Relativité Générale et conservation de l'énergie

[Berthii]

Bonjour à tous,

Je suis actuellement en train de bosser la RG et je sollicite votre aide:
Dans le cadre de la RG, l'équation du mouvement d'une particule de masse non nulle dans le fond d'une métrique g(x) est l'équation des géodésiques. Maintenant, en supposant que les composantes de g(x) ne dépendent pas du temps, quelle est l'expression de l'énergie? Je veux ensuite montrer qu'elle est conservée.

Merci d'avance pour votre aide,
Berthii.
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[Amanuensis]

Maintenant, en supposant que les composantes de g(x) ne dépendent pas du temps

Il est préférable d'exprimer ce genre de chose autrement en RG, "le temps" n'ayant pas de sens canonique.

Il peut s'agir d'une métrique statique ou d'une métrique stationnaire.

Pour la conservation de l'énergie-impulsion avec une métrique statique ou stationnaire, voir par exemple http://fr.wikipedia.org/wiki/Vecteur...8me_de_Noether

[Berthii]

Merci pour le lien. Je sais que les vecteurs de Killing impliquent des invariances, mais qu'elle est l'expression de l'énergie dans le cas d'une métrique statique?

[Berthii]

N'y a-t-il aucun spécialiste de la RG qui puisse m'éclairer?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Par "expression de l'énergie", tu veux parler de l'énergie de la particule ? Dans ce cas, après choix d'un repère particulier (par exemple le repère, plus précisément le champ de repères, basé sur la métrique) c'est simplement l'énergie cinétique, que tu obtiens facilement à partir du quadrivecteur vitesse u de la particule.

Si tu as besoin d'une notion d'énergie potentielle, je ne suis pas sûr que ce soit simple. J'ai vu des cas où on définit un "pseudo-potentiel" mais dans des cas de type symétrie sphérique (métrique de Schwartzchild ou de Kerre). Dans le cas général, je ne sais pas si c'est possible.

Voilà, en espérant avoir au moins donné un petit coup de pouce.

[Deedee81]

Re,

Oh, je me dis que ce que tu as besoin, c'est peut-être le tenseur énergie-impulsion ???? Il est effectivement conservé et il suffit de calculer sa divergence pour le constater.

Le tenseur énergie impulsion n'est pas lié à la métrique mais à l'état de la matière en un point.
Par exemple ici un cas simple (et approprié il me semble) http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur...rgie-impulsion

Il ne reste plus qu'à ("yaka" ) calculer le tenseur pour une particule donnée et calculer sa valeur dans le cas d'un déplacement géodésique (pour la conservation, la première étape suffit déjà, par construction c'est un tenseur conservé).

[Berthii]

Donc si la seule énergie de la particule est son impulsion, on a d'après les équations d'Euler-Lagrange :



et en prenant on a :



ce qui implique :



Donc si , alors l'impulsion est conservée (le long d'une géodésique).

Cela vous paraît-il correct?

[bobdémaths]

Bonjour

Vous avez toutes les informations nécessaires au début de l'article Wikipédia sur les vecteurs de Killing. Si d/dt est un vecteur de Killing, vous pouvez construire une quantité conservée (= intégrale première du mouvement = constante du mouvement) donc l'expression est donnée dans l'article. Cette quantité est, presque par définition, l'énergie de la particule.
Attention cependant à la position des indices !

Quoi qu'il en soit, l'énergie est toujours un scalaire, ce n'est donc ni un tenseur, ni un vecteur.

[Amanuensis]

Quoi qu'il en soit, l'énergie est toujours un scalaire

Plus précisément c'est une composante, dépendant du système de coordonnées choisi. Ce par opposition à un scalaire au sens d'un invariant (un tenseur d'ordre 0), comme la masse ou la charge.

Mais comme le sujet est limité à une métrique stationnaire ou statique, on peut choisir un système de coordonnées avec une coordonnée temporelle, telle que \delta_t soit le vecteur de Killing de genre temps que la stationnarité implique.

Cela a alors un sens de parler de la conservation de l'énergie relativement à un tel système de coordonnées.

Remarquons que le statut de l'énergie et de l'énergie-impulsion n'est pas le même selon que la métrique est statique ou stationnaire.

[bobdémaths]

Plus précisément c'est une composante, dépendant du système de coordonnées choisi. Ce par opposition à un scalaire au sens d'un invariant (un tenseur d'ordre 0), comme la masse ou la charge.

Tout à fait, j'aurais dû être plus précis sur ce point.

[Amanuensis]

Correction:

telle que \delta_t soit

lire

[Berthii]

Je me corrige, ce n'est pas qui est conservée mais que l'on peut assimiler à l'énergie de la particule. Par contre, pour son expression, à part l'exprimer en fonction de la métrique je vois pas...

[bobdémaths]

Si l'énoncé n'est pas plus précis que ça, en effet je ne vois pas d'autre solution que de l'exprimer avec la métrique.

[Berthii]

Non ce n'est pas plus précis que ça... Merci de votre aide.