Question sur la metrique en relativite.

[Oss118]

Bonjour,
J'avais cru bien comprendre les concepts de la relativite generale, mais j'ai appris en lisant mon cours de maths l'existence de bebetes qui m'ont fait me poser une question. Je sais pas si j'aurais su poster en maths ou en physique. Un modo peut deplacer le sujet au besoin.
En effet, dans mon cours de topologie generale mon prof mentionne l'existence d'espaces non metrisables, et il ajoute que meme des espaces "gentils", comme localement euclidien et separes peuvent etre non metrisables. Il ajoute un peu mysterieusement que ce sont des espaces en quelques sortes trop gros!
Bon et je me suis demande si l'espace temps pouvait etre un de ces "gros" espaces, or en physique on parle toujours de metrique sur l'espace temps, ce qui le contraint a etre petit, un comble!!
Du coup je me demandaiq si ce genre de gros espace, bien que gentil, sont exclus d'emblee d'etre candidats a jouer le role d'espace temps, et si oui est ce que ca exclu beaucoup d'espaces? Avez vous des exemples?
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[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenu sur le forum,

Bon et je me suis demande si l'espace temps pouvait etre un de ces "gros" espaces

Les modèles courants de l'espace-temps sont des variétés de dimension 4, soit localement homéomorphe à R^4. Pas du tout un de ces "gros espaces" !

, or en physique on parle toujours de metrique sur l'espace temps, ce qui le contraint a etre petit, un comble!!
Du coup je me demandaiq si ce genre de gros espace, bien que gentil, sont exclus d'emblee d'etre candidats a jouer le role d'espace temps, et si oui est ce que ca exclu beaucoup d'espaces? Avez vous des exemples?

La question n'est pas claire. La notion d'espace-temps vient d'abord des observations, des expériences physiques. On cherche un modèle qui rende compte de ce qu'on observe. Rien n'est exclu comme modèle, mais il n'y a pas de raison de choisir un modèle compliqué si un modèle simple rend compte de ce dont on cherche à rendre compte !

[Deedee81]

Bonjour,

Avez vous des exemples?

Un exemple, l'espace utilisé par Cartan pour géométriser la gravité newtonienne. Bien que je ne qualifierais pas ça de "gros espaces".

Je crois aussi que certains théoriciens spéculent sur des espaces ayant une structure fractale. Mais ça reste de la spéculation. En gravité quantique à boucles, par exemple, on trouve des espaces de distribution semi-ordonnés, une horreur (enfin, je trouve ).

Mais en physique même relativement "exotique" on n'a que des espaces gentils (la RG comme le cas cité par Amanuensis, les espaces de Hilbert de la mécanique quantique).

Note qu'on n'exclut pas d'emblée des espaces tordus, comme le dit Amanuensis on prend juste le plus adapté à la physique, sans plus. On se sert, comme dans un magasin, et si sur les rayons on a un espace gentil qui convient, ma foi, pourquoi s'en priver ?

Après tout, on trouve parfois de drôle de trucs comme l'apparition surprenante du groupe "Monstre" en théorie des cordes (oui, bon, d'accord, là aussi c'est de la spéculation théorique).

[Oss118]

Ma question etait sans doute mal formulee. Je m'explique.
En relativite, l'objet central est la metrique, et on travaille sur des espaces localement euclidiens, or apparement meme sur ces espaces la, il peut arriver qu'on ne puisse pas mettre de metrique, j'en deduis qu'il existe des espaces localement euclidiens qui ne peuvent pas jouer le role d'espace temps. Est ce que ce phenomene est pris en compte dans la theorie? Parce que je trouverais interessant de savoir que des espaces communs ne peuvent etre un bon modele de l'espace temps. Par exemple si la reunion de 3 sphere n'etait pas metrisable-je saisque ca n'est pas le cas mais je ne connais pas d'exemple- on saurait que l'espace temps ne pourrait pas etre la reunion de 3 spheres! Je trouve ca fou!
Comprenez vous mieux ce que je veux dire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Je crois que c'est justement le cas de l'espace de Cartan (je ne sais plus si on l'appelle Einstein-Cartan ou Newton-Cartan), à vérifier.

on saurait que l'espace temps ne pourrait pas etre la reunion de 3 spheres! Je trouve ca fou!
Comprenez vous mieux ce que je veux dire.

Oui, mais tu prends le problème à l'envers.

Il se fait que pour modéliser les phénomènes physiques des espaces localement euclidien et métrisables conviennent. Et tant mieux (c'est plus facile).

S'il s'avère pour avancer dans la théorie (pour tenir compte de nouveaux phénomènes) qu'il faut utiliser un espace localement euclidien mais non métrisable, et bien, ainsi soit-il (mais il faudra faire le lien avec les anciennes formulations, après tout, des mesures de distance et de temps, on sait le faire ).

Donc, on pourrait tomber sur une "réunion de 3 sphères" (marrant comme exemple). Ce n'est pas exclu. C'est l'expérience qui nous guidera

[Amanuensis]

L'espace de Newton-Cartan est métrisable (il est homéomorphe à R^4 !). Simplement il n'y a pas de métrique ayant un sens physique, et donc on "l'utilise" sans métrique dans son application à l'espace-temps.

[Oss118]

D'accord. Reste donc a trouver ces espaces qui sont exclus. Y en a t il beaucoup?
Je ne sais pas ce qu'est l'espace de Cartan, par contre.

[Oss118]

J'aimerai bien pour ma curiosite personelle voir un de ces espaces localement euclidien- c'est bien la meme cjose que localement homeomorphe a Rn?- qui ne soit pas metrisable. Histoire de me dire l'espace temps ca peut pas etre un de ces machin, je trouve ca vraiment fou en fait. Vous avez ca en stock? L'espace de Cartan par ex?

[Amanuensis]

un espace localement euclidien mais non métrisable

Les variétés de dimension finie non métrisables que je connais sont non métrisables parce que trop "étendues". Elles sont basées sur la "longue ligne" (1).

Sauf erreur, si une variété de dimension finie est sigma-compacte, c'est à dire peut être recouverte par un ensemble dénombrable de compacts, elle est métrisable. C'est assez difficile d'imaginer l'espace-temps observable, vu comme ensemble d'événements avec une topologie séparée, qui ne soit pas sigma-compact. Il y aurait un infini non dénombrable difficile à concilier avec la notion d'observation.

Si on comparait par exemple comme modèle classique LLxR^3, avec LL la longue ligne pour la dimension temporelle, et le RxR^3 usuel, je n'ai pas la moindre idée à quoi pourrait ressembler une observation distinguant les deux cas !

(1) http://fr.wikipedia.org/wiki/Longue_droite (j'ai écrit longue ligne par traduction directe de l'anglais long line ; et c'est mieux que "droite", àmha)

Edit : Cela répond au passage au message de 11h36, que je n'avais pas lu...

[Amanuensis]

J'aimerai bien pour ma curiosite personelle voir un de ces espaces localement euclidien- c'est bien la meme cjose que localement homeomorphe a Rn?

Pas exactement. "Localement euclidien" n'est pas très utilisé et est plutôt discutable comme concept.

Localement homéomorphe à R^n <=> variété de dimension n

De cet homéomorphisme découle qu'on peut toujours structurer avec une métrique locale euclidienne (suffit de récupérer celle de R^n !).

Mais si on parle d'un espace muni d'une métrique ou d'une pseudo-métrique, "localement euclidien" voudrait dire que localement la métrique coïncide avec une métrique euclidienne. Or pour l'espace-temps, il n'y a aucun cas où on modélise avec une métrique qu'on pourrait faire coïncider avec la métrique euclidienne de R^4 (en classique il n'y a pas de métrique ou de pseudo-métrique, et en RR ou RG, c'est une pseudo-métrique).

[Oss118]

Ah! Merci! L'exemple est moins frappant que je pensais, mais j'aurais du m'attendre à ce qe ca n'allait pas etre une sphere ou un truc symathique.
Alors j'ai quand meme des questions parce que je suis pas sur de tout comprendre.
Deja je comprends pas pourquoi elle est pas métrisable cette longue droite?
Ensuite, apparement dans le lien que vous donnez ils disent qu'elle est "séquentiellement compacte", or vous dite que si elle était réunion dénombrable de compacts -sigma-compacte- elle serait métrisable, j'imagine que la difference réside dans le mot séquentiellement.

Concernant les definitions, les definitions que j'ai- et qu'il y a sur le se wiki anglais- disent que localement euclidien est synonyme de localement homeomorphe à Rn. Je crois d'apres mes cours que ca ne suffit pas pour définir une variété, il faut en plus que l'espace soit séparé, en plus d'etre localement euclidien.Si on est pas séparé de toute façon on peut pas etre métrisable, ca j'en suis sur.

Ca fait beaucoup de notions, peut etre faudrait il continuer en maths^^.

[Amanuensis]

Deja je comprends pas pourquoi elle est pas métrisable cette longue droite?

Parce qu'elle n'est pas recouvrable par un nombre dénombrable de compacts, par exemple. N'est pas à base dénombrable. Etc.

Elle est composée d'un nombre non dénombrable de [0, infini[ mis bout à bout, on peut mettre une métrique sur une série dénombrable de tels intervalles, mais on ne peut "aller plus loin".

Ensuite, apparement dans le lien que vous donnez ils disent qu'elle est "séquentiellement compacte", or vous dite que si elle était réunion dénombrable de compacts -sigma-compacte- elle serait métrisable, j'imagine que la difference réside dans le mot séquentiellement.

Je n'en sais rien. Je ne comprends pas pourquoi il est écrit que la longue ligne est séquentiellement compacte, alors que par ailleurs R ne l'est pas ("The space of all real numbers with the standard topology is not sequentially compact", dans http://en.wikipedia.org/wiki/Sequentially_compact_space)

Concernant les definitions, les definitions que j'ai- et qu'il y a sur le se wiki anglais- disent que localement euclidien est synonyme de localement homeomorphe à Rn.

Oui, c'est une pratique courante. (J'avais tort en écrivant "n'est pas très utilisé").

Perso je trouve la confusion entre R^n et "R^n muni d'une métrique euclidienne" de mauvais goût. Quand on parle d'homéomorphisme on doit se contenter de la structure d'espace topologique, sans rajouter une structure supplémentaire. Le risque de confusion entre "homéomorphe à R^n" et "isomorphe à R^n muni de la métrique euclidienne" est trop grand.

Je crois d'apres mes cours que ca ne suffit pas pour définir une variété, il faut en plus que l'espace soit séparé

Cela dépend des auteurs. Certains acceptent la longue ligne comme une variété (et donc ne prennent pas la conditions "à base dénombrable" (1) en compte), d'autres non.

(1) plutôt que "séparé", il me semble.

Si on accepte que l'espace-temps doive être modélisé comme localement homéomorphe à R^4, la discussion modèle métrisable vs. modèle métrisable revient à discuter la condition "être séparé", non ?

[Amanuensis]

Je crois d'apres mes cours que ca ne suffit pas pour définir une variété, il faut en plus que l'espace soit séparé

Je pense que vous confondez avec séparable. Séparé et séparable sont deux notions n'ayant pas grand chose à voir, malgré la proximité des termes.

En anglais c'est "Hausdorff" (pour séparé), et separable (pour séparable ).

Modéliser l'espace-temps avec une topologie non Hausdorff serait une entreprise peut-être intéressante...

[Amanuensis]

Si on accepte que l'espace-temps doive être modélisé comme localement homéomorphe à R^4, la discussion modèle métrisable vs. modèle métrisable revient à discuter la condition "être séparé", non ?

Grr... Correction : Je me suis laissé entraîné par la confusion de vocabulaire : lire "être séparable"

[Oss118]

En fait ce que je comprends pas c'est si elle est séquentiellement compacte, alors elle est réunion dénombrable de compacts, elle meme, à moins qu'il y ait une subtilité sur séquentiellement compact qui n'est pas pareil que compact, je ne vois que ca.

Ca me parait bizarre aussi que la longue ligne soit séquentiellement compacte vu que R ne l'est pas.

Je ne comprend pas trop votre dernière remarque, si l'espace temps est modélisé par qqch localement homéomorphe à R4, il y a à la fois la séparabilité et la non sigma-compacité qui peut s'opposer au fait que cette chose soit métrisable si j'ai bien compris.

[Oss118]

Separe, separable, on dirait un sketch de Devos. Je vais relire mon cours et voir ce qu'il en est.
J'ai ouvert un fil en maths pour continuer a discuter topologie, on peut reserver celui la aux questions plus physiques.

[Amanuensis]

Pour séquentiellement compact, je pense que c'est lié à cela :

Every increasing sequence in L converges to a limit in L; this is a consequence of the facts that (1) the elements of ω1 are the countable ordinals, (2) the supremum of every countable family of countable ordinals is a countable ordinal, and (3) every increasing and bounded sequence of real numbers converges

Et cela ne marche pas pour R...

Pas facile à maîtriser, la longue ligne ! D'où son intérêt.

[Amanuensis]

Je ne comprend pas trop votre dernière remarque, si l'espace temps est modélisé par qqch localement homéomorphe à R4, il y a à la fois la séparabilité et la non sigma-compacité qui peut s'opposer au fait que cette chose soit métrisable si j'ai bien compris.

Modéliser par un espace non séparé (non Haussdorf) serait une autre voie que localement homéomorphe à R^4. Cela revient à considérer la possibilité de deux événements non séparables topologiquement.

[Oss118]

Juste une precision, quand on est localement homoemorphe a Rn, on est Haussdorf ou pas?

[Amanuensis]

Juste une precision, quand on est localement homoemorphe a Rn, on est Haussdorf ou pas?

Oui, parce qu'il est sous-entendu dans "R^n" qu'il s'agit de la topologie du produit, et que la topologie de R est celle de l'ordre. Le résultat est une topologie Hausdorff (et même bien plus : normale Hausdorff-- et peut-être plus)

(Métrisable => normal Hausdorff => Hausdorff)

PS : Au passage, les axiomes de séparation ce n'est pas triste... J'ai simplifié en prenant Hausdorff = séparé, il y a des conditions de séparation plus faibles

[invite76543456789]

Juste une precision, quand on est localement homoemorphe a Rn, on est Haussdorf ou pas?

Non, la droite avec origine doublée est partout localement homéomorphe à R^n, et elle n'est pas Hausdorff.

[Oss118]

Je vais devoir mediter tout ca. Ca va trop vite pour moi ^^

[Oss118]

Ce fil me fait me sentir si bete ^^.
C'est quoi la ligne avec origine doublee?

[invite76543456789]

TU recolles deux droites partout sauf en leur origine.
De façon precise c'est le quotient de la réunion disjointe de R et R, ou tu quotiente par (x,1) = (x,2) pour tout x non nul, tu obtiens une droite, avec deux originies, c'est facile de voir que c'est pas séparé, et c'est tout aussi facile de voir que tout point à un voisinage homéo à R. Bref c'est une saleté.

[Amanuensis]

Non, la droite avec origine doublée est partout localement homéomorphe à R^n, et elle n'est pas Hausdorff.

Je ne comprends pas non plus. Quel est le voisinage ouvert de l'origine qui serait homéomorphe à un ouvert de R ?

(Edit : pas vu le message d'avant)

[invite76543456789]

Il y a deux origines, le premier 0, a un voisinage homéo à R, c'est ]-1,1[ (c'est a dire ]-1,0[u]0,1[ union le premier zero), le second aussi, la meme chose en remplacant premier par second.
Bien sur ces deux voisinage s'intersectent.
On peut avoir un voisinage qui contient le premier zero et pas le second, ou l'inverse, mais pas avoir deux voisinage séparés, c'est T1 (si ma mémoire est bonne), mais pas T2 (hausdorff).

[Amanuensis]

Troublant.

Cela fiche en l'air l'idée naïve qu'une propriété topologique locale (et je pensais toute propriété de séparation comme telle) était respectée par homéomorphisme local.

[invite76543456789]

Oui, le fait d'etre séparé n'est pas une propriété locale. Dans la droite à origine doublée, tout point possède un voisinage séparé, mais l'espace n'est pas séparé.
Mais en general on ne s'interesse pas trop trop à ce genre d'espace, ils ont le mérite d'exister, mais pas beaucoup plus (en fait les espaces non séparés ont d'assez mauvaises propriétés topologiques, et notament cohomologiques, mais discuter de ca nous entrainerait fort loin).

[Deedee81]

L'espace de Newton-Cartan est métrisable (il est homéomorphe à R^4 !). Simplement il n'y a pas de métrique ayant un sens physique, et donc on "l'utilise" sans métrique dans son application à l'espace-temps.

C'est la deuxième fois que je commet cette erreur. BANG (bruit du marteau pour que ça rentre dans ma tête)

[Oss118]

D'accord, merci a vous 3 pour tous ces developpements.
Si je peux abuser encore un tout petit peu. Serait il possible d'avoir une demonstration, sous leq bonnes hypothes, du fait qu'une variete admet toujours une metrique?