Démonstration de la transformation de Lorentz par Einstein

[mizoks]

Bonjour tout le monde

Je suis actuellement en cours de lecture de l’article d’Einstein de 1905 concernant la relativité restreinte. Cet article traduit en français a été proposé par curieuxdenature en réponse à ma dernière question concernant la relativité restreinte. (Merci curieuxdenature)

Dans cet article, Einstein a affirmé lors de sa démonstration de la transformation de Lorentz qu’en s'appuyant sur la propriété d'homogénéité que nous attribuons au temps et à l'espace, les équations de cette transformation doivent être linéaires.

Je n’ai pas compris comment à partir de la propriété d'homogénéité du temps et de l'espace on peut montrer la linéarité de ces équations.

Merci d'avance
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[chaverondier]

Dans l’article d’Einstein de 1905 concernant la relativité restreinte, Einstein a affirmé lors de sa démonstration de la transformation de Lorentz qu’en s'appuyant sur la propriété d'homogénéité que nous attribuons au temps et à l'espace, les équations de cette transformation doivent être linéaires. Je n’ai pas compris comment à partir de la propriété d'homogénéité du temps et de l'espace on peut montrer la linéarité de ces équations.

Je donne juste quelques indications sommaires (sans toute la construction mathématique progressive, inférée des faits d'observation physique, qui serait requise).

L'hypothèse d'invariance "des propriétés" de l'espace-temps par translation spatio-temporelle (propriété mathématique exprimant la conservation de l'énergie et de l'impulsion) se traduit, mathématiquement, par le fait que l'effet d'un boost (un changement de référentiel inertiel) est invariant par translation spatio-temporelle (que je réalise un boost ici et maintenant ou là bas et plus tard, ça donne lieu au même effet). Dit autrement, les boost B commutent avec les translations spatio-temporelles T (évidemment, il faut auparavant définir mathématiquement l'espace-temps dans lequel on établit tout ça en justifiant le modèle proposé à partir des faits d'observation : la conservation de l'énergie, de l'impulsion et du moment cinétique). En utilisant cette propriété mathématique, on établit le fait que les boosts B sont des transformations affines.

[albanxiii]

Bonjour,

Dans le cours "Théorie classique des champs" d'Alain Laverne, dans la bibliothèque virtuelle de physique en haut de ce forum (ou par Google...), vous trouverez plusieurs dérivations des transformations de Lorentz. L'apothéose étant celle qui ne nécessite que les hypothèses minimales d'homogénéité de l'espace et du temps ainsi que l'isotropie de l'espace. Et on ne trouve pas que les transformations de Lorentz... mais je vous laisse lire.

@+

[chaverondier]

Bonjour,

Dans le cours "Théorie classique des champs" d'Alain Laverne, dans la bibliothèque virtuelle de physique en haut de ce forum (ou par Google...), vous trouverez plusieurs dérivations des transformations de Lorentz. L'apothéose étant celle qui ne nécessite que les hypothèses minimales d'homogénéité de l'espace et du temps ainsi que l'isotropie de l'espace. Et on ne trouve pas que les transformations de Lorentz... mais je vous laisse lire.

Sauriez vous les documents et pages exactes dans les cours d'Alain Laverne où est démontré le caractère linéaire des transformations de Lorentz en partant de l'homogénéité de l'espace-temps (invariance par translation spatio-temporelle découlant de la conservation de l'énergie et de la conservation de l'impulsion) ? J'ai cherché en :
Chap. 06, Les relativités (1,3 MB) http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...eb/Elec.06.PDF
Chap. 07, Quelques propriétés de la relativité einsteinienne (616 KB) http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...eb/Elec.07.PDF
TD 7, Relativité (268 KB) http://www.imnc.univ-paris7.fr/alain...b/Elec.TD7.PDF
et je n'ai pas vu à quel endroit ce point précis était traité (j'ai cherché un peu vite, mais vous connaissez ces documents et pas moi).

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Re-bonjour,

C'est vrai que j'aurais pu être plus précis...
Donc, c'est dans le chapitre 4 : Les transformation de Lorentz (presque) inévitables.

Au passage j'ai oublié des hypothèses essentielles, mais tellement évidentes.... On suppose donc :
- le principe de relativité
- l'homogénéité de l'espace-temps
- l'isotropie de l'espace
- le principe de causalité.

Si vous avez des remarques sur ce chapitre, je serais heureux de les lire.

Bonne lecture.

[mizoks]

Bonjour

vous pouvez aussi voir dans ce lien http://o.castera.free.fr/pdf/Une_derivation_de_plus.pdf

je viens de commencer sa lecture

[invite6754323456711]

Si vous avez des remarques sur ce chapitre, je serais heureux de les lire.

Le document ne parle que de repère/système de coordonnée et non de référentiel. Il me semblait pourtant que les physiciens font une distinction fondamentale entre ces deux notions non ?

Ensuite le choix d'une géométrie mathématique pour exprimer des concepts physiques est il univoque ?

Patrick

[mizoks]

Merci à tous
J’ai trouvé la réponse à ma question dans ces documents. Voir surtout page 4 du document http://o.castera.free.fr/pdf/Une_derivation_de_plus.pdf

On pose d’abord cette transformation sous forme
aaa.png

Définition de l’homogénéité de l’espace-temps :
« Nous supposons d’abord que l’espace-temps est homogène, en ce sens qu’il a partout et toujours les mêmes propriétés. Plus précisément, les propriétés de transformation de l’intervalle spatio-temporel (Δx, Δt) dépendent seulement de cet intervalle et pas de l’endroit ou sont localisées ses extrémités (dans le référentiel considéré). En d’autres termes, l’intervalle transformé (Δx’, Δt’) obtenu par une transformation inertielle est indépendante de ces extrémités. »

Puis on écrit les deux différentielles totales exactes de x’ et t’
zzz.png

Même si F et G dépend d’un nombre N de paramètre en plus de x et t, en retrouve les mêmes différentielles.

En se basant sur ce qui a été dit sur la notion d’homogénéité de l’espace-temps en haut, dx’ et dt’ doivent être indépendant des extrémités càd de x et t et x’ et t’. Donc les coefficients de dx et dt (càd les dérivés partielles de F et G par rapport à x et t) doivent aussi être indépendant de x et t.
Donc F et G sont des fonctions linéaires de x et t.

[albanxiii]

Bonjour,

Le document ne parle que de repère/système de coordonnée et non de référentiel. Il me semblait pourtant que les physiciens font une distinction fondamentale entre ces deux notions non ?

Au collège, peut-être ?
Sinon : http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9...iel_(physique) commence par

En physique classique, un référentiel est un système de coordonnées de l'espace de dimension 3 dont l'origine est un corps ponctuel réel ou imaginaire. Il permet à un observateur de quantifier les positions et déplacements. Souvent, on utilise un repère cartésien et on privilégie les référentiels inertiels.

En pratique, quand on utilise un référentiel, il a toujours un système de coordonnées attaché.

Quand je parlais de commentaires, je pensais à des commentaires sur la façon dont les transformations de Lorentz et le groupe de Poincaré sont dérivés. Est-ce que le raisonnement vous semble sans faille ? Peut-on faire plus simple ? etc.

@+

[invite6754323456711]

Au collège, peut-être ?

Au collège surement on ne fait pas de distinction entre référentiel et système de coordonné, mais ensuite il est fait une distinction entre référentiel et repère. Un référentiel associé au mouvement d'un ensemble d'observateurs, et ce, indépendamment du système de coordonnées servant à repérer les évènements dans ce référentiel.

http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2749821

Quand je parlais de commentaires,

J'avais déjà eu un échange, vers 2009 me semble t-il, avec Didier et Gwyddon sur ce sujet et ils étaient arrivés à la conclusion qu'il fallait rajouter le postulat de la constance de la vitesse limite c.

Patrick

[chaverondier]

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9...iel_(physique)
En physique classique, un référentiel est un système de coordonnées de l'espace de dimension 3 dont l'origine est un corps ponctuel réel ou imaginaire. Il permet à un observateur de quantifier les positions et déplacements. Souvent, on utilise un repère cartésien et on privilégie les référentiels inertiels.

D'accord sur la remarque d'ù100fil sur ce point.

Par vraiment d'accord avec la définition de Wikipedia (que l'on trouve cependant souvent). Dans un espace-temps 4D (tel que l'espace-temps de Newton, l'espace-temps de Galilée ou une variété pseudo-riemannienne 4D) un référentiel (frame) repère un état de mouvement. De façon plus précise, c'est un feuilletage 1D. Dans les variétés 4D pseudo-riemanniennes ce feuilletage 1D est souvent, mais pas obligatoirement, de type temps. Par exemple, le référentiel de Schwarzschild est un feuilletage 1D qui n'est pas de type temps en dessous de la sphère de Schwarzschild.

A titre d'exemple, dans l'espace-temps de Minkowski, si je fais subir une translation spatiale, une translation temporelle ou une rotation spatiale à un référentiel inertiel, je ne change pas de référentiel inertiel, car je ne change pas son état de mouvement (je peux même appliquer n'importe quel difféomorphisme spatial relatif à l'espace 3D associé à ce référentiel sans pour autant changer de référentiel inertiel).

Toujours dans un espace-temps 4D, un système de coordonnées (coordinate frame) repère au contraire les évènements par quatre nombres. Un système de coordonnées est modifié par n'importe quel difféomorphisme (4D) qui ne soit pas l'identité. Par exemple, un référentiel inertiel possède un ensemble de systèmes de coordonnées inertiels qui se transforment les uns en les autres par le produit semi-direct du groupe des translations spatio-temporelles par le groupe des rotations spatiales "augmenté" des changements d'unité de temps et des changements d'unité de longueur.

Concernant le référentiel de Schwarzschild, il possède un ensemble de systèmes de coordonnées privilégiés associés se déduisant les uns des autres par translation temporelle, par rotation spatiale autour de la singularité temporelle augmenté des changements d'unité de mesure du temps et des changements d'unité de mesure des distances.