Equations de Navier-Stokes et effet papillon (mais surtout des math)

[invite8c935645]

Bonsoir,

N'ayant pas encore eu de cours sur les systèmes chaotiques, j'ai quelques difficultés à comprendre une "introduction" à un système chaotique (il s'agit surtout de math en fait), je me demandais si des membres de ce forum pourraient m'expliquer et m'expliciter le développement suivant car malheureusement, assez rapidement, je ne vois plus comment passer d'une ligne à l'autre ... Or, ayant un travail en rapport avec la météorologie à faire, cela me serait vraiment très utile et intéressant de comprendre ce qu'il y a ci-dessous. C'est quand on introduit une fonction pour exprimer la température d'une autre façon que je suis perdue (cf. la phrase en bleu plus bas).

Merci d'avance pour toute aide apportée.

On part de l'éq. de continuité et des éq. de Navier-Stokes :

Avec les conditions aux limites :


Où :
représente la masse volumique du fluide ;
: la viscosité du fluide ;
: la force de gravitation ;
: la pression ;
: la conductivité thermique.

On peut opérer à des simplifications moyennant les hypothèses (en bonne approximation) selon lesquelles il y a invariance par translation suivant y et que les coefficients ci-dessus ne dépendent pas de (sauf dans le cas où l'approximation de Boussinesq peut s'appliquer).

L'équation de continuité se ramène alors à :



On définit la fonction de courant telle que :



L'équation de continuité est bien vérifiée.

Maintenant, on peut définir une fonction de sorte à pouvoir exprimer la température de la façon suivante (et c'est déjà à partir de cette fonction que je ne comprends plus Pourquoi fait-on ça ? Et comment ? Ce sont ces même questions qui me viennent pour toutes les autres équations ci-dessous ...):


Les deux autres équations de Navier-Stokes deviennent alors :



Avec comme conditions aux limites libres choisies :



En ne considérant que les termes du plus petit ordre de $\theta $ et $\psi $ dans le développement de Fourier, on obtient :



Où est le nombre de Rayleigh ; a est le quotient d'aspect et où .

En dérivant les deux équations ainsi trouvées et en les substituant dans les équations (*) et (**) et en négligeant les harmoniques, on arrive alors au système de Lorenz :



Où est le nombre de Prandlt Pr et r est le rapport entre le nombre de Rayleigh sur un Rayleigh critique.
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[invite8c935645]

J'ai peut-être trouvé une alternative à la démonstration du message précédent et qui serait plus simple et compréhensible.
Malgré tout, j'ai besoin d'aide pour la comprendre. Je ne vois pas comment à partir des éq. (1), (2) et (3) passer au système juste après
Quelqu'un pourrait-il s'y frotter et m'aider, s'il vous plaît ? Merci d'avance.

On part des éq. de Navier-Stokes sous la forme suivante :

(1)

(où est le nb de Prandlt, la viscosité cinématique et la diffusivité).

Le fluide est considéré incompressible, donc : (2)

L'éq. de la chaleur :

(3)


T : température rapportée à celle du fluide sans la convection.

Ra = nb de Rayleigh (qui dépend de : propriétés du fluide, la distance entre les plaques et de la différence de température entre les plaques).

Les équations (1), (2) et (3) peuvent être réduites et se présentent alors sous la forme du système de Lorenz :

[invite8c935645]

Bonsoir,

Personne ne peut donc m'aider même avec la 2e version de la démonstration (celle de mon message juste ci-dessus) ? J'ai fait de très longues recherches sur le net pour comprendre comment arriver au système de Lorenz et celle de mon message précédent était la seule qui me semblait plus "simple", peut-être plus compréhensible, mais finalement, en cherchant encore et encore, je ne vois toujours pas

Même dimensionnellement parlant, j'ai du mal à me dire que la dernière équation est tout simplement correcte Quelqu'un pourrait-il m'éclairer, s'il vous plaît ?

[invite8c935645]

Votre remarque, c'est également ce que je me posais comme question ...

En tout cas, merci de vous intéresser à mon problème.

Je voudrais vraiment comprendre comment on arrive au système de Lorenz.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9d78a37]

bonjour

bon vu que les équations sont déjà adimensionnées, il est impossible de parler d’homogénéité pour les équations finales.

sinon le but de ce modèle est de réduire un problème de mécanique des fluides avec un nombre de degrés de liberté potentiellement infini à un système avec peu de variables (on parle de système de basse dimension).
Pourquoi le nombre de degrés de liberté est initialement infini? Car en théorie, il faudrait connaitre la vitesse et la température en chaque point pour définir complètement l'état du système, d'où le nombre infini de variables. C'est la caractéristique des milieux continus.
Or il est toujours possible de passer de l'espace réel, déterminé par les coordonnées (x,y,z), à un autre espace, comme celui de Fourier décrit aussi par un nombre infini de points dans l'espace de Fourier de coordonnées (kx,ky,kz).
Cependant dans ce nouvel espace, on peut isoler des points dans l'espace de Fourier, qu'on nomme modes de Fourier, qui déterminent la dynamique du système total. C'est à dire qu'il existe souvent dans les systèmes chaotiques (mais pas trop), un nombre fini de modes qui sont importants dans la dynamique car ils sont instables ou proches d'être instables. Lorsqu'un mode est instable, cela correspond à la situation où toutes perturbations de ce mode, le fait aller vers un autre état, alors que les modes stables reviennent toujours à l'état d'origine.

Ces modes instables sont dis des modes maîtres et les autres esclaves. Les premiers changent l'état du système total, les autres suivent.

Dans cette réduction du modèle Lorentz, on cherche à déterminer la dynamique non-linéaire des modes de fourier sin(x)sin(y) aux grandes échelles, car ceux sont eux les modes instables du systèmes qui sont les plus importants. Les autres modes peuvent changer mais leur dynamique finale n'est dictée que par l'évolution des modes maitres.

C'est le principe du théorème de la variété centrale. Ici, c'est un peu plus barbare car la réduction est forcée en tronquant le système juste à ces modes alors que la réduction à la variété centrale est un peu plus technique que ça (des changements de variables bien costaud par exemple).

[obi76]

Re,

je t'attendais, merci

[invited9d78a37]

re

je m'excuse pour les erreurs de Français, j'étais un peu fatigué.

[invite8c935645]

Merci pour votre réponse.

Ca n'a pas l'air évident mais je peux comprendre certaines choses ("plus en français qu'en version math" pour cette démonstration ...).
Peut-être ne connais-je pas suffisamment de math, pour l'instant, en rapport avec cette démonstration pour mieux comprendre.

Mais merci quand même.