accroître la vitesse d'un satellite

[invited7e4cd6b]

Bonsoir F.S.,

J'aimerai savoir comment mettre fin a ce résultat sur l'accroissement.

En fait, on considère un satellite de masse m initialement en orbite circulaire de periode et on accroit sa vitesse de // et de même sens.

On souhaite calculer: en fonction de et ou est la nouvelle période.

On fait l’hypothèse que le satellite reste en orbite elliptique et on calcule la nouvelle énergie cinétique(en négligeant un terme en ...Mauvaise nouvelle pour les matheux):


Sachant que l’énergie mécanique initiale est: , avec M la masse de la terre.
J’écris donc que l’énergie mécanique varie de: .

Cependant, comme la trajectoire est toujours une ellipse on peut écrire: avec a' le grand axe de cette ellipse.

D'ou par analogie on peut écrire que: .

En supposant: et en faisant un developpement limite au premier ordre en on trouve:
.

On applique la troisième loi de Kepler: on a: donc
Qui se simplifie en:

A ce stade tout va bien, mais je ne vois pas comment continuer les calculs(qui deviennent colossales).
Peut être est-ce la fatigue ou autre.

Merci d'avance et bonne soirée.
-----

[calculair]

bonjour,

Inialement l'orbite est circulaire

Es tu sur que tu veuilles une orbite elliptique ? et alors avec quelles caracteristiques ?

[Etrange]

Salut,

Pourquoi ne pas utiliser la constance de la vitesse aréolaire ? Tu peux la calculer facilement pour la trajectoire circulaire uniforme initiale. Tu peux aussi calculer l'aire délimitée par la trajectoire elliptique du satellite après l'accélération. Tu peux donc déduire le temps nécessaire pour réaliser une révolution.

[Etrange]

Re.

Je me corrige car ce n'est pas correct. Tu peux calculer la vitesse aréolaire juste après l'accélération car tu connais la vitesse et la distance à la Terre. Le reste est bon. Cette vitesse est constante pour un satellite soumis à une force centrale mais varie s'il est accéléré tangentiellement par ses propulseurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Quel est le but du calcul ?

Si c'est les paramètres de la nouvelle trajectoire, c'est juste trouver l'orbite correspondant à l'état initial "satellite à distance a du centre, et de vitesse v' orthogonale à la droite joignant au centre" (1). Question classique. Le plus simple est d'en prendre la solution et d'en faire la variation ensuite !

(La solution passe par l'énergie spécifique E, ici E = v'²/2 - a/MG, et la constante des aires K, ici K=av'. D'où on tire tous les paramètres de l'orbite. Cf. par exemple http://astronomie.coursgratuits.net/...pleriennes.php)


(1) J'ai compris le //0 comme indiquant que la direction de la vitesse est inchangée, donc v' orthogonale au rayon.

[nicus]

Bonjour,

Pour da/a = 2 dV/V : C'est bon.

Après pour calculer dT/T en fonction de da/a, le plus simple est de différencier directement la 3eme loi de Képler.:
En 2 lignes, c'est plié !

Nicus

[invited7e4cd6b]

Bonjour Calculair,

C'est une hypothèse pour avoir une trajectoire fermée.

[invited7e4cd6b]

Bonjour,

Mais dans ce cas on n’étudie pas la phase d’accélération, mais juste le fait savoir une vitesse plus grande.

[invited7e4cd6b]

Bonjour,

Si on considère la trajectoire elliptique (par forcement circulaire) cela veut dire que la vitesse n'est pas toujours orthoradiale. Je pense que l'ajout du delta Vo se fait a un instant t précis et qu'on laisse faire la nature.
Je me trompe peut être?

[invited7e4cd6b]

Bonjour Nicus,

Essayons avec ta méthode.
La loi de Kepler: qui devient . Comment faire alors pour différencier? J'ai toujours eu du mal a comprendre cette technique.

[calculair]

Bonjour

Tout va dependre de la direction de l'acceleration appliquée. Elle va determiner la nouvelle trajectoire.

[invited7e4cd6b]

Je vous remercie tous pour vos réponses riches en informations.

[invite6dffde4c]

...
La loi de Kepler: ....

Bonjour.
On vous a menti.
La loi de Kepler est
Ce n'est pas Kepler qui a établi la loi d'attraction universelle. Il fut attendre Newton pour cela. Et grâce à Newton on peut calculer la valeur de la constante.
Au revoir.

[invited7e4cd6b]

Bonjour LPFR,

Merci pour cet éclaircissement, c'est que par abus de Langage on la dit: 3eme loi de Kepler.

[Amanuensis]

Mais dans ce cas on n’étudie pas la phase d’accélération, mais juste le fait savoir une vitesse plus grande.

Si la phase d'accélération est prise dans sa durée, c'est plus compliqué ! La question apparaît porter sur le cas simplifié d'une "accélération instantanée", ce qui amène effectivement à seulement étudier le cas d'une vitesse de module plus grand.

[invited7e4cd6b]

Tout a fait, Amanuensis. C’est ce que je voulais dire.
Mais sinon sauriez-vous différentier la loi de Kepler?

[Amanuensis]

Mais sinon sauriez-vous différentier la loi de Kepler?

C'est niveau lycée.

[Amanuensis]

Merci pour cet éclaircissement, c'est que par abus de Langage on la dit: 3eme loi de Kepler.

Le terme correct, si on exprime la constante en fonction de la masse centrale, est "Troisième loi généralisée" ; du moins si on accepte "Astronomie & astrophysique", de Séguin & Villeneuve, par exemple.

[invited7e4cd6b]

C'est niveau lycée.

Dois je comprendre que je devrais refaire mes années de lycée? Ou que ma question est tellement stupide que personne ne devrait répondre?

[calculair]

Bonjour,

Si on admet que la trajectoire reste circulaire, la solution me parait relativement simple.

Si la trajectoire devient une ellipse, la Pb est plus compliqué, il faut sans doute ajouter des contraintes car il y a a priori beaucoup de solutions

[Amanuensis]

Si la trajectoire devient une ellipse, la Pb est plus compliqué, il faut sans doute ajouter des contraintes car il y a a priori beaucoup de solutions

Elle devient une ellipse, et il n'y a qu'une solution. Dans le problème à deux corps, les positions et vitesses à un instant donné déterminent la trajectoire relative.

[Amanuensis]

Dois je comprendre que je devrais refaire mes années de lycée? Ou que ma question est tellement stupide que personne ne devrait répondre?

Jugez par vous-même, sans oublier la question initiale que vous avez posée. Si a^3 = k T^2, alors 3 a^2 da = 2k T dT.

[calculair]

Bonjour,

Pour une trajectoire circulaire et qui rezte circulaire

m w² R = M m G/ R²

W² R^3 = G M

R^3 = G M /W² => V² R = G M

donc si V augmente de dV , le rayon diminue de

2 VdV + dR = 0

de dR = - 2VdV

[invited7e4cd6b]

Il faudrait sans doute refaire mes années de lycée... Merci de me l'avoir dit.

Ton indication m'a permis de résoudre mon problème. Merci...

Je me dirige maintenant au ministère de l’éducation pour entamer les procédures de transfert scolaire. De toute façon, j'ai bien aimé mon année de tronc commun, autant la refaire.

Désolé pour avoir gaspiller votre temps précieux avec une question aussi stupide, mais qui m'a ouvert les yeux sur ma triste réalité.

[invited7e4cd6b]

Calculair merci pour votre réponse.

En fait, ce que tu as écrit est juste dans le sens ou le rayon diminue quand la composante tangentielle de la vitesse augmente. On aurait pu faire l’hypothèse que la trajectoire reste circulaire, mais on a voulu être moins approximatif par rapport au problème.

Bonne journée.

[calculair]

Bonjour

Il faudrait pêut être reprendre l'equation de Binet, pour une resolution plus generale.

La direction de l'impulsion supplémentaire va determiner l'exentricité de la nouvelle trajectoire.

Je n'ai pas fait le calcul.

[invite6dffde4c]

Bonjour;
À partir des lois de Newton on peut exprimer la troisième loi de Kepler avec la valeur de la constante (et ce n'est plus Kepler):



où 'a' est le demi-axe majeur de l'ellipse (que l'on ne connait pas pour le moment). Car quand on accélère le satellite, sa hauteur reste la même (et la position va devenir le périgée), le demi-axe majeur augmente et le centre le l'ellipse s'éloigne de la terre.
Mais on peut déterminer 'a' à partie de l'énergie du satellite. On peut démontrer que:


(à noter que 'm', la masse du satellite, se simplifie)

Comme on connaît la (nouvelle) vitesse V_o et 'r_o', on peut déterminer 'a', ce qui permet de déterminer la nouvelle période.
Au revoir.