Problème de modélisation

[invitee6ed0e2f]

Bonjour à tous

Dans le cadre d'un projet de recherche de dernière année d'école d'ingénieur en Génie Civil je suis confronté à un problème dont la modélisation physique me pose quelques difficultés.
L'étude en question consiste à déterminer la forme d'un mur (polynomiale, exponentielle, sinusoïdale, etc.) permettant de maximiser le moment d'inertie de ce mur. Les paramètres sont les suivants:
y(0)=0 ( y(x) représentant bien évidement la fibre neutre de ce mur )
y(D)=0
Longueur du mur = L
Épaisseur = t
J'ai essayé de résoudre ce problème en utilisant Euler-Lagrange mais cela m'a menée à une impasse qui ne se semble pas mathématiques mais bien provenir de la modélisation.
L'un d'entre vous aurait-il une idée sur la manière de poser ce problème ?

Merci !

WHHK
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[invite6dffde4c]

Bonjour et bienvenu au forum.
Ce n'est pas ma spécialité.
En attendant la réponse d'un spécialiste (je pense à Jaunin, que je salue), je pense qu'il faudrait aborder le problème comme un problème physique et non des maths.
Quel est le type de résistance que vous voulez maximiser ? Flexion ? Écroulement ?
Il me semble que la donnée fondamentale n'est pas la forme du mur mais la distribution de la matière.
Au revoir.

[Jaunin]

Bonjour, WHHK,
N'étant pas spécialement de la partie, auriez -vous un croquis de la forme de votre mur.
Vous utilisé déjà un logiciel spécial ?
Cordialement.
Jaunin__

http://forums.futura-sciences.com/te...s-jointes.html

[invitee6ed0e2f]

Bonjour LPFR et Jaunin

Nous nous intéressons à toutes les caractéristiques du mur qui ont une influence sur sa stabilité. Le problème que je vous est présenté est quand à lui ciblé sur le moment d'inertie du mur qui est un facteur essentiel de stabilité.

Par ailleurs, depuis mon premier post nous avons fait évoluer le problème. Nous considérerons désormais que le mur n'a pas une épaisseur fixe égale à t, mais que son épaisseur est égale à y(x) (le mur est donc "plein" entre y(x) et x=0). Par exemple si y(x) = sin (x), nous aurions:
Capturer.JPG

Il s'agit donc d'arriver à poser le problème de façon à pouvoir déterminer la forme du mur, c'est à dire l'expression de y(x) (polynomiale, exponentielle, etc.) permettant de maximiser le moment d'inertie du mur, avec les conditions aux limites y(0) = 0 et y(D)=0 ainsi qu'une longueur "externe" égale à L (c'est à dire que la longueur de la courbe y(x) est égale à L).

J'espère avoir été un peu plus clair.

Merci !

WHHK

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je n'ai toujours pas compris votre problème.
Pouvez-vous expliquer le dessin ?
C'est quoi la partie en bleu ?
Est une vue d'en haut ? Sur le côté ?
Correspondance de chaque coordonnée (x, y, z) à la longueur; épaisseur et hauteur ?
Quand on parle de "moment d'inertie" pour la résistance d'un objet, il s'agit du moment "des surfaces" de la coupe. Donc, "moment d'inertie du mur" n'a pas beaucoup de sens.
Au revoir.

[invitee6ed0e2f]

Bonjour

Le dessin représente une vue du haut du mur, symbolisé par la partie bleue.
Le mur est donc inclus entre l'axe des abscisses et la courbe y(x).
La hauteur du mur ne rentre pas en compte dans le problème puisque nous nous intéressons au moment d'inertie dans le plan x,y. Quant à l'épaisseur du mur, elle est donc variable et égale à y(x).

Pour résumer, il s'agit de déterminer l'expression de y(x) permettant de maximiser le moment d'inertie du mur par rapport à l'axe des abscisses, dans le plan x,y, et qui remplisse les conditions aux limites. Le mur est "plein" et compris entre x=0 et y(x).

Merci !

WHHk

[invite93279690]

Salut,

J'ai toujours cru que ce qu'il fallait optimiser pour des problèmes de ce type était le moment quadratique par rapport à un axe donné. C'est pas très différent du moment d'inertie pour une distribution homogène en masse mais quand même.

Utiliser les multiplicateurs de Lagrange pour la contrainte que la longueur totale doit être L me parait en effet indiqué.

[invitee6ed0e2f]

Bonjour Gatsu

En effet, le calcul porte sur la maximisation du moment quadratique et non pas du moment d'inertie. Problème de traduction, j'étudie en Irlande.
La méthode d'Euler-Lagrange avec utilisation d'un multiplicateur de Lagrange pour la longueur semble en effet marché. L'impasse dans laquelle nous nous sommes retrouvés dans ce projet semble plutôt venir d'une mauvaise modélisation. Auriez-vous une idée de comment établir initialement ce problème ?

Merci !

WHHK

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Je n'ai toujours pas compris quel est votre problème ni l'utilité d'une modélisation.
Si vous voulez maximiser le moment quadratique de la partie bleu, il est évident qu'il n'y a pas de maximum. Le moment augmente avec "l'amplitude" de la sinusoïde.
Maintenant vous voulez peut-être maximiser avec une ou des contraintes. Dans ce cas, lesquelles ?
La seule que je vois est le rapport entre la longueur totale du mur et la "longueur d'onde".
Même pour ce calcul, on n'a pas besoin de simulation. On peut le faire analytiquement. Vous pouvez remplacer le mur bleu par une sinusoïde de 2/3 de l'amplitude (c'est la position du "centre d'inertie" d'une tige).
Bref, je ne vois pas ce que les multiplieurs de Lagrange vont multiplier.
Au revoir.

[invitee6ed0e2f]

Bonjour

La sinusoïde n'était qu'un exemple. Le but est de déterminer l'expression de y(x) (polynomiale, exp, sin, etc.) qui permet de maximiser le moment quadratique tout en remplissant les conditions aux limites.
Le multiplicateur de Lagrange permet d'introduire la condition sur la longueur dans la méthode d'Euler-Lagrange.

Merci !

WHHK

[invite6dffde4c]

Bonjour
Et quelles sont les conditions aux limites ?
Et les contraintes ? "Amplitude" ?
Au revoir.

[albanxiii]

Bonjour,

Le multiplicateur de Lagrange permet d'introduire la condition sur la longueur dans la méthode d'Euler-Lagrange.

Quelle est la différence entre votre problème et celui qui consiste à chercher quel est le solide de révolution qui a un volume maximal pour une surface donnée, par exemple ? Vous dites avoir un problème technique, je voudrais voir où il apparaît.

N'hésitez pas à tout écrire, le lagrangien et toute la clique.

@+

[invitee6ed0e2f]

Bonjour albanxiii

Je n'ai pas réussi à trouver de lien menant vers la résolution du problème dont vous parlez (détermination du volume maximal d'un solide de révolution pour une surface donnée) et que je ne connais pas. Auriez vous un lien internet sous la main ou un document à me conseiller ?

En fait le problème technique vient du fait que je n'arrive pas à exprimer de façon viable le moment quadratique I pour pouvoir utiliser Euler-Lagrange efficacement derrière. L'expression que nous avions jusqu'alors choisie posent des hypothèses beaucoup trop fortes et finalement l'équation différentiel obtenue grâce à Euler-Lagrange implique que D=0 (pour rappel D est la valeur limite du domaine de définition de x, avec y(D)=0). Avez-vous une idée sur l'expression à donner à I ?

Merci !

WHHK

[invite664f0cbf]

T'en es ou avec ton problème?
Je suis intéressé parce problème également et j'arrive pas à le modéliser d'un point de vue physique ( qui seras suivie par une modélisation
mathématique bien-entendu)

Merci de votre réponse