peut-on démontrer rot(grad f)=0

[invite6310c29a]

peut-on démontrer rot(grad f)=0 , div (grad f) = 0 ,
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[coussin]

Le div de grad n'est pas zero, c'est le Laplacien.
Le rot de grad est zéro car fait intervenir des differences genre d_x(d_y f)-d_y(d_x f)

[stefjm]

peut-on démontrer rot(grad f)=0

Oui, en faisant le calcul des coordonnées par exemple.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_vectorielle

div (grad f) = 0 ,

Non car c'est faux. Un laplacien n'est pas toujours nul.

mais div(rot f)=0

[albanxiii]

Bonjour,

Merci de bien vouloir respecter la charte du forum, en particulier le point 2.

Pour la modération.

Pour la question, la façon la plus rapide que je connaisse consiste à écrire que

où est le tenseur complètement antisymétrique et où on utilise la convention de sommation d'Einstein (on somme sur tous les indices répétés deux fois).



Puis on compose les deux :

, puis on utilise les propriétés de et le théorème de Schwarz sur les fonctions deux fois continuement dérivables. Et c'est évident du coup ! (quand on a un peu l'habitude de manipuler la convention d'Einstein).

Pour certaines formules (pas ici, mais pour le rotationnel d'un rotationnel par exemple), la formule (de mémoire, mais elle n'est pas difficile à retenir, ni à redémontrer) est utile.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno]

, puis on utilise les propriétés de et le théorème de Schwarz sur les fonctions deux fois continuement dérivables. Et c'est évident du coup ! (quand on a un peu l'habitude de manipuler la convention d'Einstein).

Quelle manière pédante de parler d'une propriété des fonctions de classe C² Comme l'a dit coussin, il suffit de remarquer que si ...

Quant aux notations indicielles, c'est franchement pas mieux, un calcul de déterminant 3x3 aurait suffit.

[albanxiii]

Bonjour, (n'oubliez pas de dire bonjour, c'est toujours apprécié, même si c'est pour dézinguer un pauvre gars qui essaye juste d'aider ensuite....)

Certains théorème ont un nom, ne ne vois pas en quoi il est pédant de l'utiliser ("mais si, tu sais, le théorème qui dit que le truc se bidulise quand on lui machine le smurf..."). D'autant plus que la base de la communication entre scientifiques est le partage d'un vocabulaire commun.

Les notations indicielles permettent de démontrer très facilement des formules d'analyse vectorielle ou autres bien plus méchantes que rot(grad)=0 ! Et pas sur que les déterminants soient plus simples, si on veut en faire plus qu'une recette de cuisine.

Et à vrai dire, je ne pense pas que soc1 bénéficie pleinement de cette méthode, c'est surtout pour les autres lecteurs que j'ai l'ai mentionnée (puisque la réponse avait déjà été donnée).

@+

[Amanuensis]

HS (ou plutôt "au-delà du sujet") :

Pour encore plus pédant (et encore plus rapide), et qui n'intéressent que d'autres lecteurs encore, ceux qui veulent aller plus loin que la manipulation de composantes en dimension 3 (et comprendre ce qui se cache derrière ces manipulations), voir la géométrie différentielle extérieure (http://en.wikipedia.org/wiki/Exterio..._and_Laplacian) qui permet "d'oublier" les composantes et ramène tout à un seul opérateur différentiel :

rot = #*db
grad = #d
div = *d*b

(où le b représente l'opérateur bémol, * l'opérateur dual de Hodge et d la dérivée extérieure)

Démo :

rot grad = #*db #d = #*d² = 0, puisque la dérivée extérieure est nilpotente.

[albanxiii]

Re,

... voir la géométrie différentielle extérieure...

Ne maîtrisant pas assez le sujet, je n'y avait pas pensé. Merci en tout cas.

On dirait bien que plus c'est pédant, plus c'est rapide

@+

[invite76543456789]

Bonjour,

On dirait bien que plus c'est pédant, plus c'est rapide

Pas vraiment en fait, parce qu'il faut bien montrer à un moment donné que la differentielle est de carré nul, et ca c'est exactement le meme calcul que pour montrer que le rotationnel d'un gradient s'annule (c'est a dire essentiellement le lemme de Schwarz), en fait ca n'en est qu'une simple reformulation. Il y a un calcul à faire à un moment dont on ne peut s'affranchir.

[Amanuensis]

C'est vrai de toutes les maths. Difficile de demander de repartir des axiomes à chaque fois, non ?

Les mathématiciens sont là pour créer des boîtes à outil. La différence entre les trois approches présentées crescendo, c'est juste la boîte à outil qu'on choisit d'utiliser, et quand on choisit de l'utiliser ce n'est pas pour la reconstruire à partir d'outils plus basiques, qu'on devrait alors logiquement reconstruire à partir d'outils encore plus basiques, etc.

[Part ailleurs, en géo extérieure, d²=0 se dérive des postulats tels que donnés là http://en.wikipedia.org/wiki/Exterio...or_derivative], il me semble ; sans coordonnées, donc.]

[Amanuensis]

Et au passage, c'est théorème de Schwarz (comme indiqué correctement par Albanxiii) et non lemme de Schwarz ; au moins dans la terminologie francophone...

[invite76543456789]

OUi, bien sur c'est vrai de toutes les maths, mais ce que je dis c'est que la démonstration de rot(grad)=0, est implicite quand on utilise d²=0, donc pas vraiment plus rapide.

Dans les postulats que vous donnez effectivement on impose que d²=0, mais il faut bien montrer à un moment l'existence de la differentielle, et pour ce faire, vous devez effectuer le meme calcul (il faut bien dire ce que c'est à un moment la differentielle pour prouver son existence).

[Amanuensis]

OUi, bien sur c'est vrai de toutes les maths, mais ce que je dis c'est que la démonstration de rot(grad)=0, est implicite quand on utilise d²=0, donc pas vraiment plus rapide.

Fallait effectivement juste une ligne, celle que j'ai indiquée.

Dans les postulats que vous donnez effectivement on impose que d²=0, mais il faut bien montrer à un moment l'existence de la differentielle, et pour ce faire, vous devez effectuer le meme calcul (il faut bien dire ce que c'est à un moment la differentielle pour prouver son existence).

Possible. Ce n'est pas comme cela que je lis ce qui est écrit dans la page Wiki citée (ainsi qu'ailleurs). Pas vraiment unique dans les maths qu'une existence soit postulée axiomatiquement avant que soit montré qu'une construction explicite répond aux axiomes. (Et y'a même des fois où une telle construction n'est jamais exhibée )

Mais, bon, une fois de plus, je ne comprends pas l'intérêt de la polémique que vous lancez là, en marge du sujet...

[invite76543456789]

Fallait effectivement juste une ligne, celle que j'ai indiquée.

Oui, mais une ligne qui suppose d'avoir des outils dont la construction necessite d'avoir deja prouvé le resultat que l'on veut prouver. C'est pour ca que je dis que ca n'est pas "vraiment" plus rapide.

Possible. Ce n'est pas comme cela que je lis ce qui est écrit dans la page Wiki citée (ainsi qu'ailleurs). Pas vraiment unique dans les maths qu'une existence soit postulée axiomatiquement avant que soit montré qu'une construction explicite répond aux axiomes. (Et y'a même des fois où une telle construction n'est jamais exhibée )

Mais, bon, une fois de plus, je ne comprends pas l'intérêt de la polémique que vous lancez là, en marge du sujet...

Ben pour construire la differentielle on fait toujours pareil, on dit qu'on cherche à construire un operateur verifiant ceci, ceci et cela. Puis ensuite on prouve qu'un tel opérateur existe et est unique (je ne vous apprend rien). Et dans cette démonstration il y a à un moment le calcul correspondant à d²=0, qui est le lemme de Schwraz (ou le théorème si vous voulez).

Il n'y a pas "polémique", il y a juste une remarque dont l'interet est de noter que votre démonstration utilise implicitement ce que vous voulez prouver. SI vous preferez, le coeur de la preuve c'est d²=0, et c'est precisément ce qui n'apparait pas dans votre preuve.

Bref.

[Amanuensis]

Je suis assez bête, je le reconnais : quand j'ai appris rot et grad, je n'ai pas perçu immédiatement que c'était, à peine déguisé avec un machin évident appelé "dual de Hodge", deux fois le même opérateur, et donc que rot grad = 0 n'était que l'affirmation que cet opérateur était nilpotent.

Quand j'ai découvert cela, bien plus tard, j'ai eu l'impression d'avoir compris quelque chose. Et, naïf que je suis, j'avais pensé utile de partager cela par une intervention dans ce fil, inconscient que j'étais de la bêtise dont je faisais preuve, et dont vous m'avez fait l'honneur d'expliquer.

[invite76543456789]

Bon laissez tomber. Vous persister à prendre ceci pour une attaque personnelle, alors que ma remarque se bornait à remarquer que pour démontrer une proposition A, admettre une proposition B, plus compliquée (enfin pas plus compliquée à prouver, mais plus sophistiquée dans son enoncé) dont la preuve contient la preuve de la proposition A n'est pas vraiment l'idéal.

En maths, on appelle ca utiliser un marteau pillon pour ecraser une mouche.

Je vous laisse vous amuser entre vous.

[coussin]

Ah dis donc, y a de sacrés egos et des caractères de cochons sur ce forum... C'est usant...

[stefjm]

Ah dis donc, y a de sacrés egos et des caractères de cochons sur ce forum... C'est usant...

Bah, les deux interventions me donnent deux points de vu complémentaires.

Je suis assez bête, je le reconnais : quand j'ai appris rot et grad, je n'ai pas perçu immédiatement que c'était, à peine déguisé avec un machin évident appelé "dual de Hodge", deux fois le même opérateur, et donc que rot grad = 0 n'était que l'affirmation que cet opérateur était nilpotent.

Quand j'ai découvert cela, bien plus tard, j'ai eu l'impression d'avoir compris quelque chose. Et, naïf que je suis, j'avais pensé utile de partager cela par une intervention dans ce fil, inconscient que j'étais de la bêtise dont je faisais preuve, et dont vous m'avez fait l'honneur d'expliquer.

Tous les fils où les coordonnées disparaissent me rappelle les réponses évasives de mes enseignants de petite école quand je demandais les définitions sans les coordonnées.
En tout cas, merci pour l'éclairage.

[Amanuensis]

Une petite explication de texte sur le "débat", que la réaction de stefjm m'encourage à publier.

MissPacMan a raison en disant que l'évocation de d²=0 dans le cas rot grad est tautologique, et même plus que ce qu'elle a indiqué, puisque cela correspond à un axiome dans l'approche de la géo diff extérieure, l'axiome 1 dans l'article Wiki cité. Mais c'est une vision étroite, car ce n'est qu'une partie de la "démo" mode géo diff. L'autre partie est, pour moi, la plus intéressante, et c'est l'identification de rot et grad à la différentielle extérieure.

Le côté étroit est lié à la question qui s'est limitée à rot grad. L'inclusion de l'autre nullité, div rot, aurait mieux mis en évidence l'élargissement de point de vue que permet la géo diff. (Et je me demande d'ailleurs si la seconde partie, évacuée peut-être trop rapidement, de la question initiale ne concernait pas div rot...)

La géo diff parle de géométrie, et la dérivée extérieure peut se "mentaliser" comme passant d'une dimension à la suivante ; soit quelque chose comme

points -d-> lignes -d-> surfaces -d-> volumes

ou, pour réduire,

0 -d-> 1 -d-> 2 -d-> 3

L'autre partie de la "démo" est essentiellement l'identification des grad, rot et div avec ces applications de d en 3D, suivant

0 -grad-> 1 -rot-> 2 -div-> 3

(Schéma qui est, je maintiens, difficilement visible à partir des définitions en composantes, faute d'une introduction à la dualité de Hodge. En tous cas, je ne l'ai pas perçue jeune étudiant mis la première fois en face de ces notions.)

De cette identification, et de d²=0, tombent "naturellement" rot grad = 0, et div rot = 0, et ce sans faire deux développements calculatoires en composantes indépendants, un pour chaque cas.

La vision "géo diff" a d'autres intérêts, moins anecdotiques, moins marteau pour écraser les mouches ; l'un pour la physique est le passage à la 4D, qui peut être anticipé sans calcul en composantes comme amenant un schéma

0 -grad-> 1 -a-> 2 -b-> 3 div-> 4

avec a et b des noms pris au hasard par moi, ne connaissant pas de conventions générales. Les propriétés a grad = 0, b a = 0, div a = 0 tombent alors toutes seules, sans calcul. (Les opérateurs mal nommés interviennent directement dans l'électromagnétisme par exemple.)

Enfin, un dernier point. La propriété d²=0 peut se présenter comme venant du théorème de Schwarz avec une vision en composantes. Mais la différentielle extérieure se définit sans composante, et une de ses propriétés géométriques est le théorème de Stokes.

Je "conceptualise" le théorème de Stokes comme disant "le bilan des variations internes de quelque chose à l'intérieur d'un domaine de dimension n, moins le bilan des entrées-sorties à travers la frontière du domaine (qui est de dimension n-1), donne la création/destruction du quelque chose à l'intérieur du domaine", ce qui constitue une sorte d'évidence comptable. La notion différentielle "qui va bien", utilisée dans le théorème de Stokes, est la différentielle extérieure. Et je raccroche, peut-être à tort, d²=0 à la propriété géométrique qui dit que la frontière de la frontière est vide pour les domaines auxquels on applique Stokes. Ce qui est une vue "géométrique" de la propriété, à mettre à côté de la vue par l'analyse que constitue le théorème de Schwarz et les composantes.

---

Bref, mon intervention amenant dans le fil la géo diff avait pour but de mettre la démo dans un cadre plus large. D'accord cela pouvait être vu comme inutile le sujet se limitant à rot grad=0. L'utilité que j'y voyais est cet élargissement conceptuel en alternative à une vision strictement calculatoire sur des composantes (dont le choix est arbitraire) qui cache complètement les intuitions géométriques, indépendantes de composantes, que concrétise la géo diff (l'ordre grad, rot, div ; la relation étroite avec Stokes ; la vision intuitive de Stokes ; ...) avec ses avantages tant par les images qu'elle permet que par la simplification qu'elle permet pour passer en 4D.

[albanxiii]

Bonjour,

ma remarque se bornait à remarquer que pour démontrer une proposition A, admettre une proposition B, plus compliquée (enfin pas plus compliquée à prouver, mais plus sophistiquée dans son enoncé) dont la preuve contient la preuve de la proposition A n'est pas vraiment l'idéal.

Bonjour à tous les trois....
Cela dépend de ce que l'on suppose connu au préalable, je ne pense pas que quiconque ait dit autre chose.
On a le droit de se placer à différents niveaux de connaissances et d'indiquer les outils les plus simples à chaque fois.
Le but du forum est de partager. De plus, un forum a un avantage sur un interlocuteur : si cela vous indispose, vous n'êtes pas obligé de lire.

@+

[invite76543456789]

Je précise avant toute chose, que mon commentaire se veut simplement une comparaison de point de vue.

Une petite explication de texte sur le "débat", que la réaction de stefjm m'encourage à publier.

MissPacMan a raison en disant que l'évocation de d²=0 dans le cas rot grad est tautologique, et même plus que ce qu'elle a indiqué, puisque cela correspond à un axiome dans l'approche de la géo diff extérieure, l'axiome 1 dans l'article Wiki cité. Mais c'est une vision étroite, car ce n'est qu'une partie de la "démo" mode géo diff. L'autre partie est, pour moi, la plus intéressante, et c'est l'identification de rot et grad à la différentielle extérieure.

En fait le probleme de votre axiome, c'est comme je l'ai dit, qu'à un moment donné il faut bien prouver que la differentielle existe et est bien définie, et ça vous n'avez pas le choix, il faut necessairement passer par regarder ce qu'il se passe sur un modèle local de la géométrie i.e sur R^n dans le cas qui nous interesse. Je ne sais pas si c'est ce que vous appelez travailler en composante.
En fait en géométrie (differentielle algébrique analytique) il y a deux types de resultats des resultats qui se ramènent au cas local, et il faut alors prouver qqch pour le modèle local de la géométrie (c'est le cas de la formule de Stokes, du lemme de Poincaré par exemple...) et les autres (par exemple des theoremes de type classes carracteristiques). Et ils ne se melangent pas.

Pour le reste, je pense que l'identification du rotationnel avec la differentielle est pas vraiment qqch de profond, le resultat non trivial qu'il y a dans tout ca, c'est le fait que d²=0, ou encore que la differentielle est bien définie ou encore que les dérivées partielles commutent, ce qui est plusieurs manières differentes (et là, oui y a qqch à démontrer)de dire la meme chose, et pour prouver ça, y a pas vraiment le choix il faut se placer dans R^n. Ce qui ne veut pas necessairement dire se placer en composante, on peut algébriser la situation et definir les n-formes comme l'agèbre exterieure sur le faisceau des 1-formes, qui representent le foncteur des dérivations du faisceau structural, mais alors, il y a un truc a prouver (ca n'est plus que d²=0, ca c'est automatique) c'est que la differentielle ainsi définie etend bien la differenciation des fonctions, et ca c'est essentiellement la formule de Taylor. Dans tous les cas, il y aura forcement qqch à démontrer à un moment ou a un autre, qui prenne en compte le fait que l'on est sur R^n, localement.

Enfin, un dernier point. La propriété d²=0 peut se présenter comme venant du théorème de Schwarz avec une vision en composantes. Mais la différentielle extérieure se définit sans composante, et une de ses propriétés géométriques est le théorème de Stokes.

C'est bien le probleme en fait, vous ne pouvez pas définir la differentielle sans jamais faire reference à R^n (enfin si en toute rigueur on peut, c'est ce que j'ai dit plus haut, mais il faut alors prouver que la differentielle définit etend bien la differentielle usuelle et la faut obligatoirement se placer sur R^n, à vous lire on a l'impression que le fait que les variétés soient localement euclidiennes est anecdotique, or c'est absolument crucial pour faire marcher la machine, il faut bien que ca intervienne à un moment).
Pour la formule de Stokes, là aussi vu la définition meme de l'intégrale, vous aurez du mal à la démontrer sans faire reference aux modèles locaux et sans utiliser le résultat pour les modèles locaux de la géométrie (c'est typiquement le resultat où on se ramène au cas local par excellence, et c'est alors une bete intégration par parties).
Si vous avez une démonstration n'utilisant pas cela, elle m'interesse tres sincèrement.
De meme si vous avez une définition de la differentielle, n'utilisant pas le fait que localement les variétés sont isomorphes à R^n, cela m'interesse aussi.

Et je raccroche, peut-être à tort, d²=0 à la propriété géométrique qui dit que la frontière de la frontière est vide pour les domaines auxquels on applique Stokes. Ce qui est une vue "géométrique" de la propriété, à mettre à côté de la vue par l'analyse que constitue le théorème de Schwarz et les composantes.

Vous avez tout à fait le droit d voir la chose comme ça, je ne dis pas que la vision géométrique n'est pas bonne (d'ailleurs je ne pense pas que j'ai la meme notion de ce qu'on appelle vision géométrique que vous, mais cela n'a guere d'importance, c'est une appreciation personnelle), je dis que l'on peut construire des objets qui s'interpretent certes en termes géométrique, mais qu'à un moment donné, il faut pour prouver l'existence de ces objets (ou leur propriétés) mettre les mains dans le camboui, et "prouver qqch", une fois que ceci est fait on peut apres s'en passer et raisonner de manière géométrique.

L'utilité que j'y voyais est cet élargissement conceptuel en alternative à une vision strictement calculatoire sur des composantes (dont le choix est arbitraire) qui cache complètement les intuitions géométriques, indépendantes de composantes, que concrétise la géo diff (l'ordre grad, rot, div ; la relation étroite avec Stokes ; la vision intuitive de Stokes ; ...) avec ses avantages tant par les images qu'elle permet que par la simplification qu'elle permet pour passer en 4D.

Je ne peux qu'abonder dans votre sens sur ce point là, la vision géométrique permet de "sentir" les choses, mais il n'en reste pas moins que pour démontrer certaines choses (pas toutes certes), on ne peut pas toujours raisonner comme cela. Par exemple (pour donner un exemple different) pour prouver que la dimension en un point d'une variété ne dépend pas de la carte choisie pour la lire (autrement dit pour prouver que la dimension est bien définie), je ne vois vraiment aucun autre moyen que de faire un peu de calcul differentiel (pas bien mechant certes).

Je repète qu'il n'y a pas d'intention polémique derrière mon intervention (qui n'est pas motivée par mon carractère de cochon ), mais bien l'idée de dire que derrière toutes les jolies constructions géométriques, y a des resultats de calcul diff, dont on ne peut s'affranchir (lemme d'Urysohn, lemme de Schwarz, inversion locale), et qui si l'on en reste à la théorie basique des variétés differentielles, sont les clés techniques qui font marcher la machine.

[invite76543456789]

Apres, (et je pense qu'Amanuensis me rejoindra sur ce point là), je suis tout à fait d'accord pour dire que dans l'optique de sa généralisation (qui est la bonne façon de voir les choses, hein, je ne dis pas l'inverse), la formule rot(grad)=0 apparait comme une cas tres particulier de la formule d²=0, et que cela eclaire ces notions un peu absurdes de rotationnel, de divergence, et tutti quanti. Je n'ai jamais conteste cela.

@alabanxiii: je vous ai deja dit qu'il n y'avait plus qu'une seule personne derrière ce compte, maintenant, si cela vous amuse.

[Amanuensis]

En fait le probleme de votre axiome

Pas le mien. La source que j'utilise est indiquée.

Ce n'est pas avec ce genre de petits sous-entendus que je puis être enclin à lire sereinement le reste.

Et le reste de toutes manières ne m'apprend rien, et argumente à 90° avec ce que j'expliquais. C'est complémentaire, ce sont des points que je n'ai nul part opposés.

[invite76543456789]

Y a rien de sous entendu, remplacez par "l'axiome que vous avez donné dans le lien" si cela vous sied davantage. Je ne conteste pas la validité de ce truc là.
En fait j'ai l'impression (peut etre fausse) que vous pensez que quand on donne une définition axiomatique de la differentielle, cela permet de s'affranchir de prouver qu'un tel objet existe, or ca n'est pas le cas (meme si la preuve de l'existence n'a pas d'interet "en soi"), c'est un peu la meme situation que pour la connexion de Levi-Civita par exemple (ou de tout un tas d'autre chose, mais c'est le premier exemple qui me passe par la tete), en donner une définition axiomatique ne permet pas de s'affranchir d'en donner une expression pour prouver qu'elle existe (meme si je suis d'accord que l'expression obtenue n'a pas un grand interet, et que ca n'est pas ça dont on se sert ensuite).
Bref j'ai deja beaucoup parlé, je vais arreter de polluer ce fil.