Bonjour,
J'aimerais savoir ce qui à poussé Heisenberg à utiliser les inégalitée de Cauchy-Schwarz pour arriver à cette fameuse inégalités d'Heisenberg.
la question très très probablement vague !
En fait ces sans doute mes math qui me font défaut mais néanmoins je pense que la questions n'est pas triviale !
Es ce que l’inégalité d'Heisenberg à un rapport avec les transformations de Lorentz? Aussi bien mathématiquement que dans le sens physique ?
Merci à vous
Non, ça découle directement des transformations de Fourier. Je ne suis pas au courant d'un quelconque lien avec Cauchy-Schwartz d'ailleurs…Envoyé par Floris
Hen ah bon tes sur ??!! Des transformées de Fourier ?!?! Je vois pas le rapport !
http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A...Cauchy-Schwarz
D'ailleurs sur le wikipedia concernant les inégalités d'Heisenberg, on y vois un lien sur Cauchy-Schwarz
x et p sont des variables conjuguées. http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_variable
Bonjour
Disons que effectivement dans un certain sens l'on vois avec les transphormée de Fourier qu'il faudrait un temps infinie pour mesurer avec une exacte précision une onde monochromatique.
Mais cela dit l'algèbre utilisé dans l’inégalité d'Heisenberg qui lie donc X et P appartiens à ma mon sens à une question d'espace vectorielle...
La relation sur x et p peut effectivement être vue comme découlant de propriétés de transformées de Fourier : dans tout cours de traitement de signal à un moment donné il est fait mention du fait que l'étendue temporelle d'un signal et d'autant plus faible que son étendue fréquentielle est grande, et les 2 sont reliées par le même genre de formule qu'Henseiberg (la seule différence étant qu'il s'agit d'une TF spatiale et pas temporelle, pour x et p).
Après, dans le cas général de deux observables quelconques A et B, le dA.dB >= 1/2|<[A,B]>| s'obtient dans le cadre de l'algèbre. Dans les 2 cas, on utilise Cauchy Schwarz pour la preuve, ie le produit scalaire de deux vecteurs est plus petit que le produit de leurs normes. Le seul truc c'est que dans le cas de x et p on désigne précisément l'espace vectoriel où on est (espace de fonctions), donc on peut oublier la nature algébrique de la démonstration en voyant les produits scalaires comme des intégrales, mais au fond c'est la même chose.
En espérant mettre tout le monde d'accord
Bonjour et merci pour cette réponse. Si je comprend bien, ici on considère Delta X et Delta P comme des vecteur ?La relation sur x et p peut effectivement être vue comme découlant de propriétés de transformées de Fourier : dans tout cours de traitement de signal à un moment donné il est fait mention du fait que l'étendue temporelle d'un signal et d'autant plus faible que son étendue fréquentielle est grande, et les 2 sont reliées par le même genre de formule qu'Henseiberg (la seule différence étant qu'il s'agit d'une TF spatiale et pas temporelle, pour x et p).
Après, dans le cas général de deux observables quelconques A et B, le dA.dB >= 1/2|<[A,B]>| s'obtient dans le cadre de l'algèbre. Dans les 2 cas, on utilise Cauchy Schwarz pour la preuve, ie le produit scalaire de deux vecteurs est plus petit que le produit de leurs normes. Le seul truc c'est que dans le cas de x et p on désigne précisément l'espace vectoriel où on est (espace de fonctions), donc on peut oublier la nature algébrique de la démonstration en voyant les produits scalaires comme des intégrales, mais au fond c'est la même chose.
En espérant mettre tout le monde d'accord
dA et dB ne sont pas des vecteurs dans la formule que j'ai écrite, en fait ce sont des normes de vecteurs, désolé si je t'ai induit en erreur. C'est parce que les démonstrations de Cauchy Schwarz et d'Heisenberg sont très similaires, du coup j'ai fait quelques raccourcis... Enfin bref, physiquement il s'agit d'écarts types (donc des nombres), obtenus en utilisant la bonne vieille formule de stats : Var A = E[A²] - E[A]² (Var = variance, E = espérance). Prendre la racine pour obtenir l'écart type dA. Donc en physique on écrira plutôt : (dA)² = <A²> - <A>². Après, la méca Q y met sa sauce en donnant l'expression de la valeur moyenne (l'espérance, la moyenne statistique quoi, pas temporelle hein) d'une grandeur à partir de la fonction d'onde du système et de l'opérateur associé à cette grandeur. Je peux en dire plus si tu veux, tout dépend de ce que tu sais déjà en méca Q :
-> Si tu connais le formalisme dans lequel est développé la théorie, tu pourras j'imagine retrouver la démonstration de la formule d'Heisenberg en t'inspirant de celle de Cauchy Schwarz : au lieu de développer le trinôme en t : ||u + t.v||² avec t réel puis d'écrire la négativité de ce trinôme pour qu'il soit toujours positif, il faut développer le trinôme en t : ||A.psi + i.t.B.psi||². Donc les vecteurs considérés sont A.psi et B.psi, actions des observables A et B sur la fonction d'onde.
-> Si tu n'as pas fait de méca Q, ce qu'il y a au dessus doit te sembler obscur (depuis quand une grandeur physique c'est un opérateur sur un espace vectoriel = l'espace des fonctions d'ondes possibles ? etc). Dans ce cas je ne peux que te conseiller de filer fissa à la bibliothèque, d'emprunter un bouquin de méca Q, et de l'avaler illico presto
Je suis sans doute pas le meilleur placé pour expliquer ça, mais en gros, le fait de dire que la fonction d'onde est un vecteur vient de la nécessité qu'on a de pouvoir superposer les états en mécanique quantique, d'où la structure obligée d'espace vectoriel : l'expérience montre que les systèmes quantiques se comportent comme des ondes qui peuvent s'ajouter, soit, on va munir la théorie de la structure qu'il faut. Et ensuite, le fait que les grandeurs physiques sont représentées par des opérateurs sur cet espace c'est ce qu'on appelle la procédure de 1è quantification. On me l'a introduit plus ou moins comme ça : en interprétant la fonction d'onde comme une amplitude de probabilité de présence pour une particule (interprétation de Bohr), on trouve une formule pour la position moyenne qui peut se mettre sous une certaine forme faisant intervenir un "opérateur position" agissant sur la fonction d'onde. On fait pareil pour l'impulsion p (en passant par la transformée de Fourier = décomposition en ondes planes çàd décomposition sur les états d'impulsion p bien définie) et on s'aperçoit que l'impulsion moyenne peut se calculer exactement avec la même formule mais cette fois pour un certain "opérateur impulsion". Et le truc c'est qu'avec x et p on peut fabriquer à peu près toutes les grandeurs qu'il faut (cf la mécanique analytique, formulation hamiltonienne), du coup on postule que pour toute grandeur physique, la valeur moyenne est donnée par cette même formule en faisant intervenir l'opérateur associé à la grandeur, obtenu simplement en s'inspirant de formules classiques où on a remplacé x et p par leur expression quantique. De ceci, il découle naturellement que les valeurs permises pour une grandeur sont données par les valeurs propres (le spectre) de l'opérateur associé, et tout un tas d'autres choses passionnantes. C'est un peu abscons au début, mais finalement ça a un sens : en physique classique, typiquement une grandeur est représentée par une fonction réelle "plutôt continue", l'ensemble des valeurs possibles est donc continu. Mais en physique quantique les valeurs permises pour une grandeur sont généralement discrètes. Quoi de mieux pour représenter ça qu'un opérateur, qui possède un spectre discret (l'ensemble de ses valeurs propres) ? D'ailleurs ce raisonnement est valable : si on a l'intuition que les valeurs permises pour une grandeur physique sont données par les valeurs propres d'un certain opérateur associé, alors on fait exactement le raisonnement inverse et on trouve ladite formule pour la valeur moyenne de cette grandeur. Les 2 se défendent.
J'imagine que ma réponse soulève autant de questions qu'elle apporte de réponses. Mais difficile de faire un exposé complet en un seul post. J'espère juste avoir un peu débroussaillé pour que tu entrevoies le formalisme de la méca Q et que tu sois aiguillé pour tes recherches futures
Bonjour à toi et merci beaucoup pour ces explications.
Au fait, Delta X dans l'inégalitée d'Heisenberg est l'incertitude sur la position, je pose la question très naivement, aucun rapport que ce soit avec la constante de la vitesse de la lumière ?
Non, aucun ! La méca Q dont j'ai parlé là est la méca Q non relativiste. Pour concilier la relativité restreinte et la méca Q, il faut aller voir du côté des équations de Dirac et de Klein-Gordon. Et il faut alors faire ce qu'on appelle de la théorie quantique des champs, car ces équations lèvent des paradoxes lorsqu'on essaie d'appliquer les recettes de la méca Q non relativiste : si on interprète très bien les solutions de l'équation de Schrödinger comme des amplitudes de probabilité de présence pour une particule, on ne peut pas vraiment faire la même chose avec les équations de Dirac ou de Klein-Gordon car les grandes vitesses / énergies en relativité (mv² n'est plus négligeable devant mc²) impliquent la possibilité de créer ou de détruire des particules : les solutions obtenues ne peuvent donc pas s'interpréter comme des fonctions d'ondes. On fait donc un détour par la théorie des champs, puis on quantifie ces champs et on écrit dessus les équations sus-citées. Mais ceci est une autre histore
Et sinon, pour préciser un peu ce qu'on entend par "incertitude" sur la position, l'impulsion, etc : il s'agit d'une incertitude statistique au sens vraiment mathématique du terme : x, p sont des "variables aléatoires", avec une certaine moyenne et un certain écart-type. Lorsqu'on fait une expérience qui mesure la position, mathématiquement on obtient une réalisation de la variable aléatoire x. En réalisant un grand nombre de fois la même expérience, les mesures donneront des résultats différents, et ce quelle que soit la précision avec laquelle l'expérience est effectuée : si j'ai un million de copies identiques de ma particule, dont l'état quantique est stricto censu le même, je n'obtiendrai quand même pas les mêmes mesures de position, elles seront distribuées autour d'une certaine valeur moyenne avec un certain écart-type. C'est ça qui nous fait dire qu'il y a une "incertitude" sur la position de la particule. Attention aux raccourcis du types "rien n'est déterminé en mécanique quantique" et autres : j'ai malgré tout écrit que l'état quantique des particules était exactement le même, ça veut donc dire qu'il y a certaines variables, autres que la position ou l'impulsion (si chères à la mécanique classique) qui déterminent parfaitement l'état de ma particule. Pour les atomes par exemple, ces variables sont l'énergie et les moments cinétiques orbitaux et intrinsèques (spins) des électrons.
Bonjour à tous
L’inégalité de Heisenberg n’a rien en elle-même de typiquement quantique. Elle ne fait que exprimer une propriété générale de la transformée de fourrier (comme l’a dit cousin).
Ce qui est quantique c’est d’associer une onde à une particule matérielle et imposer à la longueur d’onde et a l’impulsion de satisfaire la relation de L. De Broglie.
Les relations de Heisenberg sont effectivement reliées à la fois à la transformation de Fourier et à l'inégalité de Cauchy-Schwartz. C'est notamment cette dernière qui permet de montrer que si, alors
Avec
Quant à la transformation de Fourier, elle intervient aussi puisque c'est elle qui relient les représentations coordonnée et impulsion.
