Goutte de boue :)

[invite9974b71e]

Bonsoir,

Voici un autre petit exercice intéressant, j'aimerais votre avis là-dessus :

Une voiture est bloquée dans la boue, afin de s'en sortir, elle fait tourner une de ses roues très vite (roue en forme de cercle (!) de rayon R), à une vitesse v, lorsque v^2 > gR. De la surface de cette roue est pulvérisée de la boue. On néglige le frottement avec l'air, trouvez la hauteur maximale à laquelle va être pulvériser la boue.

Conseil : Puisque chaque goutte de boue peut arriver d'endroits différents sur la surface de la roue, il faut définir la hauteur initiale d'un point à la surface du cercle de rayon R. De là, exprimer la fonction hauteur à l'aide des paramètres donnés dans le problème et trouver le maximum.

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Comme d'habitude, voilà ce que j'ai fais : j'ai utilisé la loi de conservation de l'énergie tout simplement, et j'ai cherché Hmax quand v=0. Avant ça, j'ai suivi les conseils de l'énoncé, j'ai exprimé la hauteur initiale comme ceci : Hi = racine de R^2 - x^2. L'axe x est selon le diamètre de ma roue.

Je trouve comme réponse finale :

Hmax = R + (v^2)/2g.

Qu'en pensez-vous ?


Merci d'avance pour vos réponses
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Comme la hauteur maximale d'un projectile dépend de l'angle de lancé et que la hauteur de départ de la roue dépend de la position dans la roue, je prendrais l'angle de la position de départ de la goute comme paramètre.
Au revoir.

[invite9974b71e]

Bonjour,
Alors en suivant tes conseils, j'ai exprimé la hauteur initiale comme étant : Rsinθ.
J'ai réécris ma Hmax, et j'arrive à v^2/2g + une fonction de x, car j'ai ensuite exprimé sinθ en fonction de R et x. Cette fonction est maximale quand x=0, donc comme on pouvait le prévoir je trouve comme Hmax : v^2/2g. Ce qui me paraît assez logique en fait.
Seulement je sens qu'il y a un piège, aurai je omis quelque chose ?

Merci d'avance.

À bientôt.

[invite6dffde4c]

Re.
D'abord, la hauteur initiale est par rapport au sol et non l'axe de la roue (mais côté calcul c'est du kif).
Et la vitesse verticale dépend de l'endroit où la goute se détache.
Faites un dessin. Choisissez un angle de détachement dessinez la vitesse et sa composante verticale.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9974b71e]

Re,
Ok je vais refaire tout ça, et je vous tiens au courant.
Merci.

[invite9974b71e]

Re,
J'ai revu un peu tout ça, j'ai corrigé ceci :
Hinitiale = R + Rsinθ

A la hauteur maximale, la composante verticale de la vitesse s'annule, mais il reste la vitesse horizontale Vx, qui vaut Vcosθ.

Du coup j'arrive à : Hmax = R(1 + sinθ)/g + (v^2/2g)(sinθ)^2.

Je joins un dessin de la situation. Désolé pour la qualité médiocre, c'est fait avec paint, et je ne suis pas très doué en dessin .

Merci d'avance.

[invite6dffde4c]

Re.
Ce qui est important dans un dessin n'est pas qu'il soit beau. Mais qu'il soit exact et qu'il vous permette de voir.
Quand vous choisissez un angle quelconque, ne prenez pas ni 0° ni 45° ni 90°. Vous verrez mieux les angles et risquerez moins de mélanger sinus et cosinus.
Votre dessin n'est pas correct. La goute de boue ne part pas radialement mais tangentiellement.

Et votre formule comporte une erreur fatale: elle n'est pas dimensionnellement correcte. Vous ne pouvez pas avoir une distance à gauche et R/g à droite.

Mais vous êtes sur la bonne voie et avec quelques petites corrections vous aurez la solution.
A+

[invite9974b71e]

Re,
Okay Okay Je vais encore remanier ça et je vous tiens au courant.

Merci bien.

(P.S : votre façon d'aider est vraiment excellente au passage.)
A bientôt.

[invite6dffde4c]

...
(P.S : votre façon d'aider est vraiment excellente au passage.)
...

Re.
Merci. Mais je triche: j'ai un demi-siècle d'expérience.
A+

[invite9974b71e]

Re,

OK alors cette fois je crois avoir compris mon erreur, bon il y avait en effet un problème de sinus cosinus, voici mon expression de h :

h = R(1+sinθ) + (v^2/2g)*cosθ^2

Je crois avoir compris, que ça c'est bien Hmax mais en fonction de θ, alors je dérive cette expression et je l'égalise à 0.

Seulement voilà j'obtiens sois : cosθ = 0 (dans ce cas je retomberai sur mes premières solutions), soit R-(v^2sinθ)/g = 0, et là je me doute que j'aurai la bonne réponse . Mais le plus important est de comprendre pourquoi..

Dois-je exclure la valeur 90° dès le départ quand je définis la hauteur initiale ? Car mon expression de hauteur initiale, n'est pas valable pour θ = 90°.

Merci bien. (Je touche au but!).

[invite6dffde4c]

Re.
La dérivée nulle vous donne des extrêmes.
la première solution cos(thêta) = 0 correspond à un minimum qui correspond à la goute qui part du bas de la roue. Il faut faire attention car cos(thêta) = 0 à aussi deux solutions +pi/2 et -pi/2. Il faut choisir la solution qui a un sens physique thêta = -pi/2.
La seconde correspond à un maximum et c'est celle que l'on cherche.
Et bien bravo, vous avez fait le problème.
A+

[invite9974b71e]

Merci
Merci bien pour l'aide en tout cas. J'ai compris pour les extremums.
Un petit énoncé comme celui-là est sans nul doute intéressant .

A bientôt.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
N'oubliez pas que ce que l'on vous demande n'est pas l'angle mais la hauteur maximum.
Il faut remplacer les sin et cos de l'angle dans la formule qui donne la hauteur.
Au revoir.

[invite9974b71e]

Bonjour,
Oui j'ai ensuite remplacé la bonne valeur dans mon équation de h.
À bientôt.