Tenseur gradient en mécanique des milieux continus

[invitee4ef379f]

Bonjour,

En reprenant un cours de mécanique des milieux continus, je viens de lire qu'on définit localement un tenseur gradient pour représenter la transformation d'un bipoint matériel. Il est aussi écrit que ce tenseur est d'ordre 2; c'est donc une forme bilinéaire, i.e une application linéaire qui transforme deux vecteurs en un réel (on travaille sur le corp des réels).

C'est là que je coince. Je comprends que les deux vecteurs sont (i) le bipoint matériel initial, défini sur l'espace vectoriel euclidien, et (ii) la transformation du bipoint, définie sur l'espace dual. Cependant le tenseur étant une forme bilinéaire, l'image des deux vecteurs par le tenseur est censée être un scalaire. Pourquoi est-ce un bipoint? Qu'ai-je mal compris?

Merci d'avance.
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[GrisBleu]

Bonjour
en MMC, le tenseur gradient relie les deformations infinitesimal dM0 en un point initial M0 a celles dM(t) en son image M(t): dM(t)=F(t)dM0
dM(t) et dM0 sont des vecteurs, donc F est une matrice
Une matrice est un tenseur 1,1 car, avec une forme (un "vecteur" ligne) x et un vecteur, tu as un scalaire s=x F X
Mais, tu peux voir une matrice comme un tenseur 0,2 qui prend 2 vecteur X et Y pour former un scalaire par s=X^T F Y
Le lien entre la forme 1,1 et 0,2 (ou2,0) est la possibilite de transposer des vecteurs / formes (la raison est in fine l'existence du produit scalaire habituel)
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[invitee4ef379f]

Bonjour,

Merci pour la réponse.

Je ne parviens toujours pas à comprendre comment le tenseur gradient obtient sa dimension de "tenseur".

Considérons une configuration initiale au temps 0 et une configuration finale au temps t. Pour moi le tenseur gradient transforme un bipoint infinitésimal au temps 0 en un autre bipoint au temps t. C'est à dire qu'il transforme un vecteur en un autre vecteur. Dans ces conditions, pourquoi s'agit-il d'un tenseur, et non pas d'une simple application linéaire?

[GrisBleu]

Salut
Une application lineaire A est un tenseur, de genre 1,1 appele matrice
Cad
(1) A un vecteur X, elle associe un vecteur Y=AX
(2) ou encore, a un vecteur X et un forme w, elle associe un nombre s=wAX
(1) et (2) sont equivalent
mais, avec l'operateur de transposition, A peut etre aussi vu comme un tenseur 0,2 comme je te l'avais explique

Un tenseur m,p est, plus generalement, une form (multi) lineaire de m forme et p vecteur,. Des exemples communs sont
une matrice est un tenseur 1,1
un produit scalaire est un tenseur 0,2 (avec qques proprietes en plus)
la courbure en relativite generale est un tensur 1,3 (ca prend 3 vecteurs pour en former un seul)
etc.

Dans ton cours, il y a une autre definition d'un tenseur ? C'est peut etre de cela que vient tes remarques. Personnellement, les notations / le formalisme de la MMC m'a gene au debut (j'avais vu les tenseurs dans le cadre de la RG avant)...

Bon courage
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[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ef379f]

Salut,

Merci pour les précisions! Dans mon cours il est simplement écrit que le tenseur gradient est d'ordre 2. Et pour moi un tenseur d'ordre 2 était forcément une forme bilinéaire. Mais mes notions d'algèbre datent un peu; je pense qu'il va falloir que j'ouvre des bouquins supplémentaires...

A plus!

[GrisBleu]

Salut

A partir du moment ou il y a une metrique de disponible (g en relativité, un tenseur 0,2 de composantes ), tu peux associer un vecteur et une formede manière unique par
A un vecteur W (composantes ), tu associe une forme w par w(X)=g(X,W)=X.W. Les composantes de w sont . w est "notée"

Donc, avec une métrique / un produit scalaire, un tenseur (0,1) - une forme - et un tenseur (1,0) - un vecteur- sont en correspondance. On peut parle d'un tenseur de rang 1 sans préciser. Idem pour le rang 2où une matrice peut être vue comme un tenseur (0,2), (1,0) ou (2,0)

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