Frottement Interne et module d'Young complexe

[Torseur06]

Bonjour,

J'aimerais avoir un éclaircissement sur un détail de la mécanique vibratoire notamment le frottement interne des matériaux viscoélastiques.
Le frottement interne ou communément appelé facteur de perte (tan(delta)) est considéré comme étant le rapport entre la partie imaginaire et la partie réelle du module d'young complexe du matériau. Il permet de caractériser la faculté d'un matériau à dissiper de l'énergie lorsque ce matériau est soumis à des sollicitations dynamiques.

Ce que je n'arrive pas à comprendre c'est dans la théorie comment fait on apparaitre ce module d'young complexe pour les matériaux viscoélastiques. En effet pour des matériaux élastiques on a la contrainte qui est proportionelle à la déformation avec E (module d'young Réel) comme facteur de proportionnalité.
Les matériaux viscoélastiques n'obéissent apparemment pas à cette loi puisque leur contrainte (respectivement leur déformation) au temps 't₀' dépend de l'état de déformation (respectivement de contrainte) aux instants 't' précédents.

Par contre je n'arrive pas à comprendre d'ou vient ce module d'young complexe, comment est il introduit dans les équations pour justifier son existence ?

Merci à vous de votre aide !
-----

[LPFR]

Bonjour.
Prenons l'exemple d'une masse avec un ressort.
Le mouvement est donnée par:

On peut decider d'utiliser le formalisme de impédances et ajouter au vrai mouvement réel une parrtie imaginaire similaire (mais avec un sinus) multipliée par 'j':
.

Évidement, seule la partie réelle de l'expression à un sens physique. Mais ce mode de travail permet de travailler avec des exponentielles au lieu de fonctions trigonométriques.

Si il y a une amortissement, la description du mouvement comporte une exponentielle décroissante:
.

Maintenant on peut inclure le 'ja' dans la racine de k/m et dire que cela correspond à un nouveau 'k' complexe.

Comme vous voyez, c'est une question d'écriture qui simplifie els expressions, mais qui est réservée à des adultes consentants qui savent ce que cela signifie physiquement. J'espère que maintenant vous en faites partie.
Au revoir.

[Torseur06]

Merci de votre réponse LPFR

Donc si je comprends bien tout est histoire de notation.
Je m'excuse tout d'abord pour le message je ne maitrise pas l'éditeur de formule sur le forum, du moins je ne l'ai pas trouvé.
Je reste en trigonométrique pour éviter de rendre le problème trivial.

Dans un matériau élastique la contrainte étant proportionnelle à la déformation on a en dynamique :
Sigma = Sigma (0) * cos(wt)
Eps = Eps (0) * cos(wt)


Dans un matériau viscoélastique on considère que la contrainte a un retard (delta) sur la déformation donc :
Sigma = Sigma (0) * cos(wt + delta)
Eps = Eps (0) * cos(wt)

Si on développe Sigma on a !
Sigma = Sigma (0) * ( cos(wt) * cos(delta) - sin(wt) * sin(delta) )
Sigma = Sigma (0) * cos(delta) * cos(wt) + Sigma (0) * sin(delta) * cos (wt + PI/2)

Donc on aurait la première partie de Sigma qui serait la partie élastique et la deuxième partie la partie visqueuse.
Mais à partir de là je ne vois pas comment déduire les valeurs de E' et E" et comment tirer la forme complexe de la chose.

Merci à vous !

[LPFR]

Re.
Désolé, je n'ai jamais travaillé ni réfléchi sur la viscoélasticité.
Je risque de vous raconter des bêtises.
D'autant plus que ce qui dissipe, n'est pas le retard en soi. On peut avoir des montages électriques (je vois mieux les montages électriques) qui ont du retard et qui dissipent ou non, suivant l'origine du retard.
Si vous voulez travailler avec de constantes élastiques complexes, vous ne pouvez pas rester avec les fonctions trigonométriques. Il faut utiliser le formalisme des impédances.
A+

EDIT: pour écrire des formules lissez cette page:
http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour,
Etant moins prudent que LPFR, je dirais que le fait que le module de Young soit complexe implique une dissipation. (c'est comme pour les ondes progressives qui s'atténuent caractérisées par le nombre d'onde éventuellement complexe; c'est le même modèle.)

Comme montrer par LPFR, la réponse est en sinus si le module de Young est réel et en sinus fois exponentielle si le module de Young est complexe.

En automatique, on dit qu'on a des pôles imaginaires purs pour le module réel (réponse sinus) et des pôles complexes pour le module complexe.
Cela se voit aussi lors de la résolution de l'équation différentielle avec son équation caractéristique.

Cordialement.

LPFR : Vous avez laissé trainer deux cosinus dans votre expression complexe et mis deux rr à parrtie imaginaire. (La pas réelle...)

[Chup]

Merci de votre réponse LPFR

Donc si je comprends bien tout est histoire de notation.
Je m'excuse tout d'abord pour le message je ne maitrise pas l'éditeur de formule sur le forum, du moins je ne l'ai pas trouvé.
Je reste en trigonométrique pour éviter de rendre le problème trivial.

Dans un matériau élastique la contrainte étant proportionnelle à la déformation on a en dynamique :
Sigma = Sigma (0) * cos(wt)
Eps = Eps (0) * cos(wt)


Dans un matériau viscoélastique on considère que la contrainte a un retard (delta) sur la déformation donc :
Sigma = Sigma (0) * cos(wt + delta)
Eps = Eps (0) * cos(wt)

Si on développe Sigma on a !
Sigma = Sigma (0) * ( cos(wt) * cos(delta) - sin(wt) * sin(delta) )
Sigma = Sigma (0) * cos(delta) * cos(wt) + Sigma (0) * sin(delta) * cos (wt + PI/2)

Donc on aurait la première partie de Sigma qui serait la partie élastique et la deuxième partie la partie visqueuse.
Mais à partir de là je ne vois pas comment déduire les valeurs de E' et E" et comment tirer la forme complexe de la chose.

Merci à vous !

Bonjour,
c'est exactement ça et on en déduit E' et E'' (à la fréquence w) par Sigma = E' Eps(0) cos(wt) + E'' Eps(0) sin(wt).

La partie en sin est bien la partie visqueuse : contrainte proportionnelle à la vitesse de déformation.

Chup

[Torseur06]

Merci à tous de vos réponses.

J'ai bien compris stefjm et LPFR grâce à vous que grâce au module d'Young complexe il y a dissipation d'énergie.
Ce que je n'arrivais pas à comprendre c'est pourquoi le module d'Young des matériaux élastiques est complexe, quelle en était la démonstration mathématique. Pourquoi ne pas prendre un module d'Young complexe pour les matériaux élastiques alors ?
C'est pourquoi je m'étais tenté à faire un début de démonstration reprise par Chup.

D'ailleurs Chup je reprends la démonstration :
Sigma = Sigma (0) * cos(delta) * cos (wt) - Sigma (0) * sin(delta) * sin(wt)
Vous dites qu'à partir de là on peut on déduire E' et E'' par :
Sigma = E' Eps(0) cos(wt) + E'' Eps(0) sin(wt)

J'ai du mal à comprendre comment vous arrivez à affirmer cette formule.
Cela reviendrait à dire que E' Eps(0) =Sigma (0) * cos(delta) et E" Eps(0) = -Sigma(0) * sin(delta)
Pouvez vous m'éclairer sur cette étape pour passer à votre équation ?

Merci à vous !

[Chup]

C'est la définition des modules élastique (E') et de perte (E''). En notation complexe, on a alors E* = E'+iE'', avec, pour Eps* = Eps(0) exp(iwt) une contrainte Sigma* = E* Eps*
Chup

[stefjm]

Bonjour,
Le coefficient réel lie déformation et force.
La masse lie accélération et force.

D'où une solution en sinus qui ne dissipe pas d'énergie. (échange d'énergie entre potentielle (déformation) et inertielle (masse))
Solution de l'équation différentielle d^2x/dt2+x=0

Si on rajoute une coefficient fluide (proportionalité entre vitesse et force), on rajoute un terme de frottement qui amortie la solution sinus en la multipliant par une exponentielle réelle.
d^2x/dt2+dx/dt+x=0

Le passage en complexe simplifie l'écriture et la résolution.

Cordialement.

[Torseur06]

Merci chup et strefjm pour vos réponses.

Chup, malheureusement ce que vous me dites ne réponds pas à ma question. Je suis d'accord avec vous pour les formules que vous avez inscrites :
E* = E'+iE'', Eps* = Eps(0) exp(iwt) => Cela correspond simplement à la définition du module d'Young complexe et de la forme complexe de la déformation.
Je suis moins d'accord avec cette formule Sigma = E*Eps qui n'est vrait que pour un matériau élastique et non un matériau visqueux ni voscoélastique.

Mais en rien dans ces formules je vois la possibilité d'en déduire le E' du E" issue de la formule à laquelle j'avais aboutie après développement :
Sigma = Sigma (0) * cos(delta) * cos (wt) - Sigma (0) * sin(delta) * sin(wt)

Pour résumé mon problème car je ne suis pas sûr de bien me faire comprendre (ou alors c'est moi qui m'obstine à ne pas comprendre vos réponses pertinentes).
Je suis OK pour rajouter un module d'young complexe donc une raideur complexe pour un matériau viscoélastique.
Mais pourquoi ne pas la rajouter sur les matériaux élastiques cette partie complexe ? Ou alors quel développement mathématique permet de dire que la partie imaginaire du module d'young complexe d'un matériau élastique est nul ?

Stefjm, en fait on considère qu'un matériau viscoélastique agit comme un frottement fluide en dx/dt. Pourquoi a t'on le droit de dire cela, cala est dû à sa propriété donnant la formule Sigma = E * d(eps)/dx.
J'ai malgré tout du mal à voir le lien...

Merci à vous et désolé pour toutes ces questions !

[stefjm]

Pour résumé mon problème car je ne suis pas sûr de bien me faire comprendre (ou alors c'est moi qui m'obstine à ne pas comprendre vos réponses pertinentes).
Je suis OK pour rajouter un module d'young complexe donc une raideur complexe pour un matériau viscoélastique.
Mais pourquoi ne pas la rajouter sur les matériaux élastiques cette partie complexe ? Ou alors quel développement mathématique permet de dire que la partie imaginaire du module d'young complexe d'un matériau élastique est nul ?

Parce qu'il n'y a pas de viscosité, ie de dépendance de l'effort en fonction de la vitesse, mais seulement de la position.
Un matériau élastique résonne à pulsasion naturelle sqrt(E/m), sans perte d'énergie.

Stefjm, en fait on considère qu'un matériau viscoélastique agit comme un frottement fluide en dx/dt. Pourquoi a t'on le droit de dire cela, cala est dû à sa propriété donnant la formule Sigma = E * d(eps)/dx.
J'ai malgré tout du mal à voir le lien...

Je ne suis pas spécialiste, mais c'est ce que donne le modèle.

[invite490b7332]

La viscoélasticité impose deux hypothèses sur la relation entre élongation et contrainte.
Tout d'abord, l'effet de mémoire en introduisant un produit de convolution.
D'autre part l'influence d'une contrainte à un instant t1 sera d'autant moins importante sur l'élongation à un instant t2, que t1 et t2 sont espacés dans le temps.
Donc la viscoélasticité introduit une temporalité entre l'élongation et la contrainte.
Il se trouve que cette temporalité (le fait qu'il y ait un produit de convolution) disparait et fait place à une relation complexe entre élongation et contrainte.(cela vient d'un calcul d'intégrale).
Cette relation complexe peut se mettre sous la forme d'un module d'Young complexe.
En conclusion, c'est l'effet de mémoire qui a pour conséquence l'introduction d'un module d'Young complexe.

[Torseur06]

Merci à vous de vos réponses.

pesdecoa, je pense que vous avez bien cerné ma question. Donc l'origine de ce module d'Young complexe c'est dû à cet effet de mémoire du matériau viscoélastique.
Je serai justement très intéressé pour connaitre ce développement mathématique notamment "le produit de convolution" dont vous parlez et le "calcul d'intégrale" qui conduit finalement à ce module d'Young complexe.
Pouvez vous si ce n'est pas trop vous demandez me développer cela sous forme mathématique ? Malheureusement même si google est mon ami je n'ai rien trouvé sur internet concernant toutes ces merveilleuses choses dont vous me parlez.

Je vous remercie beaucoup de votre aide !!!

[stefjm]

De façon très générale, les systèmes linéaires se décrive avec des équations différentielles. La solution de celles-ci présentent des conditions initiales qui se dépendent du passé. (Ici est la mémoire)
On peut préférerer la présentation sous forme de réponse impulsionnelle (correspondant à cette équation différentielle) , avec laquelle on convolue le signal d'entrée pour obtenir le signal de sortie.
Quand on transforme en utilisant la transformation de Fourier (ou Laplace, ou simplement en complexe), le produit de convolution est remplacé par un produit simple.

Comme vous l'a déjà signaler LPFR (et avec les calculs en plus), c'est le même principe que pour les impédances complexes d'un circuit RLC.

[invite490b7332]

Allez, je m'y colle..
Si matériau élastique, alors
avec l'élongation, la contrainte et E le module d'Young. (ici le temps n'apparait pas, tout est instantané : si contrainte, alors élongation. Si pas contrainte alors pas élongation )

Bon maintenant passons à la viscoélasticité:
la relation (de comportement) devient :

Donc ici, on écrit l'effet de mémoire : la déformation à un instant t dépend de tous les états de contrainte à tous les instants antérieurs.

Il faut encore ajouter une autre hypothèse : les contraintes éloignées dans le temps d'une élongation à un instant t ont moins d'influences que celles proches:


Et au final arès calcul de l'intégrale, on a

où en plus apparait la pulsation complexe ...

C'est quand même assez lourd comme démonstration.
Mais on peut voir une dernière chose :
Si tend vers l'infini, alors on perd l'effet de mémoire et on retrouve que
c'est à dire un matériau élastique.

[invite490b7332]

stefjm tu fais une confusion (qui montre que tu n'es pas mécanicien).
Ici on s'intéresse aux caractéristiques du matériau, i.e. à la loi de comportement,i.e. à la relation entre élongation et contrainte. La loi de comportement n'est pas l'équation du mouvement. Elle est cependanr nécessaire à la résolution de l'équation du mouvemt, au même titre que les conditions initiales et les conditions limites.

[stefjm]

Ça revient au même.
Ta convolution temporelle revient à une équation différentielle en temps.
Tu fais intervenir contrainte et dérivée temporelle de la contrainte.

En tout cas, je ne vois pas ce qu'il y a de différent...

[Torseur06]

Merci pesdecoa de votre réponse.
C'est exactement ce que je cherchais.

Je vais méditer sur ces formules et le raisonnement pour arriver à ce module d'Young complexe et je reviens vers vous si j'ai des questions complémentaires.

Merci à vous !

[invite490b7332]

Torseur,
garde toujours bien à l'esprit qu'il y a deux champs : le champs de contrainte et le champs de déplacement.
L'équation d'onde n'est que la résultante de l'équation du mouvement combinée à la loi de comportement.
Tu vois les ondes et sa vitesse mais tu perds la mécanique et les caractéristiques du matériau.

[Torseur06]

Merci pesdecoa.

Je vois ce qu'est la loi de comportement matériau (Relation Contrainte déformation du matériau)
Je vois ce qu'est la loi de mouvement (Relation Masse, Amortissement, Raideur en fonction accélération, vitesse et position => M x" + C x' + K x = 0 )

Par contre j'ai du mal à voir ce qu'est ce que vous appelez l'équation d'onde ?

Aussi, pour en revenir au facteur de perte qui est défini au rapport E"/E' = tan(delta). D'après votre relation précédente il semblerait que ce rapport donne :
lambda/gamma.
J'en déduis que plus ce rapport est grand et plus le matériau a la capacité de dissiper de l'énergie en chaleur (donc amortir) lorsqu'il travaillera suivant diverses sollicitations.
Comment traduire ce rapport sous forme mécanique pour réussir à trouver ou concevoir un matériau viscoélastique qui aura le plus grand facteur de perte ?

Merci à vous !

[Torseur06]

Je complète mon dernier message.

A priori le facteur de perte d'un matériau dépend de la fréquence d'excitation et de la température. Dans la formule trouvé précédemment (lambda/gamma) je vois qu'apparemment lambda correspond à la pulsation donc à la fréquence mais par contre je ne vois pas le terme permettant de faire jouer le facteur de perte suivant la température.
Est ce gamma ?

Merci à vous !

[Chup]

Merci chup et strefjm pour vos réponses.

Chup, malheureusement ce que vous me dites ne réponds pas à ma question. Je suis d'accord avec vous pour les formules que vous avez inscrites :
E* = E'+iE'', Eps* = Eps(0) exp(iwt) => Cela correspond simplement à la définition du module d'Young complexe et de la forme complexe de la déformation.
Je suis moins d'accord avec cette formule Sigma = E*Eps qui n'est vrait que pour un matériau élastique et non un matériau visqueux ni voscoélastique.

Mais en rien dans ces formules je vois la possibilité d'en déduire le E' du E" issue de la formule à laquelle j'avais aboutie après développement :
Sigma = Sigma (0) * cos(delta) * cos (wt) - Sigma (0) * sin(delta) * sin(wt)

Dans la notation complexe, ce sont les contraintes complexes Sigma* et déformations complexes Eps* qui sont liées par le module complexe E*=E'+iE'' : avec une déformation sinusoidale Esp* = Eps0 exp(iwt), alors la contrainte complexe Sigma* est le produit de E* par Esp* (ce qui donne la même notation que dans le cas élastique si tout le monde est réel). Maintenant, si on développe et qu'on prend la partie réelle (c'est elle qui a un sens physique) on obtient bien Sigma = Eps0( E' cos(wt)-E'' sin(wt) ) = Sigma0 * cos(delta) * cos (wt) - Sigma0 * sin(delta) * sin(wt).

Pour résumé mon problème car je ne suis pas sûr de bien me faire comprendre (ou alors c'est moi qui m'obstine à ne pas comprendre vos réponses pertinentes).
Je suis OK pour rajouter un module d'young complexe donc une raideur complexe pour un matériau viscoélastique.
Mais pourquoi ne pas la rajouter sur les matériaux élastiques cette partie complexe ? Ou alors quel développement mathématique permet de dire que la partie imaginaire du module d'young complexe d'un matériau élastique est nul ?

Quand le matériau est élastique, ça marche aussi : la réponse est en phase avec l'excitation et E'' est nul, c'est à dire que E* est réel.


Enfin, pour la dépendance en température, c'est l'origine physique de la partie visqueuse qui la donne : dans les polymères, elle vient du frottement entre chaines, quand on augmente la température, la mobilité des chaines augmente et le frottement (donc la dissipation) augmente (à fréquence donnée). De même augmenter la fréquence à température donnée ne laisse pas le temps aux chaines de réagir et le frottement diminue. Ainsi, il existe une "équivalence" temps-température (appelée WLF pour Williams Landel Ferry) : E* dépend de T et de w sous la forme E*(T,w) = E*(aT w) où aT est une fonction de la température.