Existence d'un lagrangien

[invitec3c05d1a]

Bonjour , il y a un exercice en mécanique analytique qui me pose problème.

On a les 3 équations du mouvement d'un système (en coordonnée cartésiennes) suivantes:
x'(t)=-2y=yz
y'(t)=x-xz
z'(t)=xy

On a commencé par chercher les coefficients a,b,c pour que la fonction F(x,y,z)=ax²+by²+cz² soit une constante du mouvement , nous avons trouvé :
b=2a
c=a

On Considère maintenant la trajectoire x(t) ,y(t),z(t) avec les conditions initiales x(0)=y(0)=z(0)=1
On peut donc écrire F=a(x²+2y²+z²) , vu que F est une constante du mouvement F=F(t=0)=4a ;

Finalement on trouve que x²+2y²+z²=4 ,ce qui correspond à l'équation d'une quadrique , la trajectoire est donc contenue sur cette surface .
Maintenant on aimerait savoir si un lagrangien L existe pour ce système d'équations et si oui le trouver. Je pense qu'il faut utiliser la constante du mouvement F et en déduire une variable cachée pour L mais je ne vois pas trop comment procéder ...
Merci d'avance
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[invitec3c05d1a]

Désolé, j'ai fait une légère erreur a la réécriture des équations du mouvement:
x'(t)=-2y+yz

[albanxiii]

Bonjour,

Une façon de faire est de partir des équation d'Euler-Lagrange , où . Vous connaissez déjà ces équations puisque ce sont les équations du mouvement, il faut identifier et faire les calculs. A vue de nez (je n'ai pas fait les calculs) ça devrait bien se passer. Je ne sais pas si la quantité conservée est utile ou non, peut-être pour déterminer une constante d'intégration à la fin.

@+

[invitec3c05d1a]

Oui mais ne faudrait-il pas dériver par rapport au temps les 3 équations afin de se ramener à des équations différentielles du second ordre pour pouvoir ensuite identifier avec les équations d'Euler Lagrange ? Enfin ça me parait étrange de pouvoir identifier directement ,car en principe les équations de Lagrange conduisent à des équations du seconde ordre ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc7d7ed3]

Bonjour,

On peut obtenir une équation d'ordre 1 à partir des équations d'Euler Lagrange, pas besoin de dériver les équations ci-dessus. Par exemple, un lagrangien du type L=x'x+x^2 donne x'=2x comme équation différentielle. Les équations d'Euler Lagrange conduisent à des équations du second ordre en mécanique, en règle générale, mais ces équations n'ont pas besoin d'être les équations d'un système physique pour avoir un lagrangien qui leur est associé.

[invite490b7332]

Bonjour minka,
on sent que tu maitrises ton sujet.
F doit être vu comme une contrainte. C'est cette contrainte qui fait que le lieu des points de la trajectoire à telle surface.
Connais tu la méthode des multiplicateurs de Lagrange?

[invitec3c05d1a]

Bonjour , oui je connais cette méthode , ç'est ce que je voulais faire au début , écrire une une fonction G(x,y,z) = x²+2y²+z²-4 = 0 puis écrire un nouveau Lagrangien L'=L+k*G(x,y,z) avec k un multiplicateur de Lagrange , mais je ne voyais pas trop comment procéder sans connaître la forme générale du lagrangien ...

[albanxiii]

Re-bonjour,

Vous êtes sur de vos équations du mouvement ?
En faisant quelques calculs j'ai des incohérences.

@+

[invitec3c05d1a]

Oui les équations sont justes, cela prouverait-il qu'il n'existe pas de Lagrangien pour ces équations du mouvement ?