mecanique

[invitea1c427d6]

bonjour tout le monde, je souhaite me faire aider dans cette exercice:

probleme:
- supposons qu'il est expérimentalement connu que qu'une particule traverse une distance y₀ en un lapse de temps
t₀= rac (2y₀ /g) .....(1), où g est l'attraction de la terre.
mais nous ne connaissons pas le temps qu'elle met pour traverser toute les autres distances.
supposons aussi que le lagrangien pour ce probleme est connu et que la solution de l'equation du mouvement est de la forme
y=at+bt².

question: si a et b sont ajustés de tel maniere a satisfaire la condition (1)
montrer que l'intégrale, int(Ldt) est un extremum uniquement pour a=0 et b=g/2

rac=racine
int=intégrale de 0 à t

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ma proposition:

la condition pour que l'action int(L dt) soit un extremum est que

d/dt { int(L dt)}=0, pour tout t=0

L=1/2mv²-U, ou U est l'énergie potentielle et vaut dans notre cas (puisqu'elle est soulignée), U=mgy
donc L=1/2m y'²-mgy

avec y'=dy/dt => y'=a+2bt =>y'²=(a+2bt)2=a²+2abt+4b²t²

dL/dt=2ab+8b²t-(mga+2mgbt)

pour a=0 et b=g/2, pour t=0, on trouve :

dL/dt=0.

voilà, si il y a une erreur, elle doit etre au niveau du raisonnement, merci de bien voiloir me l'indiquer.
cordialement
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[invitea1c427d6]

petite correction
la condition d'extremum est dI/dt=0, avec I=d int(Ldt)

[invitea1c427d6]

déolsé d'avance d'avoir du répondre en posant des images et avec ma propre écriture, mais il m'est plus facile de répondre ainsi

[invitea1c427d6]

006.jpg

merci d'avance pour tout commentaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

d/dt { int(L dt)}=0, pour tout t=0

L=1/2mv²-U, ou U est l'énergie potentielle et vaut dans notre cas (puisqu'elle est soulignée), U=mgy
donc L=1/2m y'²-mgy

avec y'=dy/dt => y'=a+2bt =>y'²=(a+2bt)2=a²+2abt+4b²t²

dL/dt=2ab+8b²t-(mga+2mgbt)

Il y a une erreur juste au dessus : vous avez oublié le terme m/2 dans la première partie du second membre.
Enfin ce n'est pas la dérivée de l'action qui doit être stationnaire.

petite correction
la condition d'extremum est dI/dt=0, avec I=d int(Ldt)

C'est mieux mais ce n'est pas encore cela : la variation de l'intégrale par rapport aux paramètres doit être nulle, ce n'est pas la variation par rapport aux temps.

Enfin le premier résultat est surement faux, car il existe une famille de paramètres du mouvement qui sont solution : la vitesse initiale n'a pas besoin d'être nulle.
Il faudrait trouver que a peut être quelconque et b = g/2

Au revoir.