MQ : A quoi correspond le paquet d'onde gaussien ?

[invitecfe4f7a3]

Dans des ouvrages de MQ, il est parfois fait référence au paquet d'onde gaussien, de valeur initiale en exp(-x^2), puis qui s'étale avec le temps.

Mais à quoi correspond-il ? Est-ce qu'on a montré que certaines particules suivent cette fonction d'onde ? Ou est-ce juste pour donner un exemple qui marche bien sans qu'il corresponde à quelque chose de particulier.

Merci

TC

[phys4]

Mais à quoi correspond-il ? Est-ce qu'on a montré que certaines particules suivent cette fonction d'onde ? Ou est-ce juste pour donner un exemple qui marche bien sans qu'il corresponde à quelque chose de particulier.

Cette forme est obtenue comme solution pour plusieurs types de puits de potentiel.
Exemple la probabilité de position et d'impulsion pour un électron de la couche s (la première) dans un atome.

C'est aussi la répartition pour un puits parabolique.
Dans ces cas ce sont des formes stables qui n'évoluent pas avec le temps.

[invitecfe4f7a3]

Merci Phys4,

Est-ce que cela peut aussi être la fonction d'onde d'une particule libre ? Y a t ils des conditions particulières pour que cela soit le cas ?

Thierry

[Deedee81]

Salut,

Est-ce que cela peut aussi être la fonction d'onde d'une particule libre ?

Oui, c'est décrit dans Wikipedia d'ailleurs : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paquet_d%27onde_gaussien

Evidemment, c'est une idéalisation. Souvent choisie car assez pratique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecfe4f7a3]

Merco, je vais regarder wikipedia,

Je précise aussi ma question avec un cas particulier :

Dans un exposé sur les interférences entre condensats de Bose-Einstein (http://www.phys.ens.fr/cours/college...-99/cours4.pdf) , Claude Cohen Tanoiudji part du fait que les boson suivent une fonctions d'onde gaussienne , ce qui lui permet de repartir du complément GI de son livre pour la forme mathématique (d'ailleurs la forme des équations est différente entre son livre et son exposé, j'image qu'elle est équivalente).

L'expériences aux US qu'il cite indique que son résultat semble correcte, ce qui laisse penser que les bosons suivent effectivement la fonction d'onde gaussienne, puisqu'obbserve ce qui est prédit par les équations d'interférence.

Par contre ce choix d'une fonction d'onde gaussioenne n'est justifié nul part. Est-ce qu'on sait que des bosons suivent cette loi dans certains cas ?

Merci

Thierry

[Deedee81]

Salut,

Par contre ce choix d'une fonction d'onde gaussioenne n'est justifié nul part. Est-ce qu'on sait que des bosons suivent cette loi dans certains cas ?

Alors là, c'est une bonne question, mais je ne sais pas.

J'espère que quelqu'un ici a une explication.

[phys4]

Par contre ce choix d'une fonction d'onde gaussienne n'est justifié nul part. Est-ce qu'on sait que des bosons suivent cette loi dans certains cas ?

Pour des bosons non chargés, la fonction gaussienne ne s'impose pas en effet.
C'est un outil mathématique commode, car facile à manipuler.

Vous remarquerez que pour les photons, une décomposition harmonique est souvent préférée, en associant photons et fréquences.
Toutes les décompositions sont adaptées au type de mesure.

[invitefc7d7ed3]

J'ai fait un stage au cours de mes études sur les condensats. Autant que je puisse dire, les distributions gaussiennes intervenaient dans deux cas de figure :

1. Elles décrivaient la distribution du gaz thermique (à température supérieure à celle de la transition vers le condensat) lorsqu'on le laissait s'étendre pour l'imager. Cela vient simplement du fait que la distribution des vitesses se comporte comme une gaussienne et que donc si on laisse le gaz s'étendre dans l'espace, il va prendre cette forme

2. En dessous de la température de transition, le condensat se comporte comme une seule fonction d'onde. Comme il est piégé au fond d'un piège magnéto-optique, qu'on peut idéaliser comme un piège parabolique (ce qui est toujours correct si le condensat est petit), la fonction d'onde prend une forme gaussienne, ce qu'on peut vérifier de manière expérimentale.

[Deedee81]

Merci pour ces précisions.

[invite0bbfd30c]

Dans un exposé sur les interférences entre condensats de Bose-Einstein (http://www.phys.ens.fr/cours/college...-99/cours4.pdf) , Claude Cohen Tanoiudji part du fait que les boson suivent une fonctions d'onde gaussienne , ce qui lui permet de repartir du complément GI de son livre pour la forme mathématique (d'ailleurs la forme des équations est différente entre son livre et son exposé, j'image qu'elle est équivalente).

Il utilise une fonction d'onde gaussienne car cela facilite le calcul. La fonction d'onde d'un condensat piégé dans un potentiel harmonique n'est, en général, pas gaussienne, du fait des interactions entre atomes. Pour des condensats typiques, l'écart entre la fonction d'onde macroscopique décrivant le condensat et la fonction d'onde d'un atome unique dans le niveau fondamental (fonction gaussienne) n'est pas du tout négligeable. On est souvent dans le régime de "Thomas-Fermi" où les interactions jouent un rôle essentiel. Une référence utile et assez accessible: Making, probing and understanding Bose-Einstein condensates de Ketterle, Durfee et Stamper-Kurn.

L'expériences aux US qu'il cite indique que son résultat semble correcte, ce qui laisse penser que les bosons suivent effectivement la fonction d'onde gaussienne, puisqu'obbserve ce qui est prédit par les équations d'interférence.

Pas tout à fait. Dans l'expérience les fonctions d'onde des condensats ne sont pas exactement des gaussiennes (c'est d'ailleurs visible dans le cours de CCT). Mais la modélisation par des gaussiennes est suffisante pour reproduire certains aspects de l'expérience.

[invitecfe4f7a3]

Merci Chip pour ces précisions, et pour le lien,

Mais en fait ma question portait sur la fonction d'onde de l'atome unique, et non celle du condensat. CCT prend une fonction d'onde gaussienne pour les atomes uniques (tu sembles dire que c'est normal, ma question est justement pourquoi ?).


Thierry

[invite0bbfd30c]

Mais en fait ma question portait sur la fonction d'onde de l'atome unique, et non celle du condensat. CCT prend une fonction d'onde gaussienne pour les atomes uniques

Tout simplement car c'est la fonction d'onde du niveau fondamental d'un atome piégé dans un potentiel parabolique (appelé aussi potentiel "harmonique"), comme l'a dit phys4 au-dessus. Tu peux te référer, par exemple, au chapitre cinq du premier tome du cours de mécanique quantique de CCT, Diu, Laloë.

[invitecfe4f7a3]

Merci Chip,

Je vais regarder tout ça !

Thierry

[invitecfe4f7a3]

Pour info, j'ai trouvé une explication très intéressante dans le livre de Jean Louis Basdevant, "Principe de la moindre action", p 152, où il explique et démontre qu'on trouve une fonction d'onde gaussienne comme propagateur pour passer d'un état (x1,t1) à un état (x2,t2), si on applique le principe de l'intégrale des chemins de Feynman (cad : la fonction d'onde est la somme de celles de tous les chemins possibles mais avec une phase fonction de l'exponentielle complexe du chemin) à une particule libre, donc dont le lagrangien se réduit à son énergie cinétique.

Ensuite, pour décrire un état au temps t2, indépendamment de l'état d'origine, c'est la somme de tous les propagateurs qui mènent à cet état, donc une somme de fonctions d'ondes gaussiennes.

Thierry

[invite69d38f86]

Les gaussiennes apparaissent naturellement avec l'oscilllateur harmonique. La fonction de Wigner du vide photonique sur l'espace des phases est une gaussienne centrée sur (0, 0)

[invite7ce6aa19]

Merco, je vais regarder wikipedia,

Je précise aussi ma question avec un cas particulier :

Dans un exposé sur les interférences entre condensats de Bose-Einstein (http://www.phys.ens.fr/cours/college...-99/cours4.pdf) , Claude Cohen Tanoiudji part du fait que les boson suivent une fonctions d'onde gaussienne , ce qui lui permet de repartir du complément GI de son livre pour la forme mathématique (d'ailleurs la forme des équations est différente entre son livre et son exposé, j'image qu'elle est équivalente).

L'expériences aux US qu'il cite indique que son résultat semble correcte, ce qui laisse penser que les bosons suivent effectivement la fonction d'onde gaussienne, puisqu'obbserve ce qui est prédit par les équations d'interférence.

Par contre ce choix d'une fonction d'onde gaussioenne n'est justifié nul part. Est-ce qu'on sait que des bosons suivent cette loi dans certains cas ?

Merci

Thierry

Bonjour,

Un condensat de Bose-Einstein est un tout (c'est comme une particule dont on ignore la structure interne-système corrélé de bosons). Le problème ici est d'étudier l'interférence entre 2 condensats qui se dirige l'un vers l'autre. Il faut représenter un condensat par une fonction suffisamment localisée et qui le reste. Ceci est strictement impossible a cause de la relation de dispersion qui est non linéaire (contrairement aux photons). La fonction gaussienne est la fonction qui représente le meilleur compromis entre localisation et dispersion. Le calcul qu'effectue CCT consiste a calculer la longueur de de Broglie d'un paquet d'onde gaussien apres une distance de propagation d. Cette distance correspond au moment ou il y aura recouvrement spatial des fonctions d'onde des 2 condensats et donc interférence.