Une chaine tombe d'une table. Oui mais avec quelle vitesse ?

[invite234d9cdb]

Bonjour !

C'est un exercice que je trouve casse-pieds (remarquez dès que je sais aps faire un exercice je le trouve casse-pieds ).

L'énoncé est simple : on pose une chaine sur une table. La chaine a une masse M et une longueur L. On la place au repos sur la table avec un bout de longeur y qui pend, et l'autre bout repose sur la table avec une longueur de fatalement L-y.
La question : combien de temps va t'elle mettre pour tomber de la table ? Les frottements sont négligés.

Comment allez-vous résoudre ça ?
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[invite4793db90]

Salut,

naïvement, je dirai que la chaîne touchera le sol au bout d'un temps équivalent à celui que mettrait un objet en chute libre tombant sans vitesse initiale de la hauteur de la table moins la longueur de la chaîne qui pend.

Et qu'elle sera entièrement au sol au bout d'un temps équivalent à celui que mettrait un objet en chute libre tombant sans vitesse initiale de la hauteur de la table plus la longueur de la chaîne reposant sur la table.

Mais ceci reste très naïf... Attends les avis des experts!

Cordialement.

[invite234d9cdb]

J'ai la bonne réponse dans mon cahier.
Ton idée est la même que j'ai eue mais elle n'aboutit pas à la bonne réponse
Il y a donc d'autres forces (mais lesquels ?) qui entrent en jeu...

[zoup1]

La force qui manque n'est pas vraiment une force... c'est l'inertie de la partie qui reste sur la table.

Le temps de chute libre est indépendant de la masse de l'objet car la masse de l'objet intervient à 2 endroit dans la résolution du problème ; dans la force de pesanteur d'une part et dans l'inertie d'autre part (m.a).
Généralement pour une chute libre, ce sont les 2 mêmes masses qui interviennent. On peut donc simplifier par la masse et le résutat général est que la vitesse de chute est indépendante de la masse.

Ici c'est différent car si la totalité de la masse est présente du coté inertie, seule la masse de la chaine qui est en train de tomber intervient dans la partie force de gravité. Du coup, on ne peut pas vraiment simplifier et il faut faire le calcul.

Voilà, j'espère que ces explications suffiront à faire le calcul, sinon on pourra essayer de le faire ensemble...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite234d9cdb]

Donc si j'ai bien compris, la chaine ne va pas faire une simple chute libre, cette chute libre sera freinée par l'inertie de la masse restant sur la table...

Comment mets-tu en équation l'inertie d'une masse ?

[zoup1]

Il y a sans doute plein de façon de la faire... A y regarder de plus près, c'est un peu délicat car il y a effectivement une force horizontale qui intervient obligatoirement et dont le point d'application est localisée juste au bord de la table. En l'absence de modèle très précis de la façon dont la chaine se comporte, on ne peut pas dire grand chose de cette force mais bien heureusement, il n'est pas nécessaire de rentrer dans ces détails pour résoudre le problème.

Donc, pragmatiquement, ce que je suggère est de décrire simplement la position du centre de gravité de la chaine lorsque celle-ci a une longueur y dans le vide. Cela se fait relativement simplement en découpant la chaine en 2 morceaux, celui qui pendouille d'une part et celui qui repose sur la table d'autre part.
Ensuite tu écris simplement le principe fondamentale de la dynamique projété sur l'axe de y et cela te donne l'équation d'évolution de la chute du y.
Note bien qu'en projettant cette même relation sur l'axe des x tu va pouvoir déterminer la composante horizontale de la force qu'exerce la table sur la chaine au niveau du coin.

Si cela ne te suffit pas, je veux bien être un peu plus explicite.

[invite234d9cdb]

Note bien qu'en projettant cette même relation sur l'axe des x tu va pouvoir déterminer la composante horizontale de la force qu'exerce la table sur la chaine au niveau du coin.

Mmmh je ne suis pas sûr de te suivre là...

Découper la chaine en deux morceaux liés là par contre je suis tout a fait d'accord. On sait que la vitesse des deux morceaux sera la même (vu qu'ils sont liés) mais pas forcément celle de leur deux centres de masses : celui du morceau pendant ne va cesser de remonter puisqu'il est toujours au niveau de y/2 et y va augmenter avec le temps... Celui du morceau L-y est en L-y/2, il va donc se déplacer vers l'avant en plus de la vitesse qu'il doit supporter, emporté par le morceau de chaîne pendant...

[zoup1]

Mmmh je ne suis pas sûr de te suivre là...

C'est pas très grave, on verra à la fin.

Découper la chaine en deux morceaux liés là par contre je suis tout a fait d'accord. On sait que la vitesse des deux morceaux sera la même (vu qu'ils sont liés) mais pas forcément celle de leur deux centres de masses : celui du morceau pendant ne va cesser de remonter puisqu'il est toujours au niveau de y/2 et y va augmenter avec le temps... Celui du morceau L-y est en L-y/2, il va donc se déplacer vers l'avant en plus de la vitesse qu'il doit supporter, emporté par le morceau de chaîne pendant...

euh, celui du morceau pendant va descendre en même temps que le morceau pendant, 2 fois moins vite que son extrémité (tant qu'il y a un bout sur la table), mais il va lui aussi descendre.
Mais ce n'est pas la peine de raisonner en vitesse pour le moment, il te suffit de raisonner sur la position du centre de masse dans un premier temps.

[invite234d9cdb]

Centre de masse du morceaux non-pendant : L-y/2 x L-y/L x M
Le tout sur M
Donc ça fait (L-y)²/2L
Centre de masse du morceau pendant : y/2 x y/L x M
Le tout sur M
Donc ça fait y²/2L

Et ensuite que faire ? Je peux aisément obtenir la vitesse des centres de masses en dérivant ces deux expressions, mais je en vois pas trop à quoi ça m'avance

[zoup1]

Salut,

Bin non, ce que tu as écris ce sont les composante suivant l'horizontale et la verticale de la position du centre de masse et non pas la position du centre de masse de chacun des morceaux. Cela tombe bien en pratique car c'est bien de cela dont tu as besoin.

Donc pour résumer le vecteur position du centre de masse c'est (L-y)²/2L suivant x et y²/2L suivant y.

A partir de là tu peux simplement écrire le principe fondamental de la dynamique ; la masse fois l'accélération du centre de masse est égale à la somme des forces qui s'exercent sur l'objet...


ET bien, la Masse multipliée par l 'accélération du centre de masse c'est la somme des

[invite234d9cdb]

Des forces ?
Je ne vois toujours pas comment revenir au temps ! Par ailleurs la réponse comporte des logarithme népérien, ce qui m'étonne beaucoup car je ne connais aucune opération dans ce genre de problèmequi aboutit à ça !

[zoup1]

Oui, il s'agit bien des forces... Je ne sais pas bien où est passé la fin de mon message.

Et bien, il faut écrire l'équation différentielle donnée par le principe fondamentale de la dynamique, l'intégrer, cela te donnera y(t). Il faudra ensuite chercher la valeur de t pour laquelle y(t)=L c'est à dire lorsque la chaine quitte la table, c'est à dire inverser la relation précédente.
Je n'ai pas fait le calcul avec le temps, mais mon souvenir ancien de ce genre de problème est que l'on trouve des choses avec des cosinus hyperboliques (sans doute pour les position ou les vitesses), c'est à dire des exponentielles. Lorsque l'on inverse la relation pour trouver les temps cela devrait effectivement donner des logarithme.

[invitea3eb043e]

Plusieurs méthodes possibles, qui donnent le même résultat (ouf !)
1ère : la force qui tire sur le fil est µ y g ; le principe fondamental de la dynamique donne µ y g = µ L d²y/dt²
(µ est la masse linéique, plus facile à taper que lambda)
Si on veut faire les choses bien, on doit écrire cette relation des 2 côtés mais la tension de la chaîne est la même des 2 côtés du coin.

2ème : Par l'énergie. Si on descend de dy, l'énergie potentielle diminue de µ g y dy (ça revient à prendre un morceau dy de sur la table et à le porter en bas de la chaîne). L'énergie potentielle varie de 1/2 µ L d(v²)
Ca donne la même équation.

Elle s'intègre facilement : y = a * ch(w t)
avec w = (L/g)^(1/2) et a la longueur initiale.
Ca ressemble à un pendule simple mais il ne pouvait en aller autrement pour des raisons de dimensions.