Question sur la metrique en relativite.

[Amanuensis]

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C'est le problème que je vois avec "localement euclidien" à la place de "localement homéomorphe à R^n". Quand on parle d'un espace sans choix de métrique (Newton-Cartan, ou les variétés de contact en thermodynamique, etc.), ou d'espaces avec une pseudo-métrique (Minkowski), c'est bien localement homéomorphe à R^n, mais pas vraiment "localement euclidien" au sens où il n'y a pas d'isométrie avec une métrique euclidienne.

Du coup, cela a un sens de penser "non localement euclidien" pour un espace sans métrique qui est néanmoins localement homéomorphe à l'espace topologique R^n.

Cela fait partie des problèmes liés à la polysémie de la notation R et de l'absence de notation pour ne parler que de la ligne topologique sans choix de distance.
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[invite76543456789]

D'accord, merci a vous 3 pour tous ces developpements.
Si je peux abuser encore un tout petit peu. Serait il possible d'avoir une demonstration, sous leq bonnes hypothes, du fait qu'une variete admet toujours une metrique?

Tu devrais essayer de le faire c'est un bon exercice.
Utilise le fait que tu as un recouvrement localement fini, par des ouverts de cartes, prend une partition de l'unité associée à ce recouvrement, construit localement ta métrique et essaie d'en construire une globale en utilisant le fait que l'espace des métriques (locales) est convexe. Y a plus qu'a l'ecrire.

[invite86150b1a]

Bon j'arrive pas a ecrire cette demonstration. Un petit coup de main?

[invite76543456789]

J'ai déjà tout écrit pourtant, si ca ne te parait pas trivial c'est qu'il y a qqch en amont que tu ne comprends pas.
Je t'écris la démo mais je t'encourage a ne pas la lire.
Soit donc Ui un recouvrement localement fini ou les Ui sont des cartes et f_i une partition de l'unite subordonné. Soit w_i une métrique sur Ui, alors regarde la somme des f_i w_i. C'est bien défini, et c'est clairement une métrique (une combinaison convexe de matrices définie positives l'est aussi)