un problème de courbure

[maatty]

Bonjours à tous,
je suis en train d'étudier le principe d'equivalence et la courbure de l'espace temps en RG et j'aimerais avoir quelques eclaircissements concernant la courbur d'une variété.Pourriez vous me donner une illustration "avec les mains" pour différencier le tenseur de courbure (tenseur de riemann) du tenseur de Ricci ou du scalaire (présent dans le tenseur d'Einstein). En particulier j'ai du mal à appréhender la contraction tensorielle (Riemann=>Ricci ),non la définition mais la physique derriere.
A tous ceux qui auraient la patience de m'éclaircir,mes sincères remerciements
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[albanxiii]

Bonjour,

Ce que je peux vous dire, c'est que lors de la construction de son équation Einstein s'est rendu compte que l'espace-temps pouvait être courbé même s'il est vide d'énergie (exemple : l'espace-temps autour d'une masse, en dehors de la masse il n'y a rien, donc du vide). Pour en rendre compte, on peut peut pas utiliser le tenseur de Riemann, puisque s'il est nul alors l'espace temps est plat. Par contre, on peut avoir un tenseur de Ricci nul et un espace-temp courbe. Comme c'est le contenu en masse-énergie qui détermine la courbure au traver du tenseur d'impulsion-énergie, on peut avoir l'idée de relier ce dernier au tenseur de Ricci pour obtenir les équations d'Einstein.

Le scalire de Ricci intervient lui aussi pour les mêmes raisons. Et il n'y a pas de raison qu'on utilise soit le tenseur soit le scalaire de Ricci. On cherche donc une équation avec les deux dans un membre et le tenseur d'impulsion-énergie dans l'autre membre.

En espérant avoir pu vous éclairer un peu....

Bonne jounrée.

[maatty]

Bonjour,

... équation Einstein s'est rendu compte que l'espace-temps pouvait être courbé même s'il est vide d'énergie (exemple : l'espace-temps autour d'une masse, en dehors de la masse il n'y a rien, donc du vide). Pour en rendre compte, on peut peut pas utiliser le tenseur de Riemann, puisque s'il est nul alors l'espace temps est plat. Par contre, on peut avoir un tenseur de Ricci nul et un espace-temp courbe. Comme c'est le contenu en masse-énergie qui détermine la courbure au traver du tenseur d'impulsion-énergie, on peut avoir l'idée de relier ce dernier au tenseur de Ricci pour obtenir les équations d'Einstein.

Le scalire de Ricci intervient lui aussi pour les mêmes raisons. Et il n'y a pas de raison qu'on utilise soit le tenseur soit le scalaire de Ricci. On cherche donc une équation avec les deux dans un membre et le tenseur d'impulsion-énergie dans l'autre membre.

En espérant avoir pu vous éclairer un peu....

Bonne jounrée.

D'accord et surtout MERCI pour cette réponse qui a le mérite d'etre claire,conçise et suffisament imagée .Si je vous comprends bien,le tenseur de Ricci et du scalaire permettent de tenir compte de l'extension de la courbure au dela de "l'objet" matériel ou énergétique (dans son environnement et pas seulement son "lieu" ds l'espace temps),ce que le tenseur de Riemann ne peut faire dès lors qu'il s'annule.Le contenu matériel ou énergétique dans une région donnée de l'espace temps (decrit pas son tenseur) courbe (eq. d'Einstein)l'espace temps dans une région plus grande(que l'on decrit alors par le tenseur et le scalaire de Ricci).
Ai-je bien saisi ce que vous disiez?

[albanxiii]

Re,

Oui, c'est bien ça En fait, on cherche le tenseur le plus général qui peut décrire un espace vide mais courbé. On l'écrit sous la forme avec le tenseur de Ricci, une constante à déterminer, le tenseur métrique et le scalaire de Ricci. On peut en fait démonter mathématiquement et rigoureusement que les tenseur de cette forme sont les seuls tenseur du second ordre qui convienne pour décrire un espace-temps vide mais courbé.

Toutefois, d'autres intervenants auront peut-être des raisons supplémentaires à vous donner....

Bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Je complète et corrige mon message précédent....

Le tenseur le plus général pour décrire un espace courbe qui peut être vide est ... on voit appraître la constante cosmologique .

On peut avoir l'intuition du fait qu'il faut utiliser des tenseurs d'ordre deux pour décrire la gravitation en considérant un gaz de poussière vu de deux référentiels inertiel différents.

Si on prend le gaz au repos dans le premier il une densité où est la masse d'une particule, supposées toutes identiques et la quantité de particules par unité de volume.

Dans le second en mouvement par rapport au premier, on aura alors un nombre de particules par unité de volume (même nombre de particules, mais contraction des longueurs sur le volume) et une masse (transformation d'une composante du quadrivecteur énergie-impulsion).

On a donc qui est l'expression d'une quantité qui se transforme comme un tenseur de rang deux.

Voila, ça ne coutait pas grand chose de le dire !

Bonne soirée.