégres encore une fois pour avoir l'ordonnée z. comme ça tu trouve le temps pour que z=h, ensuite tu reinjecte ce temps dans ton expression de v et tu as ta vitesse de la bille tombant d'une hautuer de h.
1 truc interessant: tu vois que la bille atteint une vitesse limite (qd tu as dv/dt=0)
cette vitesse vaut : v=(Mbille-Mair)*g/(6*Pi*nu*R)
Voilà, j'espère que tu as compris mon explication!
Si c'est une sphère de diamètre réaliste (pas une gouttelette d'eau) et de densité réaliste (pas une bulle de savon), la poussée d'Archimède et la force de viscosité de l'air seront négligeables devant le poids et surtout la résistance de l'air qui se calcule comme :
F = 1/2 rho * S * Cx * v²
rho est la masse volumique de l'air, S la surface frontale de la sphère, v la vitesse et Cx un coefficient qu'il n'est pas idiot de prendre égal à 1.
On intègre alors l'équation m g - 1/2 rho S Cx v² = m dv/dt
La sphère atteindra en pratique une vitesse limite obtenue en écrivant dv/.dt = 0
Pour une chute libre au moins dans l'air on dépasse très rapidement le domaine de validité de l'équation de Stockes pour les forces de frottement.
Il est alors préférable d'utiliser la force de trainée qui s'exprime 1/2. Cx. S.rho. v^2
où rho est la masse volumique du fluide environnant
Cx est le coefficient de trainée qui dépend de la forme de l'objet et de valoir à peu près 1 pour une sphère.
Malheuresement ce coefficient Cx n'est pas qu'un pur coefficient géométrique et en pratique il dépend aussi de la vitesse, faiblement cependant dans une large gamme de vitesse.
[edit] croisement avec JeanPaul
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
Merci pour vos réponses!!
J'ai presque tout compris...Là, je ne comprends pas la dernière phrase. (ou comment calculer la vitesse limite?)Envoyé par Jeanpaul
merci!!
lorsque la sphére atteint sa vitesse limite, sa vitesse par définition "ne varie" plus, sa dérivée est donc nulle, donc en reportant dv/dt=0 dans l'équation m g - 1/2 rho S Cx v² = m dv/dt tu trouve la vitesse limite...J'ai presque tout compris... Là, je ne comprends pas la dernière phrase. (ou comment calculer la vitesse limite?)
merci!!
Au fait, dans mon premier message, la solution que je donnais corespondait effectivement à un truc que je me rappelais pour une sphère à faible vitesse, dans un fluide ou on ne peut pas négliger la viscosité, et ça ne correspond pas vraiment à l'application dans l'air, désolé!!!
Donc, on obtient:
g - 1/2 rho S v² = 0 (en prenant Cx = 1)
où v est la vitess limité. C'est ça?
presque, regarde bien les masses et tu devrais y arriver..
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
erf oui, je me suis trompé (et en plus, j'ai fais plein de fautes de frappe). Ca donne donc ça:
mg - 1/2 rho S v² = 0.
Ce qui nous donne:
Vlimite = (2mg/(rho*S))1/2
C'est bon?
Ca à l'air correct effectivement !
Je te donne une idée, tu me donnes une idée, nous avons chacun deux idées.
