Fréquence de collision entre deux objets

[Ecthelion]

Bonjour,

Je suis sur un problème tout bête dont je n'arrive pas à me sortir.

J'ai deux objets o1 et o2 parcourant deux boucles différentes de longueur l1 et l2 à des vitesses différentes v1 et v2. Ces deux boucles se chevauchent en un point. Je cherche donc la fréquence de collision de ces deux objets.

Je commence naturellement par calculer les fréquences de passage au point commun pour les deux objets :

f1=v1/l1 et f2= v2/l2.

Mais une fois là, je bloque. Quelqu'un aurait-il une idée pour arriver à la fréquence de collision?

Merci d'avance.

PS : les collisions n'affectent pas la vitesse des deux objets.
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[Amanuensis]

C'est le ppcm des fréquences, la paire d'entiers n m premiers entre eux tels que nf = mf2.

Soit en pratique l'infini pour des réels "quelconques".

Faut rajouter des conditions, par exemple la taille ses objets, ou la section efficace de la collision...

[Ecthelion]

Admettons alors que les objets sont des traits de longueur x1 et x2 et que les chemmin se croisent avec un angle theta. Il y a collision dès qu'une infime partie des traits se superpose.

[norien]

Bonjour.
Si on suppose les objets ponctuels et si un contact (contact noté 0) a lieu à t = 0, on peut écrire que le contact suivant (contact 1) aura lieu à la date t = ( représentant la période des contacts)


A cet instant l'un des objets aura fait k tours (k entier) de période T₁, alors que l'autre objet en aura effectué (k + 1) de période T₂, si on suppose T₂ < T₁.


A partir de là, on peut écrire les relations liant , T₁ et k d'une part et , T₂ et k d'autre part.


En éliminant k, on obtient en fonction de T₁ et T₂.


Il ne reste plus finalement, qu'à passer aux fréquences.


Au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Il n'y a pas grande chance que ce soit parfaitement périodique!

Doit y avoir moyen de résoudre proprement avec les fractions continues. Étant donné x = f1/f2 irrationnel, il existe une série de pseudo-périodes q1/q2 telles que |q1/q2-x|<1/(sqrt(5)(q2)²). À partir de x1 et x2 on doit pouvoir trouver un écart impliquant une période, à développer. Mais il y aura en général plusieurs collisions dans une telle période, et un nombre variable...

Ce n'est qu'une piste, que je n'ai pas menée au bout.

[Ecthelion]

Bonjour.
Si on suppose les objets ponctuels et si un contact (contact noté 0) a lieu à t = 0, on peut écrire que le contact suivant (contact 1) aura lieu à la date t = ( représentant la période des contacts)


A cet instant l'un des objets aura fait k tours (k entier) de période T₁, alors que l'autre objet en aura effectué (k + 1) de période T₂, si on suppose T₂ < T₁.


A partir de là, on peut écrire les relations liant , T₁ et k d'une part et , T₂ et k d'autre part.


En éliminant k, on obtient en fonction de T₁ et T₂.


Il ne reste plus finalement, qu'à passer aux fréquences.


Au revoir

En effet, partir du fait qu'un contact a lieu à t=0 est une bonne idée. par contre, l'autre objet j'en a pas nécessairement effectué k+1. C'est justement cela le soucis.

[norien]

C'est vrai, il en a peut-être effectué (k + n), avec n entier.
On obtient dan ce cas toute une série de réponses dépendant de la valeur de n.

[Ecthelion]

Enfait, sauf erreur de ma part, la méthode de norien n'a rien donner. Du coup, je pensais qu'il pourrait être intéressant de voir cela comme deux ondes d'amplitude 1 et de période différente et de regarder l'onde résultante. Que pensez-vous de cette méthode?

[norien]

En appliquant la méthode que j'ai développée plus haut, j'obtiens bien un résultat, mais il dépend d'un entier n qu'on ne peut connaitre sans disposer de données numériques.
La méthode que j'avais envisagée est voisine de celle qu'avait proposée Amanuensis (celle du ppcm), mais c'est plutôt une recherche du ppcm des périodes et non des fréquences.


En ce qui concerne une approche par les ondes, je ne vois pas trop où ça pourrait mener et que représente l'onde résultante à laquelle vous faîtes allusion ?

[LPFR]

Bonjour.
Non. Je ne pense pas que passer par des ondes sinusoïdales arrange les choses. Car en additionnant les amplitudes, on perd le "tout ou rien" de la coïncidence dans la zone.
Il faudrait utiliser des signaux en tout ou rien, mais là, je ne sais pas "faire des battements" avec des signaux carrés.
J'ai pensé à une autre image (sans trouver pour autant de solution).
Prenez deux axes, les deux avec le temps. Dessinez des bandes verticales quand le premier mobile est dans la zone, et des bandes horizontales quand le second mobile est dans la zone. Vous vous retrouvez avec un "tissu Vichy" dont les rectangles foncées correspondent aux deux mobiles dans la zone. Mais ils ne se rencontrent que pour la même valeur du temps. Donc, quand la bissectrice à 45° touche des carrés foncés.
Et ça, ...je ne sais pas le calculer.
Au revoir.

[Ecthelion]

En partant de la proposition de norien, je pense être arrivé à quelque chose avec une hypothèse : les vitesses des deux objets sont égales et que la longueur chemin de l'objet 1 est la plus longue, ce qui est le cas dans mon problème.

Pour les deux objets, la distance parcourue entre chaque collision est

On commence par l'objet 1 :

longueur d'un tour : avec la fréquence de passage
nombre de tours :
On a donc nécessairement avec un entier

pour l'objet 2 :

longueur d'un tour : avec la fréquence de passage
nombre de tours :
On a donc nécessairement avec un entier

Il s'agît donc maintenant de trouver les valeurs de communes à et .

Une idée sur la façon de procéder?

[Ecthelion]

Pfff j'ai honte, c'était tout simple :

On fait donc et on met ça dans l'équation précédente.
par contre, au final, je trouve un résultat faux...

[coussin]

Ça se résoud graphiquement...
Tu repères la position de ton premier objet par un réel entre 0 et l1. Sur un graph position vs temps, la position de ton objet est une fonction qui croit linéairement (si la vitesse est constante...) de 0 à l1 en un temps l1/v1, puis se répète periodiquement. Pareil pour ton deuxième objet. Les collisions sont aux points d'intersection des deux courbes.

[coussin]

Les conditions initiales sont évidemment critiques... Par definition, la collision a lieu au point où les boucles se croisent. Faisons de ce point d'intersection l'origine des abscisses curvilignes des deux boucles. Une fois qu'on a réussi à paramétrer les positions par deux fonctions f1 et f2 comme dans message précédent, faut donc résoudre f1=f2=0 pour avoir les collisions.
Je ne pense pas que ce soit analytique mais seulement graphique...

[coussin]

J'ajoute que dans le cas le plus général où les fréquences sont incommensurables, je sais même pas s'il y a des collisions. Ou alors, ce sont des événements rares...

[coussin]

Finalement, tu cherches les points d'intersection entre deux peignes de Dirac, quoi...

[Amanuensis]

C'est ce que je soulignais message #2, d'où l'ajout ensuite des "tailles" x1 et x2. Cf. message #3.

(Dans le cas incommensurable et des "diracs" il y a 0 ou 1 collision, pas plus. S'il y en a 2, on a nT1=mT2...)

[Ecthelion]

Bonsoir,

J'ai eu un peu plus d'informations qui devraient faciliter le problème. L'objet 1 est une gaussienne de sigma et le second a une forme carré de longueur . Ensuite, les chemin se croisent en ligne droite avec un angle . Déjà, cela donne plus de paramètres! On peut toujours admettre que les centres des deux objets sont confondus à t=0.

Désolé si je n'avais pas donné tous les paramètres plus tôt mais je ne les avais pas.

[coussin]

Bah une gaussienne ne tombe jamais exactement à zero... Donc y a des collisions à la fréquence f2
Ça devient beaucoup trop compliqué comme problème (j'aime bien l'angle alpha )

[Amanuensis]

Je maintiens ce que j'ai indiqué à un moment. Si T1/T2 est irrationnel, on se retrouve avec des "pseudo-périodes", dont la série est obtenue par développement en fraction continue.

C'est un problème similaire au calendrier, qu'on peut voir comme les collisions entre les limites de jours et les limites d'années. Les pseudo-périodes se retrouvent (presque) dans le calendrier : 365, 365 1/4 (4 ans ou 1461 jours), 365+1/4-1/100, 365 +1/4 -1/100+1/400. (Bon, les anciens ne connaissaient pas bien le principe, ou ont été attirés par les 0, cela aurait dû être 365, 365 1/4, 365+1/4-1/128..., mais c'est l'idée.)

La première pseudo-période d'intérêt va dépendre de x1 et x2, et il y a des méthodes pour calculer tout ça.

[Ecthelion]

En fait, cela représente des colisions entre un faiseau paser en régime impulsionnel et un paquet d'électrons tournant dans un anneau de stockage. Le paquet l'électron a une forme gaussienne mais est bien entendu pas infini.