Trouver 2 distributions de charges qui donnent le meme champ électrique

[arbolis87]

Bonjour a tous,
On me demande de trouver 2 distributions de charges et (en principe, sans symmétrie, donc je ne peux pas donner l'exemple de la méthode des images) qui produisent le meme champ électrique .
Comme aide on me dit de partir de l'expression du potentiel.

Voici mes pensées: Le potentiel produit par la distribution 1 de charges est et celui de la 2eme distribution de charges, .
Je définis . La condition que rho _1 et rho _2 produisent le meme champ E se traduit par la condition que puisque . Autrement dit, je dois trouver une distribution de charge telle que son potentiel électrique soit constant dans tout l'espace (région ).
Or, j'ai bien beau y penser mais je n'ai absolument aucun exemple en tete d'une distribution de charges non nulle qui produit un potentiel constant dans tout l'espace. Meme une feuille non conductrice infinie avec une densité de charge constante ne produit pas un tel potentiel.
Si vous avez des idées, je suis preneur.
P.S.:J'ai posé la question dans un autre forum aussi, si on me répond la-bas je vous en ferai part, bien sur.
Merci d'avance!
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[arbolis87]

On vient de me répondre. Les nouvelles idées sont de restreindre la région de l'espace (au lieu de , on me conseille une plus petite région), de considérer une densité de courant au lieu de densité de charge, de remplir tout l'espace avec une densité de charge uniforme et de traiter les charges positives et négatives comme étant d'indépendentes densités de charges.
L'idée de considérer un espace plus petit que "R^3" ne me plait pas vraiment. L'idée d'ajouter une densité de charge constante dans tout l'espace non plus (apres tout c'est symmétrique, donc interdit). Je vais continuer de penser.

[gatsu]

salut,

J'aurais pensé qu'il fallait partir de la formule de Green pour faire cela. C'est la formule qui permet de prouver l'unicité du potentiel dans un ouvert soumis à certaines conditions aux bords (de type Drichlet ou Neumann). L'avantage est donc qu'ensuite
l'origine physique des conditions aux bords importe peu. En tout cas il me semble inévitable de se focaliser sur un ouvert de R3 parce que sinon je pense qu'il n'y a pas de solution à ton problème.

[arbolis87]

salut,

J'aurais pensé qu'il fallait partir de la formule de Green pour faire cela. C'est la formule qui permet de prouver l'unicité du potentiel dans un ouvert soumis à certaines conditions aux bords (de type Drichlet ou Neumann). L'avantage est donc qu'ensuite
l'origine physique des conditions aux bords importe peu. En tout cas il me semble inévitable de se focaliser sur un ouvert de R3 parce que sinon je pense qu'il n'y a pas de solution à ton problème.

Merci beaucoup pour ta réponse.
Ok d'accord alors je considere tout R^3 privé de rho(x) si je comprends bien.
J'ai la démonstration de l'unicité du potentiel pour le probleme de Dirichlet en tete. Je la pose ici au cas ou ca me servirait:
Le probleme est .
Je suppose qu'il y a 2 Phi qui satisfont le probleme, je dénote leur différence.
Phi_3 satisfait .
Donc (C'est ca la formule de Green?), ensuite la 1ere intégrale du membre de droite vaut 0 puisque Phi_3 vaut 0 sur le contour d'oméga. Et donc . Donc Phi_1=Phi_2, la solution est unique.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gatsu]

L'identité de Green ressemble à ça effectivement. Si tu l'as à ta disposition, elle se trouve dans le premier ou le deuxième chapitre du Jackson. En unités cgs, elle se lit :



Je pense que la réponse à ta question se trouve dans cette expression.

Par exemple tu peux prendre deux distributions differentes dans et des conditions aux bords differetes dans chacun des cas (par exemple de Dirichlet) telles que le potentiel soit toujous le même dans .

Après je ne sais pas si c'est la réponse attendue mais au moins elle est valable.