Mécanique du point

[invite90c43ec4]

Bonjour à tous, j'essaye de m'entraîner un peu sur la mécanique du point mais j'ai encore quelques difficultés par manque d'habitude... Je voudrais un peu d'aide pour la résolution d'un exercice dont l'énoncé est:

On considère deux points M1 et M2 reliés par un fil inextensible (longueur l). M2 ne peut se déplacer que sur la verticale (il est repéré par z). M1 se déplace sans frottements dans le plan Oxy perpendiculaire à Oz. Le fil peut glisser sans frottements dans une ouverture centrée sur l'origine du repère (O)

1. On lâche le tout sans vitesse initiale, M1 se trouvant alors en A(xo,0,0). Déterminez z(t) en fonction de l, xo, g, m1 et m2. (Cette question me pose déjà problème puisque j'ai essayé d'appliquer le PFD, ce qui n'aboutit pas. De même pour le théorème de l'énergie cinétique)

Pouvez vous déjà m'aider pour cette première question ? Merci d'avance
-----

[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Faites un dessin.
Dessinez les forces sur m1 et m2 (appelez 'T' la tension du fil).
Si m1 bouge d'une longueur D, de combien bouge m2 ?
Quel est le rapport de leurs vitesses ? Quel est le rapport de leurs accélérations ?
Utilisez F = ma, pour calculer l'accélération des deux masses.
Déduisez la position en fonction du temps.
Au revoir.

[invite90c43ec4]

Bonjour et merci
j'ai fait un petit dessin, sur lequel je vois que M2 est en dessous de M1 et que le fil est tendu. Donc j'ai 2 tensions qui s'exercent respectivement sur M1 et M2
Si M1 bouge de D, M2 bougera également de D puisque le fil est tendu.
Le rapport des vitesses serait donc 1 ?
Pour celui des accélérations, je n'arrive pas à exploiter le PFD...
Et comment déduire de ces deux rapports la position ? en intégrant je suppose...

[invite6dffde4c]

Re.
Les vitesses sont bien les mêmes. Et les accélérations ?
Le fil est considéré sans masse. Donc, la tension du fil est unique.
Ça doit vous permettre d'écrire F = ma, pour les deux masses et d'éliminer la tension 'T'.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite90c43ec4]

Si les vitesses sont identiques, les accélérations également je crois
donc m1a=T et -m2a=-m2g+T i.e m2(g-a)=m1a
donc a(m1+m2)=m2g
A partir de là, on intègre ?

[invite6dffde4c]

Re.
Oui. C'est ça.
Vous pouvez intégrer ou utiliser les formules du mouvement uniformément accéléré que vous avez déjà vu dans votre cours.
A+

[invite90c43ec4]

Merci à vous pour votre aide
La suite de l'exercice me pose également quelques soucis:

2. Calculer le travail de la force T2 qui s'exerce sur M2 entre t=0 et t=t1 en fonction de xo, g, m1 et m2, t1 étant la date à laquelle M1 arrive en O.
Ici j'ai d'abord explicité t1 à l'aide de l'expression de z(t) et j'écris W(T2)=-T2*dz, mais ensuite je ne vois pas comment exprimer T2 en fonction des paramètres demandés.

3. Dans la suite, M1 décrit une trajectoire dans le plan (Ox,Oy), paramétrée par les coordonnées polaires (r,théta). On part avec les conditions initiales suivantes: V2(0)=0, r(0)=0 théta(0)=0 et vectV1(0)=V0*(vect Ethéta)
Montrer que pour une certaine valeur de vo notée vo' (à exprimer en fonction de Ro, m1, m2 et g), la trajectoire peut être circulaire. Ici, je pensais à exprimer la vitesse dans les coordonnées polaires et dans le cas d'un mouvement circulaire, puis identifier. Est-ce bon ?

[invite6dffde4c]

Re.
Vous avez calculé l'accélération. Donc, vous avez T (F = ma comme d'habitude). Vous vous fichez du temps. Vous connaissez la distance parcourue par M1 et la force: yaka.

La deuxième partie est classique. Le poids de M2 sert de force centripète pour maintenir M1 en mouvement circulaire.
Si vous appartenez (ou voulez appartenir) à l'APM (*) vous pouvez utiliser des coordonnées cylindriques ou autres. Pas moi.
A+


(*) APM (Association de Physiciens Masochistes)

[invite90c43ec4]

D'accord, merci pour vos aides... j'ai réussi la question qui suit:

Montrer que r²*d(thétha)/dt est une constante.
En appliquant le PFD aux points M1 et M2, trouver une autre équation différentielle liant r et théta
En déduire alors une équation faisant intervenir uniquement r, de la forme m*d²r/dt²=f(r) ou f(r) est une fonction à préciser.

Le problème c'est qu'en appliquant le PFD au point M1, je trouve directement l'équation diff en r, puisque j'obtiens r''-r*théta'²=-T/m, ce qui me conduit à sauter une étape, et donc à douter de mon résultat, d'autant plus que je n'arrive pas à faire la suite, qui me demande de montrer que la force f(r) dérive d'une énergie potentielle...

[invite6dffde4c]

Re.
Ce que l'on vous demande de prouver est la "loi de surfaces" que Kepler avait déduit des positions des planètes et que Newton avait démontré pour toute force centrale (comme ici).
La démonstration de Newton est remarquable. Elle est uniquement géométrique et tient en un dessin et quelques phrases.
Vous pouvez avoir la démonstration classique (celle que l'on vous demande) dans le paragraphe 11.4.2 de ce fascicule (7mo):
http://www.sendspace.com/file/ttrwye Cliquez sur: Click here to download from freespace.

La force T dérive nécessairement d'un potentiel. Elle est à symétrie radiale, donc irrotationnelle. Et elle a, en fait, comme origine l'énergie potentielle gravitationnelle de M2.
A+

[invite90c43ec4]

Merci infiniment pour cette précieuse aide, j'ai bien compris.
A bientôt