Salut tout le monde,
Je bloque sur un probleme (qu'on peut trouver dans le livre de méthodes mathématiques de Mathews et Walker). Le voici:
Supposons que la densité de neutrons n dans un noyau de obéit l'équation différentielle .
1)Donnez une expression du rayon critique pour lequel une sphere de avec un rayon égal ou supérieur a est instable. C'est-a-dire que la densité de neutrons dans l'intérieur de la sphere croit exponentiellement avec le temps.
2)Supposons que deux hémispheres de se trouvent a la limite de stabilité. Si on les joint pour former une sphere, celle-ci sera instable et on aura . Donnez une expression de la constante de temps tau, de l'explosion résultante.
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ce que j'ai fait:
Je vais tenter la méthode de séparation de variables (en coordonnées sphériques), c'est a dire, j'assume que la solution de l'équation différentielle peut s'écrire de la forme . De plus, vu la symmétrie du probleme, je vais assumer que n ne dépend que de r et de t; ce qui simplifie énormément le probleme d'entrée.
Donc j'ai . Je remplace n par R(r)T(t) dans l'équation différentielle, et j'obtiens . Je divise par RT, j'obtiens: .
Vu que cette équation est satisfaite pour tout r et tout t, chacun des membres de l'équation est une constante "-C" et on a donc que l'équation différentielle en dérivées partielles se réduit a 2 équations différentielles:
.
J'ai résolu la 2eme équations, j'ai trouvé que .
Et je bloque sur la 1ere équation.
J'ai essayé de trouver une solution en terme de série infinie mais en vain.
Donc mon équation est .
J'ai proposé une solution de la forme . Ou mu est une constante, normalement un nombre réel. En sautant les détails, mon équation séculaire est , ce qui me donne un mu complexe. Et la je ne sais pas quoi faire, je n'ai jamais vu ca auparavant. En gros ca veut dire que la singularité de l'équation en n'est pas réguliere? La méthode de série infinie ne fonctionne pas?
Je n'ai aucune idée de comment résoudre l'équation différentielle. Si vous avez des idées ca me servirait surement! Merci d'avance.