Explication d'une solution

[invite7b860fa8]

bonjour à tous .
j'ai un petit problème mathématique mais en fhysique.c'est la solution générale d'une équation différentielle du second degré . la solution général est: V=f(t-z/u)+g(t+z/u) et parfois je trouve V= A exp(+ix)+B exp(-ix) . j'ai fait tout mes efforts pour la comprendre car moi je sais quand ils nous donnent une équation differentille il faut chercher la solution et parfois la solution change mais ici dans le domaine des ondes et ligne de transmission je trouve toujours la meme réponse. s'il vous plait aider moi et merci d'avance.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
La solution générale de l'équation d'onde (équation de d'Alembert) est celle que vous avez donnée: F(t +- x/v).
La fonction F est une fonction quelconque.
Il s'avère que dans les milieux linéaires (=ordinaires) on peut décomposer un signal continu en somme de signaux sinusoïdaux. Comme le milieu est linéaire, le comportement du signal original sera égal à la somme du comportement de chacune de ses composantes sinusoïdales.
Donc, au lieu de s'emmquiquiner à travailler avec des signaux quelconques et les équations différentielles qui vont avec, on trouve plus commode de ne travailler qu'avec des signaux sinusoïdaux.
Dans ce cas on ne va s'intéresser qu'à des fonctions F() trigonométriques: cos(A(t +- x/v)). On peut aussi bien choisir sinus que cosinus. Mais par expérience il semble que les physiciens choisissent le cosinus et les matheux le sinus.
La constante A sera la vitesse angulaire ou pulsation de l'onde, habituellement désignée par la lettre oméga (ω)
Les solutions seront donc de la forme cos(wt - (w/v)x). Le quotient w/v (pulsation/vitesse) reçoit, pour des raisons historiques le nom de "nombre d'onde" (ce n'est pas "le nombre des ondes"), wavenumber en anglais. Et on l'appelle souvent 'k':
cos(wt - kx)
(j'ai choisi des ondes se propageant dans le sens des 'x', d'où le signe '-'.Et comme je suis physicien j'écris que la phase (l'argument de la fonction trigonométrique) augmente avec le temps. J'écris donc wt-kx. Les matheux écrivent kt-wt et seul Dieu sait pourquoi (si Son omniscience Lui suffit ).
Ceci nous fait travailler avec des fonctions trigonométriques et on se retrouve souvent avec des expression incommodes du genre cos(wt - kx + phi).
Il est plus commode d'ajouter la même fonction avec un sinus à la place du cosinus (ce qui physiquement correspond à une origine du temps décalée) multipliée par la constante imaginaire 'j' ('i' pour les matheux).
On ne risque rien en ajoutant une partie imaginaire à la partie réelle. Seule la partie réelle sera à retenir à la fin, et la partie imaginaire ne se mélange pas avec la partie réelle.
La solution a utiliser dévient

Sans oublier que c'est une astuce mathématique extrêmement utile mais non indispensable. Si on est en phase terminale de masochisme, on peut travailler avec de fonctions trigonométriques ou même avec les fonctions quelconques et les équations différentielles.
J'insiste, l'utilisation du formalisme complexe est réservée à des adultes consentants qui savent ce qu'ils font et qui ne risquent pas de conclure que l'on trouve des choses imaginaires dans notre monde.
Au revoir

[invite7b860fa8]

bonjour .
merci beaucoup.