pendule avec ressort avec formalisme de Lagrange

[invitee75a2d43]

Bonjour, nouveau en physique, je me casse la tête sur un probleme de physique, il faut dire que je suis tout neuf en physique analytique (Lagrange, Hamilton).
Le premier problème, que j´avais fait sans mal était le suivant:

Un pendule est accroché au plafond et peut bouger dans toutes les directions, son fil est inextensible. Quel est le nombre de degrés de liberté, et exprimer les équations différentielles des coordonnées sphériques.

Il est évident que le système a 2 degrés de liberté, et je n´ai eu aucun mal à trouver les équa-diff: Il s´agit de trouver les équadiff des deux angles vu que sur (), étant l´angle entre l´axe des abscisses et la projection de M sur xOy, variant entre 0 et et étant l´angle entre l´axe des z et M, variant entre et , est toujours égal à la longueur l du fil.

Et puis le problème a été étendu:
On prend le même système, sauf que le fil est accroché, non pas directement au plafond, mais à oscillateur qui fait varier le point d´attache avec . Dans la suite, pour alléger les notations, j´écris , tout en gardant à l´esprit que c´est une valeur variant avec le temps t.
Comme n´est plus fixe, j´en déduit que j´ai trois degrés de liberté: la masse peut se bouger en trois dimensions.
De plus, avec le théorème du cosinus, j´ai .
Est-ce qu´à cause de cette relation, je n´ai que deux degrés de liberté?
Ensuite j´ai calculé très classiquement la fonction de Lagrange en fonction des trois coordonnées sphériques, mais je n´arrive pas un résultat homogène: j´ai par exemple pour und équation différentielle qui dépend des autres coordonnées, ce qui est, je pense, impossible.

Bref, à partir de là, je bloque complètement.

Si quelqu´un a une idée...

Merci d´avance et bon Noel.

Christophe
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Je n'ai pas compris comment le point d'attache bouge.

Autrement, si vous connaissez la loi de son mouvement, il n'y a encore que deux degrés de liberté nécessaires pour décrire le mouvement du pendule (par rapport au point d'attache, et tant que le fil reste tendu).

@+

[invitee75a2d43]

Bonjour albanxiii,

le point d´attache bouge sur l´axe des z, donc verticalement à raison de .

Donc il n´y a que deux degrés de liberté? Mais alors dans mon Lagrangien, il ne devrait y avoir que deux variables non? Par exemple les deux angles et leurs dérivées. Mais comment éliminer ?

Christophe

[invitea3eb043e]

Il y a 2 degrés de liberté, tes 2 angles latitude-longitude. Pour calculer le lagrangien, d'abord l'énergie potentielle mgz qui résulte directement du calcul de z qui contient les 2 inconnues et une dépendance explicite du temps.. Pour l'énergie cinétique, le plus évident est d'écrire cela 1/2 m v² où la vitesse v s'exprime en fonction des 2 angles, avec une dépendance explicite du temps qui ne gêne pas.
Tu peux alors écrire les 2 équations de Lagrange. Les résoudre, c'est autre chose.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re-bonjour,

le point d´attache bouge sur l´axe des z, donc verticalement à raison de .

Merci.

Bon, j'arrive trop tard....

Ce qu'il est important de comprendre c'est que vous pouvez décrire votre pendule en prenant comme référentiel le référentiel non inertiel dont l'origine est le point d'attache. Il faut bien sur tenir compte des forces d'inertie dans ce cas là, mais avec le formalisme lagrangien les choses sont plus simples puiqu'on n'a besoin que des énergies cinétique et potentielle.

@+

[invitee75a2d43]

Bonjour et merci albanxiii et Jean-Paul,

Donc si je comprend bien, le temps - contenu dans ne joue aucun rôle, ou du moins il n´est pas considéré comme un degré de liberté supplémentaire.

Donc je calcule mon Lagrangien, ce qui me donne une relation entre mes trois coordonnées sphériques plus , puis j´élimine grâce à la relation et je calcule les dérivées.

Bon, je vais essayer dès que le père Noel sera passé, merci bien.

Christophe

[invitea3eb043e]

En fait, j'éviterais d'introduire rho et je passerais directement à x,y,z en fonction de théta et phi, c'est très simple.