Un problème d'états liés (Méca Q)

[Venus_fermion]

Bonjour,

Je travaille sur un livre disponible sur googlebooks : lien . Je rencontre une difficulté sur une illustration d'un problème d'états liés à la page 38/39/40/41. La page 38 est absente sur google books donc je vous la rajoute :

b) illustration n°1 : Un problème d'états liés

Nous considérons le potentiel resprésenté sur la figure 2.1 : V(x) = -V_0 pour -a < x < 0 et V(x) = 0 pour x>a.

La suite est sur le lien indiqué à partir de la page 39.

Mon problème se situe au niveau de la figure 2.1. Je ne comprends pas le graphe de droite. Vers la fin de la page 40, il est dit que ça représente un cas ou l'equation de quantification admet deux solutions ... mais j'ai du mal à voir ce que représente les deux courbes noires et la courbe en pointillée. Dans ce paragraphe il est aussi dit que lorsque k_o < pi/2 , l'equation n'admet pas de solution .

Si quelqu' un a compris ça serait cool de m'aider

A+
Vénus_fermion
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[Venus_fermion]

J'ai une petite idée quant au graphe : je crois qu'on a représenté f(K) = K cotg (Ka) (courbe noire) et g(K)=-sqrt[(k_o)²-K²] (en pointillée) , non ?

[Pixelvore]

Oui c'est ça. Contrairement au puits de profondeur infinie résolvable exactement, pour un puits de profondeur finie les valeurs de k possibles sont solution de l'équation transcendante donnée dans votre texte (c'est pas si long que ça de trouver cette équation sans leur "astuce" de la continuité de ln(phi)' d'ailleurs), dont on peut représenter les solutions graphiquement avec l'intersection d'un cercle et des morceaux de courbe en tangente / cotangente espacées de pi/a. Quand la profondeur du puits -> oo le rayon du cercle -> oo et "à cette hauteur" les branches en tangente / cotangente sont verticales et on retrouve bien n.pi/a pour les valeurs de k permises.

[Venus_fermion]

Ok merci pour ta réponse
Mais j'ai pas compris la démarche pour écrire \phi (x) = K sin K(x+a) à la page 40) . Apparement c'est pour annuler la fonction d'onde en a. Je suis d'accord mais je vois pas d'où il sorte cette expression de \phi

[A voir en vidéo sur Futura]

[vaincent]

Bonsoir,

Mais j'ai pas compris la démarche pour écrire \phi (x) = K sin K(x+a) à la page 40) . Apparement c'est pour annuler la fonction d'onde en a. Je suis d'accord mais je vois pas d'où il sorte cette expression de \phi

Tu peux aller voir un peu plus haut à la page 37. Il est expliqué que, pour des solutions indépendantes du temps, l'équation de Schrödinger stationnaire() se résume à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. On applique alors la méthode de résolution habituelle de ce type d'équa. diff.(équation caractéristique, etc...) dans chaque intervalle du potentiel. Dans l'intervalle -a < x <0, la solution est donc de type sinusoïdale pour qu'elle puisse s'annuler en -a (imposé par la continuité de la fonction d'onde, cela ne pouvait donc être un cosinus). Pour x>0, c'est une solution de type exponentielle réelle, toujours selon la méthode de résolution habituelle.

[Venus_fermion]

A la page 39, il est écrit que sur [-a;0]. Après on peut l'écrire sous forme de "cos + i sin" . Mais pourquoi c'est x+a dans la parenthèse ?

[Pixelvore]

C'est pour pouvoir écrire plus simplement les conditions aux limites : pour une équadiff du type d²f/dx² + k².f = 0, l'ensemble des solutions est généré par les fonctions de la forme A.exp(ikx) + B.exp(-ikx) ou, de manière équivalente, C.cos(kx) + D.sin(kx) ou encore E.cos(kx + phi), F.sin(kx + chi), etc. Et vous savez bien qu'en physique on choisit la forme qui nous arrange pour faciliter l'écriture des conditions aux limites : si la fonction d'onde doit s'annuler en 0 on prendra directement la 2è forme en ne gardant que le sinus ; si la fonction d'onde doit s'annuler en -a on prendra la 4è forme avec chi = k.a, comme dans votre cas.
Bref ne pas se laisser piéger par de simples translations des équations ; par exemple si vous connaissez par coeur la résolution d'un puits infini entre 0 et a (solutions fn(x) ), vous conviendrez qu'il serait bête pour un puits entre -a/2 et a/2 de tout recommencer en écrivant la forme générale des solutions en Acos + Bsin. Mieux vaut se poser une seconde et écrire directement que les solutions sont les fonctions fn(x+a/2) ... C'est d'ailleurs la forme la plus compacte de les écrire. Si on développe on trouve des fonctions tantôt paires tantôt impaires suivant n, du coup pour la moitié c'est du cos, pour l'autre moitié c'est du sin... Par très commode.

[Venus_fermion]

D'accord.
Encore une dernière chose, que vient faire le Ka/pi en bas du graphe de droite (fig 2.1) ?

[Pixelvore]

Je cerne pas trop la question. Ka/pi c'est juste la graduation de l'axe ^^ Après ben les courbes c'est ce que vous avez dit dès votre 2è message, juste qu'au lieu de représenter K on le représente en "valeurs réduites".

[Venus_fermion]

K.a/pi ça représente la graduation de l'axe ? C'est bizarre car K n'est pas une constante. A la limite k_o.a/pi ça irait car k_0 est constant mais utiliser K je trouve ça bizarre.

En tout cas merci pour l'aide

[Pixelvore]

Ben oui, K n'est pas plus constant que le x qu'on marque sur l'axe des abscisses d'une représentation graphique d'une fonction f(x). Et si une telle fonction f prend des valeurs intéressantes en n.x0, parfois on préfère tracer f(x/x0) qui prend des valeurs intéressantes en n.

Ouais ou pas ouais ?

[Venus_fermion]

Donc les courbes sont fonction de Ka/pi ?

[Pixelvore]

Si vous voulez, mais physiquement mieux vaut se dire que c'est des fonctions de K qui ont un sens, mais qu'on a représentées en fonction de la variable réduite pour ne pas surcharger l'axe des abscisses : graduer en a/pi, 2a/pi, 3api l'axe des K est plus lourd que de graduer en 1, 2, 3, l'axe des Ka/pi.

[Venus_fermion]

D'acc d'acc ^^
Merci A+