Déterminer angle maxi avant basculement

[invite8c1f8faf]

Bonjour tout le monde,

Je souhaiterais définir l'angle maxi (que l'on appellera a) que ma grue peut accepter avant qu'il y ait basculement.
Je vous joins un croquis pour mieux comprendre le sujet. Veuillez m'excuser, ce croquis est très simplifié.

P : Poids de la grue
xG; yG : position du CdG de la grue par rapport à l'axe principal de la grue.

F : Poids de la charge en bout de grue
xP; yP : position du CdG de la charge par rapport à l'axe principal de la grue.

Pcp : Poids du contre-poids
xcp; ycp : position du CdG du contre-poids par rapport à l'axe principal de la grue.

Basculement devrait être autour du point A. Soit xA : distance du point A à l'origine de la grue.
J'écris les moments au point A :
Couple renversement : [F*(xP-xA) + P*(xG-xA)]*cos(a) + [F*yP + P*yG]*sin(a)
Couple résistant : [Pcp*(xcp+xA)]*cos(a) + [Pcp*ycp]*sin(a)

Condition d'équilibre : Crenv/A + Crésis/A = 0
[F*(xP-xA) + P*(xG-xA)]*cos(a) + [Pcp*(xcp+xA)]*cos(a) = - [F*yP + P*yG]*sin(a) - [Pcp*ycp]*sin(a)

En simplifiant on arrive à :
tang(a) = - ( [F*(xP-xA) + P*(xG-xA)] + [Pcp*(xcp+xA)] ) / ( [F*yP + P*yG] + [Pcp*ycp] )

Le raisonnement vous paraît-il correct?

Merci d'avance.
-----

[invite8c1f8faf]

Quelqu'un ?
Cdlt

[LPFR]

Bonjour.
Le raisonnement est correct.
Je n'ai pas réécrit les équations, mais en "échantillonnant" quelques termes je n'ai pas trouvé d'erreur.
Au revoir.

[invite8c1f8faf]

Merci bien.

Il me semble que j'ai fait une petite erreur de signe dans l'expression du couple de renversement
Couple renversement : - [F*(xP-xA) + P*(xG-xA)]*cos(a) - [F*yP + P*yG]*sin(a)

Ce qui paraît plus logique lorsque l'on calcule la valeur numérique de l'angle maxi a...

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

... + [F*yP + P*yG]*sin(a)
...

Re.
Non. Les composantes perpendiculaires à 'y' de ces deux forces tendent aussi à renverser. Donc, le signe est bien '+'.
A+

[invite8c1f8faf]

Euh je suis un peu perdu.
Pour moi, les efforts de renversement à droite du point A ont une rotation horaire vers A donc les composantes x et y ont un signe "-".
Je me trompe peut-être, j'ai toujours eu des difficultés à m'y retrouver avec ces signes en problèmes de statique.
D'ailleurs si quelqu'un a un bon moyen mémo-technique je suis preneur!

[LPFR]

Re.
La façon "correcte" est de donner un signe négatif pour les couples horaires et positif pour les couples antihoraires.

La façon mathématique est de calculer le produit vectoriel du vecteur qui va de l'axe de rotation au point d'application de la force, par la force elle même (comme vecteur). Mais ce n'est pas évident que la méthode soit plus résistante aux erreurs de signe.

Imaginez que vous avez une tige qui va du point de rotation au point d'application de la force F. En utilisant les coordonnées "inclinées" x et y de votre dessin, cette force a une composante F.cos(a) dirigée vers le bas (le y négatifs) et une composante F.son(a) dirigée vers les x positifs ces deux composantes font tourner la tige vers la droite.
Par contre, pour le contrepoids, la composante en 'y' redresse la grue et la composante en 'x' la renverse.
Dessinez les composantes et vous le "verrez". C'est même une bonne méthode pour diminuer les erreurs de signe.
A+

[invite8c1f8faf]

Merci pour cette explication

Cela nous donne donc :
Mt F /A : F.cos(a).xP - F.sin(a).yP
Mt P /A : P.cos(a).xG - P.sin(a).yG
Mt Fcp /A : - Fcp.cos(a).xcp + Fcp.sin(a).ycp

( F.xP + P.xG - Fcp.xcp )*cos(a) = (-Fcp*ycp + F.yP + P.yG)*sin(a)

tan(a) = ( F.xP + P.xG - Fcp.xcp ) / (-Fcp*ycp + F.yP + P.yG)

?

Merci

[LPFR]

Re.

...
Mt F /A : F.cos(a).xP - F.sin(a).yP
Mt P /A : P.cos(a).xG - P.sin(a).yG
Mt Fcp /A : - Fcp.cos(a).xcp + Fcp.sin(a).ycp
...

Toujours pas.
Faites le dessin que je vous ai dit avec les composantes en x et en y pour chaque force.
Prenant votre notation de couple positif vers la droite:
Mt F /A : F.cos(a).xP + F.sin(a).yP
Mt P /A : P.cos(a).xG + P.sin(a).yG
Pour cela aussi vous prenez le couple positif vers la droite:
Mt Fcp /A : - Fcp.cos(a).xcp + Fcp.sin(a).ycp

Il faut que la somme de tous ces couples soit zéro.
A+

[invite8c1f8faf]

Pour les moments de renversements (F et P), mes points d'application de force sont à droite du point A.
Je dessine les composantes Fx;Fy et Px;Py, pour ces 4 composantes je tourne bien vers le point A dans le sens horaire?
Pourquoi je n'ai pas des expressions avec un "-" ?

[LPFR]

Re.

Je dessine les composantes Fx;Fy et Px;Py, pour ces 4 composantes je tourne bien vers le point A dans le sens horaire?

Oui.

Pourquoi je n'ai pas des expressions avec un "-" ?

Fcp.cos(a).xcp fait tourner vers la gauche (antihoraire) et
Fcp.sin(a).ycp fait tourner vers la droite (sens horaire).
A+

[invite8c1f8faf]

Fcp.cos(a).xcp fait tourner vers la gauche (antihoraire)
Cette expression doit donc avoir un "+"
Fcp.sin(a).ycp fait tourner vers la droite (sens horaire).
Cette expression doit donc avoir un "-"

Pourquoi trouvez-vous dans ce cas ? :
Mt Fcp /A : - Fcp.cos(a).xcp + Fcp.sin(a).ycp

[LPFR]

Re.
C'est vous qui aviez choisi ces signes.

...
Mt Fcp /A : - Fcp.cos(a).xcp + Fcp.sin(a).ycp
...

C'est pour cela que je vous ai écrit:

...
Pour cela aussi vous prenez le couple positif vers la droite:
Mt Fcp /A : - Fcp.cos(a).xcp + Fcp.sin(a).ycp
Il faut que la somme de tous ces couples soit zéro.

A+

[invite8c1f8faf]

aaaah! je comprends beaucoup mieux maintenant. Autant pour moi.
Ca m'a permis de me faire un rappel en tout cas.
Merci et à bientôt
RDZ08