Tenseur des contraintes en un point

[inviteff5274df]

Bonjour,

Je vous explique mon problème. En mécanique des milieux continus, nous sommes en train d'étudier les tenseurs de contraintes et de déformation.

Pour chercher les directions dans lesquelles on n'a pas de cisaillement, on fait un changement de base et on trouve une matrice diagonale. Ensuite on peut en déduire ces directions grâce aux vecteurs propres.
Si on veut trouver les directions selon lesquelles il n'y a que du cisaillement, on fait un changement de base avec des matrices de rotation et on trouve un l'angle.
Le truc que je ne comprends pas c'est qu'on change de matrice des contraintes en un point en faisant ces changements de base. Si j'ai le tenseur contrainte en O qui vaut et que je le transforme en , je change de matrice contrainte en ce point !! D'ailleurs quand j'ai envie de déterminer le vecteur contrainte selon l'axe principal, je dois repasser par le matrice initiale (An=vecteur contrainte) et non la matrice diagonale.

Pour résumé, mon problème est que je ne comprends pas pourquoi on peut avoir différentes matrices contraintes en un même point!

Merci d'avance pour votre aide!!
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[Amanuensis]

Les matrices de nombres dépendent du choix de base ; l'objet physique "tenseur de contrainte en O" n'est pas changé, seule sa représentation par des nombres est changée.

C'est la même chose qu'un changement de repère : les coordonnées d'un point changent mais il s'agit toujours du même point.

D'ailleurs quand j'ai envie de déterminer le vecteur contrainte selon l'axe principal, je dois repasser par le matrice initiale (An=vecteur contrainte) et non la matrice diagonale.

C'est juste parce que vous avez les composantes du vecteur directeur de l'axe principal dans la base correspondant à la matrice initiale. Vous pouvez aussi utiliser la matrice diagonale, à condition d'appliquer d'abord le changement de base aux composantes du vecteur de l'axe. Et le résultat sera les composantes du vecteur contrainte dans la base diagonalisante ; si vous voulez les composantes dans la base d'origine, faut y appliquer le changement de base inverse. (C'est donc un calcul plus simple de travailler directement avec la matrice initiale ; c'est un argument pratique, pas conceptuel.)

[inviteff5274df]

J'ai tout bien compris! MERCI !!
J'ai fait le changement de base d'un axe principal pour lui appliquer la matrice diagonale avant de retourner dans la base initiale et je retrouve le même vecteur contrainte

[inviteff5274df]

Bonsoir,
Bon j'ai toujours des problèmes concernant les bases des tenseurs contraintes...
Si je considère la matrice de cisaillement simple , je me suis dit qu'elle doit être écrite dans la base à 45° des axes (i,j). Donc sur les facettes normales à et écrite dans la base de ma matrice, je dois avoir du cisaillement pur. Or en appliquant le tenseur contrainte à , je me retrouve avec aucun cisaillement et une contrainte normale de tau !

J'ai dû comprendre quelque chose de travers !

Merci pour votre aide!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je ne comprends pas la question. Dans une base on aura ((0, tau)(tau,0)), cisaillement, dans la base à 45° (base propre) on aura la matrice ((tau, 0)(0 -tau)), une compression et une traction, ce qui se voit bien sur le dessin.

[kruener1]

Bonsoir,

le cas dont vous parlez est un cas de cisaillement pur. En appliquant ce tenseur à la base propre (à 45°) on obtient bien comme vous dites aucun cisaillement et une contrainte normale de Tau (contrainte principale par définition, positive-> traction). Et sur l'axe perpendiculaire une contrainte -Tau (compress). Donc, tout est ok!
Le cours dit que dans un état plan de contrainte, la contrainte maximale de cisaillement apparait dans un plan à 45° par-rapport au plan de contrainte principale (plan où le cisaillement est nul).
Est-ce que vous avez déjà vu les équations avec l'interprétation sur le cercle de Mohr? Intéressant ! ...

[inviteff5274df]

Oui! C'est bon en fait! Je ne sais pas pourquoi j'avais dans le tête que la composante normale du vecteur contrainte était la première composante alors qu'il faut que je fasse le produit scalaire avec la normale! Ouf j'ai cru que je n'avais rien compris !
Et oui on a vu le cercle de Mohr.

Merci beaucoup de m'avoir aidée