filtre causal

[invitefa636c3d]

bonjour,

voici l'énoncé de mon problème:
je fais de la théorie du signal (en maths) et la fin du cours porte sur l'echantillonnage et le filtrage et je suis un peu largué...

on considère un filtre causal defini par l'equa diff
2y+2y'+y''=x

je veux montrer que ce filtre est de la forme x-->y=F*x (ou * est le produit de convolution) et F est à déterminer

je ne sais pas trop comment m'y prendre vu que je ne comprends pas grand chose aux filtres...

jameso
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[phuphus]

Je ne suis peut-être pas la personne la mieux placée pour te répondre, compte-tenu que j'ai une approche pratique du filtrage numérique et que je ne me suis jamais vraiment plongé dans la théorie qu'il y avait derrière, mais je vais essayer.

Pour la forme de F, va voir ici, et inspire-toi de l'équation du filtre FIR :

http://forums.futura-sciences.com/thread56339.html

Ensuite, exprime tes dérivées de y selon des schémas aux différences finies (développements de Taylor), et tout devrait bien se passer. Pour que ton filtre soit causal, prends bien garde à prendre des schémas 'retardés' (ou vers l'arrière, je ne sais pas quel vocabulaire a été utilisé dans ton cours). Par exemple :

y'(n) = y(n)-y(n-1)/DeltaT

avec DeltaT inverse de la fréquence d'échantillonnage.

Je pense que comme cela, tu devrais y arriver.

[invitefa636c3d]

merci de ton aide mais je n'y arrive toujours pas;
je précise qu'on travaille avec Vµ= l'ensemble des fonctions x continues integrables sur R dont la transformée de fourier est à support dans l'intervalle Iµ=[-1/2µ,1/2µ]

je ne vois pas concretement ce que je dois faire
j'ai essayé ceci :
j'ai remplacé les choses par leurs valeurs dans l'equa diff en posant (x*F)'=x*F' et (x*F)''=x*F'' ;
j'arrive sur un truc du genre:

x*[2F + 2F' + F'']=x mais vu que la convolution dans L1(R) n'a pas d'unite , je bloque...

je ne sais même pas si je dois faire comme ça ...

[phuphus]

Déjà, il doit y avoir confusion entre entrée et sortie... Donc entre signal original et signal filtré. Selon ton équation différentielle, le signal original est y et le signal filtré x, non ? Ainsi, l'équation de convolution sera plutôt de type :

x = F*y

Ce qui nous amène donc à l'équation temporelle du filtre :

x(n) = F(0).y(n) + F(1).y(n-1) + F(2).y(n-2)

(produit de convolution en numérique)

A priori, on ne va pas plus loin que n-2 puisque tu 'as qu'une dérivée seconde.

Les coefficients F(0), F(1) et F(2) représentent ta fonction F. Le tout est de les trouver.

En prenant le schéma aux différences finies que je propose plus haut (à remplacer absolument par les développements de Taylor donnés dans ton cours !!!), cela donne :

y'(n) = y(n)-y(n-1)/DeltaT

y''(n) = y(n)-2y(n-1)+y(n-2)/DeltaT
(j'étais persuadé que pour ce dernier les singes + et - étaient inversés par rapport à ce que je propose ici... enfin bon, tu regarderas les développements donnés dans ton cours...)

Il n'y a plus qu'à développer le tout et à identifier les coefs F()... Donc commence par remplacer les dérivées première et seconde de y dans ton équation différentielle originale (passage en échantillonné...) , développe un peu pour mettre en facteur les termes pour chaque y(), et identifie aux F(). C'est tout !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa636c3d]

1) il n'y a pas de confusion ,c'est bien y=F*x
2)je cherche une fonction F integrable et apres on me demande de calculer sa transformee de fourier
3) que représente F(0),F(1),F(2)... un nombre ?
si ce sont des nombres , comment vais je faire pour determiner ma fonction F à partir de 3 points et calculer sa TF ? peux tu me donner l'expression de F ?
4) je ne connais pas le schema aux diffenrences finies et je ne vois d'ou sortent les expressions de y'(n)... deltaT vient d'où ? en echantilonnage on a vu shannon et c'est à peu près tout...

cela fait beaucoup trop de questions je pense ...
merci de ton aide

[phuphus]

Oups ! J'ai dû me méprendre dès le départ : comme tu parlais d'échantillonnage, je pensais que tu cherchais un filtre en échantillonné... Mais apparemment, on te demande plutôt de rester dans le domaine continu, non ? As-tu vu la transformée de Laplace ? La transformée en z ? La transformée de Fourier ? Pour le coup, ce sont des souvenirs un peu lointains et je crains de ne plus pouvoir t'aider...

[invitefa636c3d]

oui on a vu la transformée de fourier et la transformée en z ;

amicalement
jameso